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【高考第一轮复习数学】函数专题二


专题二:基本初等函数及其应用
一、一次函数 定义:函数 y=kx+b(k≠0)叫做一次函数.它的定义域是 R,值域是 R. 一次函数 y=kx+b(k≠0)的图象是直线,简写为直线 y=kx+b,其中 k 叫做该直线的 斜率,b 叫做该直线在 y 轴上的截距. 一次函数又叫做线性函数. 性质:1.k 的大小表示直线与 x 轴的倾斜程度; 2.当 k>0 时,一次函

数是增函数;当 k<0 时,一次函数是减函数; 3.当 b=0 时,一次函数变为正比例函数,是奇函数;当 b≠0 时,它既不是 奇函数又不是偶函数. 二、二次函数 1.定义:函数 y ? ax2 ? bx ? c (a≠0)叫做二次函数,它的定义域是 R.
特别的,当 b=c=0 时, 二次函数变为 y ? a

x (a≠0),表示一条顶点为原点的抛物线.a>0 时,

2

抛物线开口向上;a<0 时,抛物线开口向下.它为偶函数,y 轴为图象的对称轴.

2.二次函数 y ? ax2 ? bx ? c (a≠0)的图象和性质与 a、b、c 的关系
关于 a、b、c 的代数式 作用 决定开 口方向 与大小; 决定单 调性 说明

a

a>0

开 口 向 上 , a

越 小 , 开 口 越 大 ,

b b ]为单调递减区间, ,??)为单 [? 2a 2a 调递增区间 . (??,?

a<0

开 口 向 下 ,

a

越 小 , 开 口 越 大 ,

b b ]为单调递增区间, ,??)为单 [? 2a 2a 调递减区间 . (??,?

b c

决定奇 偶性 决定与 y 轴的交 点位置

?

b 2a

决定对 称轴的 位置

b=0 b≠0 c>0 c=0 c<0 ab>0 ab=0 ab<0
b 2 ? 4ac >0

偶函数 非奇非偶函数 交点在 x 轴上方 过原点 交点在 x 轴下方

b 2 ? 4ac

决定与 x

在 y 轴左侧 对称轴是 y 轴 在 y 轴右侧 两个交点

轴的交 点个数

b 2 ? 4ac =0

一个交点 无交点
2

b 2 ? 4ac <0

b 4ac ? b 2 , (? ) 2a 4a
b 2 ? 4ac a

决定顶 点的位 置 决定与 x 轴的两 交点间 的距离

b 利用配方法把函数化为 y=a ( x ? ) 2a

?

4ac ? b 2 4a

? b ? b 2 ? 4ac ? b ? b 2 ? 4ac x1 ? x 2 ? ? 2a 2a ? b 2 ? 4ac a

3.利用二次函数大的性质求值和比较大小 不通过计算求函数值,主要是通过配方找出二次函数的对称轴,利用二次函数的 对称性求解.比较两个函数的大小,关键在于根据对称性将它们转化到同一增区间 或减区间上,然后在同一单调区间上进行比较. 三、函数的零点与二分法 1.函数零点的定义 一般的,如果函数 y=f(x)在实数 a 处的值等于零,即 f(a)=0,则 a 叫做这个函数的零 点,在坐标系中表示图象与 x 轴的公共点是(a,0). 注意: (1)、函数的零点是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,对应的函 数值等于零. (2)、方程的根、函数的图象与 x 轴交点的横坐标以及函数的零点是同一 个问题的三种不同的表现形式.
2.二分法 (1)变号零点 如果函数 y=f(x)在一个区间[a,b]上的图象连续不断,并且在它的两个断点处的函数值异 号,即 f(a)·f(b)<0,则这个函数在这个区间上至少存在一个零点,即存在一点 得 f( ,使 x ∈(a,b)
0

x )=0,这样的零点叫做变号零点.
0

(2)不变号零点 如果曲线通过零点时不变号,这样的零点叫做不变号零点. (3)零点具有的性质 ①如果函数的图象是连续的,那么当它通过零点(不是二重零点)时,函数值变号.但对 于二次函数来说,如果它有一个二重零点,那么它通过这个二重零点时,函数值的符号不改 变. ②如果函数的图象是连续的,那么在相邻的两个零点之间的所有函数值保持同号.

