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辽宁省沈阳市第二中学2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题Word版含答案.doc


1. 设集合 P ? {x | x 2 ? 2 3x ? 0}, m ? 20.3 ,则下列关系中正确的是 A. m ? P 2 .函数 y ? B. m ? P C. {m} ? P D. {m} ? ?P

log 2 ( x ?1) 的定义域是( 2? x
B. (1, 2)

) D. (??, 2) )

A. (1, 2]

C. (2, ??)

3. 已知空间两条不同的直线 m, n 和两个不同的平面 ? , ? ,则下列命题正确 的是( .. A.若 m // ? , n ? ? ,则 m // n C.若 m // ? , n // ? ,则 m // n B.若 ? ? ? ? m, m ? n ,则 n ? ? D.若 m // ? , m ? ? , ? ? ? ? n ,则 m // n ). 1 D.y=x+ x

4 .下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( A.y=ln(x+2) B.y=- x+1

1?x C.y=? ?2?

C ( x, 4,3) 为顶点的 ?ABC 是以 BC 5. 在空间直角坐标系中, 以点 A(4,1,9) ,B(10,?1,6) ,
为底边的等腰三角形,则实数 x 的值为( A. ? 2 B. 2 C. 6 ) D. 2 或 6 )

6 . 已知函数 f ( x) ? lg x ? ? ? 有两个零点 x1 , x2 ,则有( A. x1 x2 ? 0 B. x1 x2 ? 1 C. x1 x2 ? 1

?1? ?2?

x

D. 0 ? x1 x2 ? 1

7 .设 A, B 是 x 轴上的两点,点 P 的横坐标为 2 ,且 PA ? PB ,若直线 PA 的方程为

x ? y ? 1 ? 0 ,则直线 PB 的方程是(
A. x ? y ? 5 ? 0 B. 2 x ? y ? 1 ? 0

) C. 2 y ? x ? 4 ? 0 D. 2 x ? y ? 7 ? 0

8 .曲线 y ? 4 ? x2 ? 1(?2 ? x ? 2) 与直线 y ? kx ? 2k ? 4 有两个不同的交点时实数 k 的 范围是( A. ( )

5 3 , ] 12 4

B. (

5 , ?? ) 12

C. ( , )

1 3 3 4

D. (??,

5 3 ) ? ( , ??) 12 4

9.已知一个几何体的三视图如图所示, 则这个几何体的体积是( )

23 3 11 C. 3
A.

B.

23 6 10 D. 3

10.三棱锥 P ? ABC 三条侧棱两两垂直,三个侧面面积分别为 的外接球表面积为( A. )

2 3 6 , , ,则该三棱锥 2 2 2

4?

B.

6?
2

C.

8?

D. 10?

1 ? ?x ? , x ? 0 11. 已知函数 f ? x ? ? ? x ? 2 x, g ? x ? ? ? 若方程 g ? 4x ? f ? x? ? ? ? a ? 0 的实数根 ? ? x ? 1, x ? 0
的个数有 4 个,则 a 的取值范围( )

A.

? 5? 1, ? ? ? 4?

B.

?1, ???

C.

?1, ???

D. ? ? ,1?

? 5 ? ? 4 ?

12.已知 x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 4 ? 0 ,求 A. 2 B.

17 4

2x ? 3y ? 3 的最大值_______________ x?3 29 13 13 C. D. 5 4

第Ⅱ卷 (满分 90 分)

二.填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 设 f ( x) ? ?

? x ? 2, ( x ? 10) ,则 f (5) 的值为___________________ ? f [ f ( x ? 6)],( x ? 10)
2 2

14.已知圆 C: ?x ? 2? ? ? y ? 3? ? 25 ,点 P(?1,7) ,过点 P 作圆的切线,则该切线的一般 式方程为________________ 15. 已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? 3 ? a ,若 x ?? ?2,2? 时, f ( x ) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围 _________________________ 16. 已知函数 f ? x ? ? log1 x 的定义域为 ?a, b? ,值域为 ?0, t ? ,用含 t 的表达式表示 b ? a 的
3

最大值为 M ?t ? , 最小值为 N ?t ? , 若设 g ?t ? ? M ?t ? ? N ?t ? , 则当 1 ? t ? 2 时,g ?t ? ? ?g ?t ? ? 1? 的取值范围是_______________

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.[10 分]若 0 ? x ? 2 ,求函数 y ? 4
x? 1 2

? 3 ? 2 x ? 5 的最大值和最小值.

18. [12 分]求过点 A?2,?1? ,圆心在直线 y ? ?2 x 上, 且与直线 x ? y ? 1 ? 0 相切的圆的方程.

19.[12 分]如图: C , D 是以 AB 为直径的圆上两点, AB ? 2 AD ? 2 3 , AC ? BC , F 是 AB 上一点,且 AF ? 上,已知 CE ? 2 . (1)求证: AD ? 平面 BCE ; (2)求证: AD / / 平面 CEF ; (3)求三棱锥 A ? CFD 的体积.

1 AB ,将圆沿直径 AB 折起,使点 C 在平面 ABD 的射影 E 在 BD 3

20. [12 分] 已知点 A(-3,0),B(3,0),动点 P 满足|PA|=2|PB|. (1)若点 P 的轨迹为曲线 C,求此曲线的方程; (2)若点 Q 在直线 l1 :x+y+3=0 上,直线 l 2 经过点 Q 且与曲线 C 只有一个公共点 M, 求|QM|的最小值.

