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D单元 数列


文科
D1 数列的概念与简单表示法

数列

2014

数学分类

3n2-n 17. 、 、[2014· 江西卷] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn= ,n∈N*. 2 (1)求数列{an}的通项公式; (2)证明:对任意的 n>1,都存在 m∈N*,使得 a1,an,am 成

等比数列. 3n2-n 17.解:(1)由 Sn= ,得 a1=S1=1.当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n-2,a1 也符合上式,所以数列{an}的通项 2 公式为 an=3n-2. (2)证明: 要使得 a1, an, am 成等比数列, 只需要 a2 am , 即(3n-2)2=1· (3m-2), 即 m=3n2-4n+2.而此时 m∈N*, n=a1· 且 m>n, 所以对任意的 n>1,都存在 m∈N*,使得 a1,an,am 成等比数列. 18. 、[2014· 江西卷] 已知函数 f(x)=(4x2+4ax+a2) x,其中 a<0. (1)当 a=-4 时,求 f(x)的单调递增区间; (2)若 f(x)在区间[1,4]上的最小值为 8,求 a 的值. 2(5x-2)(x-2) 2 2 0, ?或 x∈(2,+ 18.解:(1)当 a=-4 时,由 f′(x)= =0 得 x= 或 x=2,由 f′(x)>0 得 x∈? 5? ? 5 x 2? ∞).故函数 f(x)的单调递增区间为? ?0,5?和(2,+∞). (10x+a)(2x+a) (2)因为 f′(x)= ,a<0, 2 x a a 所以由 f′(x)=0 得 x=- 或 x=- . 10 2 a a? ? ? a ? a ? 当 x∈? ?0,-10?时,f(x)单调递增;当 x∈?-10,-2?时,f(x)单调递减;当 x∈?-2,+∞?时,f(x)单调递增. a? 易知 f(x)=(2x+a)2 x≥0,且 f? ?-2?=0. a ①当- ≤1,即-2≤a<0 时,f(x)在[1,4]上的最小值为 f(1),由 f(1)=4+4a+a2=8,得 a=± 2 2-2,均不符合 2 题意. a? a ②当 1<- ≤4 时,即-8≤a<-2 时,f(x)在[1,4]时的最小值为 f? ?-2?=0,不符合题意. 2 a ③当- >4 时,即 a<-8 时,f(x)在[1,4]上的最小值可能在 x=1 或 x=4 时取得,而 f(1)≠8,由 f(4)=2(64+16a 2 +a2)=8 得 a=-10 或 a=-6(舍去). 当 a=-10 时,f(x)在(1,4)上单调递减,f(x)在[1,4]上的最小值为 f(4)=8,符合题意. 综上有,a=-10. 1 16.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 数列{an}满足 an+1= ,a =2,则 a1=________. 1-an 8 1 16. 2 1 1 1 1 1 [解析] 由题易知 a8= =2,得 a7= ;a7= = ,得 a6=-1;a6= =-1,得 a5=2,于是可 2 1-a7 1-a6 2 1-a5

1 知数列{an}具有周期性,且周期为 3,所以 a1=a7= . 2 D2 等差数列及等差数列前 n 项和 2.[2014· 重庆卷] 在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则 a7=( ) A.5 B.8 C.10 D.14 2.B [解析] 由题意,得 a1+2d+a1+4d=2a1+6d=4+6d=10,解得 d=1,所以 a7=a1+6d=2+6=8.
1

5.[2014· 天津卷] 设{an}是首项为 a1,公差为-1 的等差数列,Sn 为其前 n 项和.若 S1,S2,S4 成等比数列,则 a1 =( ) 1 1 A.2 B.-2C. D.- 2 2 4×3 5.D [解析] ∵S2=2a1-1,S4=4a1+ ×(-1)=4a1-6,且 S1,S2,S4 成等比数列,∴(2a1-1)2=a1(4a1-6), 2 1 解得 a1=- . 2 15. 、[2014· 北京卷] 已知{an}是等差数列,满足 a1=3,a4=12,数列{bn}满足 b1=4,b4=20,且{bn-an}为等比 数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)求数列{bn}的前 n 项和. 15.解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,由题意得 a4-a1 12-3 d= = =3. 3 3 所以 an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,?). 设等比数列{bn-an}的公比为 q,由题意得 b4-a4 20-12 q3= = =8,解得 q=2. b1-a1 4-3 所以 bn-an=(b1-a1)qn 1=2n 1. - 从而 bn=3n+2n 1(n=1,2,?). - (2)由(1)知 bn=3n+2n 1(n=1,2,?).
- -

