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必修2第三章直线与方程第五课:直线的一般式方程


直线的一般式方程
必修2第三章第五课

(一)填空
名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式 已知条件
(x0,y0) , k k,y轴上截距b
(x1,y1)(x2,y2)

标准方程

适用范围

y-y0=k(x-x0) 有斜率的直线 y=kx+b y-y1

x-x1 = y2-y1 x2-x1 x y + =1 a b
有斜率的直线
不垂直于x,y轴 的直线
不垂直于x,y轴 的直线 不过原点的直线

x轴上截距a y轴上截距b

(x0 , y0) 过点 与x轴垂直的直线可表示成 x ? x0,
(x0 , y0) 与y轴垂直的直线可表示成 y ? y0。 过点

(二)填空 1.过点(2,1),斜率为2的直线的 y-1=2(x-2) 方程是____________ 2.过点(2,1),斜率为0的直线方 y=1 程是___________ 3.过点(2,1),斜率不存在的直 x=2 线的方程是_________
思考1: 以上三个方程是否都是二元一次方程?

所有的直线方程是否都是二元 一次方程?
思考依据: (1).斜率存在.(2).斜率不存在

思考2: 对于任意一个二元一次方程 Ax ? By ? C ? 0( A、B不同时为零) 能否表示一条直线?

依据:方程系数所具有的几何特征.

A C B ? 0,方程为y ? ? x ? (? ) B B C B ? 0,则:A ? 0,方程为x ? ? A

说出方程所表示的直线特征.

总结:
由上面讨论可知, (1)平面上任一条直线都可以用一个关于
x,y的二元一次方程表示, (2)关于x,y的二元一次方程都表示一条直线.

1.直线的一般式方程
我们把关于x,y的二元一次方程 Ax+By+C=0 (A,B不同时为零)

叫做直线的一般式方程,简称一般式

2.二元一次方程的系数和常数项 对直线的位置的影响

探究:在方程 Ax ? By ? C ? 0 中,

1.当 A ? 0,B ? 0,C ? 0 时,方程表示的直线与x轴 平行



2.当 A ? 0,B ? 0,C为任意实数 时,方程表示的直线与x轴垂直; 重合 ; 3.当 A ? 0,B ? 0,C ? 0时,方程表示的直线与x轴______ 4.当 A ? 0,B ? 0,C ? 0 时,方程表示的直线与y轴重合 ; 5.当 C ? 0, A, B不同时为0 时,方程表示的直线过原点.

3.一般式方程与其他形式方程的转化
(一)把直线方程的点斜式、两点式和截距式转

化为一般式,把握直线方程一般式的特点

注意:直线的斜截式方程一般不需要转化.

适应性练习: 根据下列条件,写出直线的方程, 并化为一般式. 4 (1).过点A(6, ? 4),斜率为 ? . 3 (2).经过点P (3, ? 2),Q(5, ? 4). 3 (3).在x、y轴上截距分别是 、 ? 3. 2

(1).4 x ? 3 y ? 12 ? 0. (2).x ? y ? 1 ? 0. (3).2 x ? y ? 3 ? 0.

直线方程一般式的再认识:
-----------(1)、含参数的一般式方程

直线: (a ? 1) x ? y ? 2 ? a ? 0 判断无论a为何值,直线恒过哪个定点?

该直线的斜率是多少?
把直线方程整理为点斜式形式, 该直线有何特点?
该直线方程还可怎样得到呢?问题有特殊性?

把方程整理为: a(x - 1) ? (x ? y ? 2) ? 0
x ? 1 ? 0、x ? y ? 2 ? 0

直线方程一般式的再认识:
-----------(2)、直线的法向量
教材P101.B 组: 3 设点P(x 0,y 0 )在直线Ax ? By ? c ? 0上,求证这条直线方程 可以写成: A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? 0

m ? ( A,B), n ? ( x ? x0,y - y 0 )(( x,y)是直线上任意点 )
在直线垂直方向上的向 量 - - - -直线的法向量 Ax ? By ? c ? 0的法向量m ? ( A,B)
巩固练习:直线 l 1 : x ? my ? 6 ? 0,直线l 2 : ( m ? 2) x ? 3 y ? 2m ? 0 若l1 ? l 2,则:m ? ?

若相交呢?

若平行呢?

对于直线方程的一般式,一般作如下 约定:一般按含x项、含y项、常数项顺 序排列;x项的系数为正;x,y的系数 和常数项一般不出现分数;无特别说明 时,最好将所求直线方程的结果写成一 般式(或斜截式).

(二).直线方程的一般式化为斜截式, 以及已知直线方程的一般式求直线的 斜率和截距的方法.
例2.把直线l : 3x ? 5 y ? 15 ? 0化成斜截式, 求出直线的斜率以及它在y轴上截距.

思考已知直线 . l : 3x ? 5 y ? 15 ? 0 求它在x轴上的截距.
直线Ax ? By ? c ? 0在坐标轴上截距如何 计算?如何求斜率?