21.[12 分]已知函数 f ? x ? ? log a (1)求 m 的值

1 ? mx 是奇函数 ? a ? 0且a ? 1? x ?1

(2)判断 f ? x ? 在区间 ?1, ?? ? 上的单调性并加以证明

(3)当 a ? 1, x ? 1, 3 时, f ? x ? 的值域是 ?1, ?? ? ,求 a 的值

?

?

22. [12 分 ] 已知函数 f ( x) ? x ?

m ( m 为正的常数) ,它在 (0, ??) 内的单调变化是:在 x

(0, m] 内递减,在 [ m, ??) 内递增.其第一象限内的图象形如一个“对号”.请使用这一性 ......
质完成下面的问题 . ........ (1)若函数 g ( x ) ? 2 x ?

a 在 (0,1] 内为减函数,求正数 a 的取值范围; x

(2)若圆 C : x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 l : y ? kx 相交于 P 、Q 两点,点 M (0, b) 且

MP ? MQ .求当 b ? [1, ??) 时, k 的取值范围.

沈阳二中 2014—2015 学年度上学期期末考试 高一(17 届)数学答案 一、选择题(每题 5 分,共 60 分)

二、填空题(每题 5 分,共 20 分)

三、解答题

解:设圆心为 ?a,?2a ? ,圆的方程为 18.

?x ? a?2 ? ? y ? 2a?2 ? r 2
??2 ? a ?2 ? ?? 1 ? 2a ?2 ? r 2 ? 则 ? a ? 2a ? 1 ?r ? 2 ?
解得 a ? 1 , r ?

(2 分)

(6 分)

2
2 2

(10 分) (12 分)

因此,所求得圆的方程为 ?x ? 1? ? ? y ? 2? ? 2 19. (1)证明:依题意: AD ? BD

? CE ? 平面 ABD

∴ CE ? AD ∴ AD ? 平面 BCE . ??????4 分

? BD ? CE ? E

(2)证明: Rt ?BCE 中, CE ?

2 , BC ? 6 ∴ BE ? 2

Rt ?ABD 中, AB ? 2 3 , AD ? 3 ∴ BD ? 3 .


BF BE 2 ? ? . ∴ AD // EF BA BD 3

? AD 在平面 CEF 外, EF 在平面 CEF 内,
∴ AD // 平面 CEF . ??????8 分

20. :(1)设点 P 的坐标为(x,y), 则 ?x+3?2+y2=2 ?x-3?2+y2, 化得可得(x-5)2+y2=16 即为所求.-------------------4 分 (2)曲线 C 是以点(5,0)为圆心,4 为半径的圆,如图.

由题意知直线 l2 是此圆的切线,连接 CQ, 则|QM|= |CQ|2-|CM|2 = |CQ|2-16, 当 CQ⊥l1 时,|CQ|取最小值,|CQ|= |5+3| =4 2, 2

此时|QM|的最小值为 32-16=4.---- ------12 分 21. (1)? f ? x ? 是奇函数

? f ? ?x ? ? ? f ? x ? 在其定义域内恒成立,即 log a

1 ? mx 1 ? mx ? ? log a ?x ?1 x ?1

?1 ? m2 x2 ? 1 ? x2 ?m ? ?1或m ? 1?舍去??m ? ?1-----------4 分

(3)当 a ? 1 时, f ? x ? ? log a

x ?1 在 1, 3 上位减函数,要使 f ? x ? 在 1, 3 上值域是 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 2 ?1, ??? ,即 log a x ? 1 ?1 ,可得 x ? 1 ? a 。令 g ? x ? ? x ? 1 ? 1 ? x ? 1 在 1, 3 上是减函

?

?

? ?

? ?

数。所以 g ? x ? ? ?1 ?

? ?

2 2 ? ? 2 ? 3 。所以 a ? 2 ? 3 , ?? ? 所以 a ? 1 ? 3 ?1 3 ?1 ?

a a a 22. 1)由性质,可知函数 g ( x) ? 2 x ? ? 2( x ? 2 )(a ? 0) 在 (0, ] 内为减函数. 2 x x a a 依题意, (0,1] ? (0, ] ,故 ?1 得a ? 2 2 2
∴ a 的取值范围是 [2, ??) . (2)设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ∵ MP ? MQ ∴ ∴ kMP ? kMQ ? ?1

( y1 ? b)( y2 ? b) ? ?1 即 x1 x2 ? ( y1 ? b)( y2 ? b) ? 0 x1 x2

又 y1 ? kx1 , y2 ? kx2 ∴ x1 x2 ? (kx1 ? b)(kx2 ? b) ? 0 即 (1 ? k ) x1x2 ? kb( x1 ? x2 ) ? b ? 0 (*)
2 2

由?

? y ? kx ? 2 2 得 (1 ? k ) x ? 2(1 ? k ) x ? 1 ? 0 2 2 ? ?x ? y ? 2x ? 2 y ?1 ? 0

由 ? ? [2(1 ? k )]2 ? 4(1 ? k 2 ) ? 8k ? 0 且 x1 ? x2 ?

得k ? 0



2(1 ? k ) 1 , x1 x2 ? 2 1? k 1? k 2

代入(*)中得

(1 ? k 2 )


1 2(1 ? k ) ? kb ? b2 ? 0 2 1? k 1? k 2

2k (1 ? k ) 1 ?b? . 2 1? k b 1 1 1 在 b ? [1, ??) 时为增,故 b ? ? 1 ? ? 2 . b b 1


由性质知, b ? ∴

2k (1 ? k ) ? 2 ,得 k ? 1 1? k 2

由①②得 k ? 1 .


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