1-2n n 3 - 数列{3n}的前 n 项和为 n(n+1),数列{2n 1}的前 n 项和为 1× =2 -1, 2 1-2 3 所以,数列{bn}的前 n 项和为 n(n+1)+2n-1. 2 17. ,[2014· 福建卷] 在等比数列{an}中,a2=3,a5=81. (1)求 an; (2)设 bn=log3an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
? ? ?a1q=3, ?a1=1, - 17.解:(1)设{an}的公比为 q,依题意得? 4 解得? 因此,an=3n 1. ?a1q =81, ?q=3. ? ?

(2)因为 bn=log3an=n-1,所以数列{bn}的前 n 项和 Sn=

n(b1+bn) n2-n = . 2 2

19. 、 、[2014· 湖北卷] 已知等差数列{an}满足:a1=2,且 a1,a2,a5 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式. (2)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和,是否存在正整数 n,使得 Sn>60n+800?若存在,求 n 的最小值;若不存在,说 明理由. 19.解:(1)设数列{an}的公差为 d,依题意知,2,2+d,2+4d 成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d), 化简得 d2-4d=0,解得 d=0 或 d=4,当 d=0 时,an=2;当 d=4 时,an=2+(n-1)· 4=4n-2, 从而得数列{an}的通项公式为 an=2 或 an=4n-2. (2)当 an=2 时,Sn=2n,显然 2n<60n+800, n[2+(4n-2)] 此时不存在正整数 n,使得 Sn>60n+800 成立.当 an=4n-2 时,Sn= =2n2. 2 令 2n2>60n+800,即 n2-30n-400>0,解得 n>40 或 n<-10(舍去), 此时存在正整数 n,使得 Sn>60n+800 成立,n 的最小值为 41.综上,当 an=2 时,不存在满足题意的正整数 n; 当 an=4n-2 时,存在满足题意的正整数 n,其最小值为 41. n2+n 16. 、[2014· 湖南卷] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn= ,n∈N*. 2 (1)求数列{an}的通项公式;
2

(2)设 bn=2an+(-1)nan,求数列{bn}的前 2n 项和. 16.解:(1)当 n=1 时,a1=S1=1; n2+n (n-1)2+(n-1) 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= - =n. 2 2 故数列{an}的通项公式为 an=n. (2)由(1)知,bn=2n+(-1)nn.记数列{bn}的前 2n 项和为 T2n,则 T2n=(21+22+?+22n)+(-1+2-3+4-?+2n). 2(1-22n) 2n+1 1 2 2n 记 A=2 +2 +?+2 ,B=-1+2-3+4-?+2n,则 A= =2 -2, 1-2 B=(-1+2)+(-3+4)+?+[-(2n-1)+2n]=n. + 故数列{bn}的前 2n 项和 T2n=A+B=22n 1+n-2. 13.[2014· 江西卷] 在等差数列{an}中,a1=7,公差为 d,前 n 项和为 Sn,当且仅当 n=8 时 Sn 取得最大值,则 d 的取值范围为________. 7? 7 13.? ?-1,-8? [解析] 由题可知 a8>0 且 a9<0,即 7+7d>0 且 7+8d<0,所以-1<d<-8. 9.[2014· 辽宁卷] 设等差数列{an}的公差为 d,若数列{2a1an}为递减数列,则( ) A.d>0 B.d<0C.a1d>0 D.a1d<0 bn+1 2a1an+1 9.D [解析] 令 bn=2a1an,因为数列{2a1an}为递减数列,所以 = = 2a1(an + 1 - an) = 2a1d<1 , 所 以 bn 2a1an a1d<0. 17.[2014· 全国卷] 数列{an}满足 a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2. (1)设 bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列; (2)求{an}的通项公式. 17.解:(1)由 an+2=2an+1-an+2,得 an+2-an+1=an+1-an+2,即 bn+1=bn+2.又 b1=a2-a1=1,所以{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列. (2)由(1)得 bn=1+2(n-1),即 an+1-an=2n-1.