能力提高: 设直线l方程为(a ? 1) x ? y ? 2 ? a ? 0 (a是常数). (1).若l在两坐标轴上截距相等 ,求直线l的方程. (2).当l不经过第二象限时, 求实数a的范围.

拓展训练题:
设直线

解析:(1)当直线过原点时,该直线在 x 轴 y 轴上的截距都为零,当然相等,此 时a=2,方程为3x+y=0.

l 的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). (1)若 l 在两坐标轴上的截距相等,求 l 的方程; (2)若 l 不经过第二象限,求实数a的取值范围.

即 a+1=1, ∴a=0 , 所以,

a-2 ?a-2, 若 a ? 2 ,即l不过原点时,由于 l 在两坐标轴上的截距相等,有 a ?1

l 的方程为

x+y+2=0.

l 的方程为3x+y=0

或 x+y+2=0

(2)将l的方程化为 y=-(a+1)x+a-2, ∴欲使l不经过第二象限,当且仅当

??(a ? 1) ? 0 ? ?a ? 2 ? 0



??(a ? 1) ? 0 ? ?a ? 2 ? 0

,∴

a ? -1

综上所述,a的取值范围是 (-?,-1] .

练习: 求过点P(2,,并且在两轴上截距 3) 相等的直线方程.
说明:直线的点斜式方程是常用的方程形 式,使用时首先考虑满足条件的直线斜率 是否存在.

方法:设、列、求.

例3、直线l过点P(4,1)且与x、y正半轴 相交于A、B两点, ( 1 )求S ?OAB最小值及相应的直线l方程; (2)l在两坐标轴上截距之和的最小值 及相应l方程 若截距绝对值和最小呢?
直线方程的应用,应该依据哪种直线方程 入手呢?三角形的面积如何表示?

例3、直线l过点P(4,1)且与x、y正半轴 相交于A、B两点,

( 1 )求S ?OAB最小值及相应的直线l方程;

(2)l在两坐标轴上截距之和的最小值 及相应l方程

y

B 解( 1 )设A(a,0), B(0, b), (a ? 0, b ? 0) x y 则直线方程为 ? ? 1 ? P(4,1) a b A x 0 ?直线l过点P(4,1) 4 1 ? ? ? 1 ? 4b ? a ? ab? 2 4ab ? 4 ab ? ab ? 16 a b 1 ? S ? ab ? 8(当a ? 4b即a ? 8, b ? 2时取等号) 2 x y ? S min ? 8, 直线 l方程为 ? ? 1 ? x ? 4 y ? 8 ? 0 8 2

例3、直线l过点P(4,1)且与x、y正半轴 相交于A、B两点,

( 1 )求S ?OAB最小值及相应的直线l方程;

(2)l在两坐标轴上截距之和的最小值 及相应l方程

y B
?

解(2)设A(a,0), B(0, b), (a ? 0, b ? 0) x y 则直线方程为 ? ? 1 a b 4 1 ?直线l过点P(4,1) ? ? ? 1 a b

P(4,1)
A

0

x

4 1 4b a a ? b ? (a ? b)( ? ) ? 5 ? ? ? 5 ? 2 4 ? 9 (当a ? 2b ? 2时取等号 ) a b a b

? (a ? b) min

x y ? 9,此时直线 l方程: ? ? 1 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 2 1

例3、直线l过点P(4,1)且与x、y正半轴 相交于A、B两点,

( 1 )求S ?OAB最小值及相应的直线l方程;

(2)l在两坐标轴上截距之和的最小值 及相应l方程

y B
?

解( 1 )由题意知直线 l斜率存在

设直线方程为 y ?1 ? k ( x ? 4) 1 ? A(4 ? ,0), B (0,1 ? 4k ) (k ? 0) k

P(4,1)
A

0

x

1 1 1 1 1 ? (?16 k )] ? 8 S ? | OA || OB |? (4 ? )(1 ? 4k ) ? [8 ? 2 ?k 2 2 k

1 1 (2)4 ? ? 1 ? 4k ? 5 ? [ ? (?4k )] ? 9 k ?k

直线: (a ? 1) x ? y ? 2 ? a ? 0 判断无论a为何值,直线恒过哪个定点?

该直线的斜率是多少?
把直线方程整理为点斜式形式, 该直线有何特点?

课堂练习: 作业本P 48.8. 直线l平行于直线m : 3x ? 18 y ? 4 ? 0 l与两坐标轴相交所得的三角形面积 为3,求直线l的方程.

作业本:P 48.7 直线l1 : x ? m y ? 6 ? 0,
2

l2 : ( m ? 2) x ? 3my ? 2m ? 0. m为何值时,l1与l2 : (1).相交? (2).平行? (3).重合?
思考:判断直线间位置关系?用哪种形 式比较好? 什么方面容易忽略掉?


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