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2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(55)


加试模拟训练题(55) (附详细答案) 1. 如图,?ABC中,O为外心,三条高AD、BE、CF交于点H,直线ED和AB交于点M, FD和AC交于点N。求证: (1)OB ? DF , OC ? DE; (2)OH ? MN ; 2. 证明:若 a、b、c 为三角形三边的长,且 a+b+c=1,则 3.在黑板上有 1,2,…,1987 这些数.作这样的变换:将黑板上的数擦去一些,并添加上 被擦去的数的和被 7 除所得的余数. 经过若干次变换后, 黑板上的数只有二个, 一个是 987, 求另一个数. 4. 设 a,b 为正整数,且 4ab-1︱(4a2-1)2 求证:a=b(2007 年 IMO 试题) 加试模拟训练题(55) 1. 如图,?ABC中,O为外心,三条高AD、BE、CF交于点H,直线ED和AB交于点M, FD和AC交于点N。求证: (1)OB ? DF , OC ? DE; 证: (1) ? A、C、D、F四点共圆; ? ?BDF ? ?BAC 1 又 ? ?OBC ? (180? ? ?BOC ) ? 90? ? ?BAC 2 ? OB ? DF 同理OC ? DE (2) ? CF ? MA ? MC 2 ? MH 2 ? AC 2 ? AH 2 ? BE ? NA ? NB 2 ? NH 2 ? AB 2 ? AH 2 ? DA ? BC ? BD 2 ? CD 2 ? BA2 ? AC 2 ? OB ? DF ? BN 2 ? BD 2 ? ON 2 ? OD 2 ? OC ? DE ? CM 2 ? CD 2 ? OM 2 ? OD 2 由 ? 2 (2)OH ? MN ; ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 2 , 得: NH ? MH ? ON ? OM 2 MO 2 ? MH 2 ? NO 2 ? NH 2 ? OH ? MN 2. 证明:若 a、b、c 为三角形三边的长,且 a+b+c=1,则 【题说】第二十三届(1989 年)全苏数学奥林匹克九年级题 2.1990 年意大利数学 奥林匹克题 4. 所以 3.在黑板上有 1,2,…,1987 这些数.作这样的变换:将黑板上的数擦去一些,并添加上 被擦去的数的和被 7 除所得的余数. 经过若干次变换后, 黑板上的数只有二个, 一个是 987, 求另一个数. 【题说】第十三届(1987 年)全俄数学奥林匹克九年级题 5(理论部分). 【解】黑板上所有数的和被 7 除所得余数永远不变数. 1+2+…+187=1987×142×7 被 7 整除.所以最后黑板上的两个数的和也被 7 整除.因为 987=141×7,所以另一个数应 该是某些数被 7 除所得的余数 0. 4. 设 a,b 为正整数,且 4ab-1︱(4a2-1)2 求证:a=b(2007 年 IMO 试题)

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