于是 所以 an+1-a1=n2,即 an+1=n2+a1. 又 a1=1,所以{an}的通项公式 an=n2-2n+2. 5.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 等差数列{an}的公差为 2,若 a2,a4,a8 成等比数列,则{an}的前 n 项和 Sn=( n(n+1) n(n-1) A.n(n+1) B.n(n-1)C. D. 2 2 5.A [解析] 由题意,得 a2,a2+4,a2+12 成等比数列,即(a2+4)2=a2(a2+12),解得 a2=4,即 a1=2,所以 n(n-1) Sn=2n+ ×2=n(n+1). 2 17. 、[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 已知{an}是递增的等差数列,a2,a4 是方程 x2-5x+6=0 的根.
?an? (1)求{an}的通项公式;(2)求数列?2n?的前 n 项和. ? ?

)

17.解:(1)方程 x -5x+6=0 的两根为 2,3. 由题意得 a2=2,a4=3. 1 3 1 设数列{an}的公差为 d,则 a4-a2=2d,故 d= ,从而得 a1= .所以{an}的通项公式为 an= n+1. 2 2 2
?an? an n+2 (2)设?2n?的前 n 项和为 Sn,由(1)知 n= n+1 , 2 2 ? ?

2

n+1 n+2 1 n+1 n+2 3 4 3 4 则 Sn= 2+ 3+?+ n + n+1 , Sn= 3+ 4+?+ n+1 + n+2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 两式相减得
3

1 1 1 n+2 3 1 n+2 n+4 1 3 S = +? 3+?+2n+1?- n+2 = + ?1-2n-1?- n+2 ,所以 Sn=2- n+1 . 2 n 4 ?2 4 4? ? 2 ? 2 2 19. , ,[2014· 山东卷] 在等差数列{an}中,已知公差 d=2,a2 是 a1 与 a4 的等比中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=an(n+1),记 Tm=-b1+b2-b3+b4-?+(-1)nbn,求 Tn.
2

19.解:(1)由题意知,(a1+d)2=a1(a1+3d), 即(a1+2)2=a1(a1+6),解得 a1=2.故数列{an}的通项公式为 an=2n. (2)由题意知,bn=an(n+1)=n(n+1),
2

所以 Tn=-1×2+2×3-3×4+?+(-1)nn×(n+1). 因为 bn+1-bn=2(n+1), 所以当 n 为偶数时, n (4+2n) 2 n(n+2) Tn=(-b1+b2)+(-b3+b4)+?+(-bn-1+bn)=4+8+12+?+2n= = , 2 2 当 n 为奇数时, (n+1) - ,n为奇数, ? 2 (n-1)(n+1) (n+1) +(-b )= -n(n+1)=- .所以 T =? 2 2 n(n+2) ? 2 ,n为偶数.
2 n n 2