(4)二分法的定义

对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a)· f(b)<0 的函数 y=f(x),通过不断地把函数 f(x)的零点 所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二 分法. (5)二分法的步骤

给定精确度 ,用二分法求函数
第一步:确定区间 第二步:求区间 第三步:计算 1、若 2、若 3、若 , , : = ,则 · · ,验证 的中点 ; ·

零点近似值的步骤如下:
<0,给定精确度 ;

就是函数的零点; <0,则令 = <0,则令 = (此时零点 (此时零点 ); );

第四步:判断是否达到精确度 ;即若 复第二步到第四步.

< ,则得到零点近似值 (或 );否则重

四、指数与指数函数
1.根式: 一般地,如果 x ? a (a∈R, n >1,且 n ∈ N *),那么 x 叫做 a 的 n 次方根,.求 a 的 n 次方
n

根叫做把 a 开 n 次方,称作开方运算. 正数 a 的偶次方根有两个,它们互为相反数; 负数没有偶次方根;
n 0 的任何次方根都是 0,记作 0 ? 0 。

正数的奇次方根是一个正数,负数的奇次方根是一个负数;

(n a )

n

? a(n ? 1, 且n ? N ?) ;
n

?a (a ? 0) a n ?| a |? ? n n ?? a (a ? 0) 当 n 是奇数时, a ? a ,当 n 是偶数时,
2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定:
m n

a

?

m n

?

1 a
m n

?

1
n

a ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1) ,

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质

s (1) a · a ? a r

r ?s

(a ? 0, r , s ? R) ;
(a ? 0, r , s ? R) ;

(2) (a ) ? a
r s r

rs

(3) (ab) ? a a
r

s

(a ? 0, r , s ? R) .

4.指数函数的定义: 一般地, 函数 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函数, 其中 x∈R 是自变量, 函数的定义域为 R.
x

注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 1. 5.指数函数的图象和性质 a>1
6 5

0<a<1
6 5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递增 非奇非偶函数 函数图象都过定点(0,1) 6.对数 (1)对数定义 一 般 地, 对于 指数 式 b= log

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递减 非奇非偶函数 函数图象都过定点(0,1)

a

b

? N , 我 们 把“ 以 a 为底 N 的 对数 b ”, 记作 : log a 即
N

a

N

(a ? 0, a ? 1) ,其中 a 叫做对数的底数, N 叫做真数,读作“b 等于以 a 为底 N 的

对数”.

a ? N ? loga N ? x ; 对数与指数间的关系:当 a ? 0 ,且 a ? 1 时,
x

(2)对数的运算性质 如果 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么: ○ loga (MN ) ? loga M ? loga N ; 1

○ 2 ○ 3

log a

M ? N loga M - loga N ;

loga M n ? n loga M

(n ? R) .

(3)常用对数:以 10 为底的对数 lg N ;

(4)自然对数:以无理数 e ? 2.71828 ? 为底的对数的对数 ln N . (5)换底公式

loga b ?

logc b logc a ( a ? 0 ,且 a ? 1 ; c ? 0 ,且 c ? 1 ; b ? 0 ).

7.对数函数 (1)概念: 函数

y ? loga x(a ? 0 ,且 a≠1,x>0)叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是(0,

+∞). (2)对数函数的性质: a>1
3 2.5 2

0<a<1
3 2.5 2

1.5

1.5

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递增 函数图象都过定点(1,0)

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递减 函数图象都过定点(1,0)

8.反函数 当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量, 而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量.我们称这两个函数互为反函数. 对 数 函 数
y?l

a与

x

y ? a 互为反函数,它们的图 g o 指 数 象关于直线 ? x对称 . y
x



9.幂函数
? 1.定义:一般地,形如 y ? x (a ? R) 的函数称为幂函数,其中 ? 为常数.

2.幂函数的性质: (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1); (2)如果 ? ? 0 ,则幂函数的图象通过原点,并且在区间 [0,??) 上是增函数. (3)如果 ? ? 0 ,则幂函数的图象在区间 (0,??) 上是减函数.在第一象限内,当 x 从右边趋 向原点时,图象在

y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于 ? ? 时,图象在 x 轴上方无限

地逼近 x 轴正半轴.


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