Tn=Tn-1

16. 、 、[2014· 陕西卷] △ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. (1)若 a,b,c 成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C); (2)若 a,b,c 成等比数列,且 c=2a,求 cos B 的值. 16.解: (1)∵a,b,c 成等差数列,∴a+c=2b.由正弦定理得 sin A+sin C=2sin B. ∵sin B=sin[π -(A+C)]=sin(A+C), ∴sin A+sin C=2sin(A+C). (2)由题设有 b2=ac,c=2a, ∴b= 2a. a2+c2-b2 a2+4a2-2a2 3 由余弦定理得 cos B= = = . 2ac 4a2 4 19. 、 、[2014· 四川卷] 设等差数列{an}的公差为 d,点(an,bn)在函数 f(x)=2x 的图像上(n∈N*). (1)证明:数列{bn}为等比数列; 1 (2)若 a1=1,函数 f(x)的图像在点(a2,b2)处的切线在 x 轴上的截距为 2- ,求数列{anb2 n}的前 n 项和 Sn. ln 2 19.解:(1)证明:由已知得,bn=2an>0, bn+1 当 n≥1 时, =2an+1-an=2d. bn 故数列{bn}是首项为 2a1,公比为 2d 的等比数列. (2)函数 f(x)=2x 在点(a2,b2)处的切线方程为 y-2a2=(2a2ln 2)(x-a2), 1 1 1 其在 x 轴上的截距为 a2- .由题意知,a2- =2- , ln 2 ln 2 ln 2 - n 2 n 解得 a2=2, 所以 d=a2-a1=1, an=n, bn=2 , anbn=n· 4 .于是, Sn=1×4+2×42+3×43+?+(n-1)×4n 1+n×4n, + 4n 1-4 + + + 4Sn = 1×42 + 2×43 +?+ (n - 1)×4n + n×4n 1 ,因此, Sn - 4Sn = 4 + 42 +?+ 4n - n· 4n 1 = - n · 4n 1 = 3 + + (1-3n)4n 1-4 (3n-1)4n 1+4 ,所以,Sn= . 3 9 19.[2014· 浙江卷] 已知等差数列{an}的公差 d>0.设{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,S2·S3=36. (1)求 d 及 Sn;
4

(2)求 m,k(m,k∈N*)的值,使得 am+am+1+am+2+?+am+k=65. 19.解:(1)由题意知(2a1+d)(3a1+3d)=36, 将 a1=1 代入上式解得 d=2 或 d=-5. 因为 d>0,所以 d=2. 从而 an=2n-1,Sn=n2(n∈N*). (2)由(1)得 am+am+1+am+2+?+am+k=(2m+k-1)(k+1), 所以(2m+k-1)(k+1)=65. 由 m,k∈N*知 2m+k-1≥k+1>1,
? ? ?2m+k-1=13, ?m=5, 故? 所以? ?k+1=5, ?k=4. ? ?

16. 、[2014· 重庆卷] 已知{an}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,Sn 表示{an}的前 n 项和. (1)求 an 及 Sn; (2)设{bn}是首项为 2 的等比数列,公比 q 满足 q2-(a4+1)q+S4=0,求{bn}的通项公式及其前 n 项和 Tn. 16.解:(1)因为{an}是首项 a1=1,公差 d=2 的等差数列,所以 an=a1+(n-1)d=2n-1. n(a1+an) n(1+2n-1) 2 故 Sn=1+3+?+(2n-1)= = =n . 2 2 (2)由(1)得 a4=7,S4=16.因为 q2-(a4+1)q+S4=0,即 q2-8q+16=0, 所以(q-4)2=0,从而 q=4. 又因为 b1=2,{bn}是公比 q=4 的等比数列, - - - 所以 bn=b1qn 1=2×4n 1=22n 1. b1(1-qn) 2 n 从而{bn}的前 n 项和 Tn= = (4 -1). 1-q 3 D3 等比数列及等比数列前 n 项和 12.[2014· 安徽卷] 如图 13,在等腰直角三角形 ABC 中,斜边 BC=2 2,过点 A 作 BC 的垂线,垂足为 A1;过点 A1 作 AC 的垂线,垂足为 A2;过点 A2 作 A1C 的垂线,垂足为 A3;?.依此类推,设 BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,?, A5A6=a7,则 a7=________.

图 13 1 12. 4 [解析] 在等腰直角三角形 ABC 中, 斜边 BC=2 1 2, 所以 AB=AC=a1=2, 由题易知 A1A2=a3= AB=1, ?, 2

3 1?3 ?1? =1. A6A7=a7=? · AB = 2 × ?2? ?2? 4

17. ,[2014· 福建卷] 在等比数列{an}中,a2=3,a5=81. (1)求 an; (2)设 bn=log3an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
?a1q=3, ?a1=1, ? ? - 17.解:(1)设{an}的公比为 q,依题意得? 4 解得? 因此,an=3n 1. ? ? a q = 81 , q = 3. ? 1 ?

(2)因为 bn=log3an=n-1, n(b1+bn) n2-n 所以数列{bn}的前 n 项和 Sn= = . 2 2 13 . 、 [2014· 广东卷 ] 等比数列 {an} 的各项均为正数,且 a1a5 = 4 ,则 log2a1 + log2a2 + log2a3 + log2a4 + log2a5 = ________.
5

5 5 13.5 [解析] 在等比数列中,a1a5=a2a4=a2 3=4.因为 an>0,所以 a3=2,所以 a1a2a3a4a5=(a1a5)(a2a4)a3=a3=2 , 所以 log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2(a1a2a3a4a5)=log225=5. 19. 、 、[2014· 湖北卷] 已知等差数列{an}满足:a1=2,且 a1,a2,a5 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式. (2)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和,是否存在正整数 n,使得 Sn>60n+800?若存在,求 n 的最小值;若不存在,说 明理由. 19.解:(1)设数列{an}的公差为 d, 依题意知,2,2+d,2+4d 成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d), 化简得 d2-4d=0,解得 d=0 或 d=4, 当 d=0 时,an=2; 当 d=4 时,an=2+(n-1)· 4=4n-2, 从而得数列{an}的通项公式为 an=2 或 an=4n-2. (2)当 an=2 时,Sn=2n,显然 2n<60n+800, 此时不存在正整数 n,使得 Sn>60n+800 成立. n[2+(4n-2)] 当 an=4n-2 时,Sn= =2n2. 2 令 2n2>60n+800,即 n2-30n-400>0, 解得 n>40 或 n<-10(舍去), 此时存在正整数 n,使得 Sn>60n+800 成立,n 的最小值为 41. 综上,当 an=2 时,不存在满足题意的正整数 n; 当 an=4n-2 时,存在满足题意的正整数 n,其最小值为 41. 7.[2014· 江苏卷] 在各项均为正数的等比数列{an}中,若 a2=1,a8=a6+2a4,则 a6 的值是________. 7.4 [解析] 由等比数列的定义可得,a8=a2q6,a6=a2q4,a4=a2q2,即 a2q6=a2q4+2a2q2.又 an>0,所以 q4-q2 -2=0,解得 q2=2,故 a6=a2q4=1×22=4. 3n2-n 17. 、 、[2014· 江西卷] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn= ,n∈N*. 2 (1)求数列{an}的通项公式; (2)证明:对任意的 n>1,都存在 m∈N*,使得 a1,an,am 成等比数列. 3n2-n 17.解:(1)由 Sn= ,得 a1=S1=1.当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n-2,a1 也符合上式,所以数列{an}的通项 2 公式为 an=3n-2. (2)证明: 要使得 a1, an, am 成等比数列, 只需要 a2 am , 即(3n-2)2=1· (3m-2), 即 m=3n2-4n+2.而此时 m∈N*, n=a1· 且 m>n, 所以对任意的 n>1,都存在 m∈N*,使得 a1,an,am 成等比数列. 18. 、[2014· 江西卷] 已知函数 f(x)=(4x2+4ax+a2) x,其中 a<0. (1)当 a=-4 时,求 f(x)的单调递增区间; (2)若 f(x)在区间[1,4]上的最小值为 8,求 a 的值. 2(5x-2)(x-2) 2? 2 18.解:(1)当 a=-4 时,由 f′(x)= =0 得 x= 或 x=2,由 f′(x)>0 得 x∈? ?0,5?或 x∈(2,+ 5 x

∞). 2? 故函数 f(x)的单调递增区间为? ?0,5?和(2,+∞). (10x+a)(2x+a) ,a<0, 2 x a a 所以由 f′(x)=0 得 x=- 或 x=- . 10 2 a? a? ? a ? a ? 当 x∈? ?0,-10?时,f(x)单调递增;当 x∈?-10,-2?时,f(x)单调递减;当 x∈?-2,+∞?时,f(x)单调递增. a? 易知 f(x)=(2x+a)2 x≥0,且 f? ?-2?=0. a ①当- ≤1,即-2≤a<0 时,f(x)在[1,4]上的最小值为 f(1),由 f(1)=4+4a+a2=8,得 a=± 2 2-2,均不符合 2 题意. (2)因为 f′(x)=
6

a? a ②当 1<- ≤4 时,即-8≤a<-2 时,f(x)在[1,4]时的最小值为 f? ?-2?=0,不符合题意. 2 a ③当- >4 时,即 a<-8 时,f(x)在[1,4]上的最小值可能在 x=1 或 x=4 时取得,而 f(1)≠8,由 f(4)=2(64+16a 2 +a2)=8 得 a=-10 或 a=-6(舍去). 当 a=-10 时,f(x)在(1,4)上单调递减,f(x)在[1,4]上的最小值为 f(4)=8,符合题意. 综上有,a=-10. 8.[2014· 全国卷] 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=3,S4=15,则 S6=( ) A.31 B.32C.63 D.64 a(1-q2) =3, 1-q a 8. C [解析] 设等比数列{an}的首项为 a, 公比为 q, 易知 q≠1, 根据题意可得 解得 q2=4, 1-q a(1-q4) =15, 1-q

? ? ? ? ?

a(1-q6) =-1,所以 S6= =(-1)(1-43)=63. 1-q 5.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 等差数列{an}的公差为 2,若 a2,a4,a8 成等比数列,则{an}的前 n 项和 Sn=( n(n+1) n(n-1) A.n(n+1) B.n(n-1)C. D. 2 2 5.A [解析] 由题意,得 a2,a2+4,a2+12 成等比数列,即(a2+4)2=a2(a2+12),解得 a2=4,即 a1=2,所以 n(n-1) Sn=2n+ ×2=n(n+1). 2 19. , ,[2014· 山东卷] 在等差数列{an}中,已知公差 d=2,a2 是 a1 与 a4 的等比中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=an(n+1),记 Tm=-b1+b2-b3+b4-?+(-1)nbn,求 Tn.
2

)

19.解:(1)由题意知,(a1+d)2=a1(a1+3d),即(a1+2)2=a1(a1+6),解得 a1=2.故数列{an}的通项公式为 an=2n. (2)由题意知,bn=an(n+1)=n(n+1),
2

所以 Tn=-1×2+2×3-3×4+?+(-1)nn×(n+1). 因为 bn+1-bn=2(n+1),所以当 n 为偶数时,Tn=(-b1+b2)+(-b3+b4)+?+(-bn-1+bn)=4+8+12+?+2n n (4+2n) 2 n(n+2) = = , 2 2 当 n 为奇数时, (n+1) - ,n为奇数, ? 2 (n-1)(n+1) (n+1) +(-b )= -n(n+1)=- .所以 T =? 2 2 n(n+2) ? 2 ,n为偶数.
2 n n 2

Tn=Tn-1

16. 、 、[2014· 陕西卷] △ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. (1)若 a,b,c 成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C); (2)若 a,b,c 成等比数列,且 c=2a,求 cos B 的值. 16.解: (1)∵a,b,c 成等差数列,∴a+c=2b.由正弦定理得 sin A+sin C=2sin B. ∵sin B=sin[π -(A+C)]=sin(A+C),∴sin A+sin C=2sin(A+C). (2)由题设有 b2=ac,c=2a,∴b= 2a. a2+c2-b2 a2+4a2-2a2 3 由余弦定理得 cos B= = = . 2ac 4a2 4 20. 、 、[2014· 天津卷] 已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数,设集合 M={0,1,2,?,q-1},集合 A={x|x= n-1 x1+x2q+?+xnq ,xi∈M,i=1,2,?,n}.
7

(1)当 q=2,n=3 时,用列举法表示集合 A. - - (2)设 s,t∈A,s=a1+a2q+?+anqn 1,t=b1+b2q+?+bnqn 1,其中 ai,bi∈M,i=1,2,?,n.证明:若 an< bn,则 s<t. 20.解:(1)当 q=2,n=3 时,M={0,1},A={x|x=x1+x2·2+x3·22,xi∈M,i=1,2,3},可得 A={0,1, 2,3,4,5,6,7}. - - (2)证明:由 s,t∈A,s=a1+a2q+?+anqn 1,t=b1+b2q+?+bnqn 1,ai,bi∈M,i=1,2,?,n 及 an<bn,可 得 - - s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+?+(an-1-bn-1)qn 2+(an-bn)qn 1 n-1 ) n-1 n-1 (q-1)(1-q ≤(q-1)+(q-1)q+?+(q-1)q n-2-q = -q =-1<0,所以 s<t. 1-q 16. 、[2014· 重庆卷] 已知{an}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,Sn 表示{an}的前 n 项和. (1)求 an 及 Sn; (2)设{bn}是首项为 2 的等比数列,公比 q 满足 q2-(a4+1)q+S4=0,求{bn}的通项公式及其前 n 项和 Tn. 16.解:(1)因为{an}是首项 a1=1,公差 d=2 的等差数列,所以 an=a1+(n-1)d=2n-1. n(a1+an) n(1+2n-1) 2 故 Sn=1+3+?+(2n-1)= = =n . 2 2 2 2 (2)由(1)得 a4=7,S4=16.因为 q -(a4+1)q+S4=0,即 q -8q+16=0, 所以(q-4)2=0,从而 q=4. 又因为 b1=2,{bn}是公比 q=4 的等比数列, - - - 所以 bn=b1qn 1=2×4n 1=22n 1. b1(1-qn) 2 n 从而{bn}的前 n 项和 Tn= = (4 -1). 3 1-q D4 数列求和 15. 、[2014· 北京卷] 已知{an}是等差数列,满足 a1=3,a4=12,数列{bn}满足 b1=4,b4=20,且{bn-an}为等比 数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{bn}的前 n 项和. 15.解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,由题意得 a4-a1 12-3 d= = =3. 3 3 所以 an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,?).设等比数列{bn-an}的公比为 q,由题意得 b4-a4 20-12 - - - q3= = =8,解得 q=2.所以 bn-an=(b1-a1)qn 1=2n 1.从而 bn=3n+2n 1(n=1,2,?). b1-a1 4-3 1-2n n 3 - - (2)由(1)知 bn=3n+2n 1(n=1,2,?).数列{3n}的前 n 项和为 n(n+1),数列{2n 1}的前 n 项和为 1× =2 2 1-2 3 -1,所以,数列{bn}的前 n 项和为 n(n+1)+2n-1. 2 n2+n 16. 、[2014· 湖南卷] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn= ,n∈N*. 2 (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=2an+(-1)nan,求数列{bn}的前 2n 项和. 16.解:(1)当 n=1 时,a1=S1=1; n2+n (n-1)2+(n-1) 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= - =n. 2 2 故数列{an}的通项公式为 an=n. (2)由(1)知,bn=2n+(-1)nn.记数列{bn}的前 2n 项和为 T2n,则 T2n=(21+22+?+22n)+(-1+2-3+4-?+2n). 记 A=21+22+?+22n,B=-1+2-3+4-?+2n, 2(1-22n) 2n+1 则 A= =2 -2, 1-2
8

B=(-1+2)+(-3+4)+?+[-(2n-1)+2n]=n. + 故数列{bn}的前 2n 项和 T2n=A+B=22n 1+n-2. 17. 、[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 已知{an}是递增的等差数列,a2,a4 是方程 x2-5x+6=0 的根.
?an? (1)求{an}的通项公式;(2)求数列?2n?的前 n 项和. ? ?

17.解:(1)方程 x -5x+6=0 的两根为 2,3. 由题意得 a2=2,a4=3. 1 3 1 设数列{an}的公差为 d,则 a4-a2=2d,故 d= ,从而得 a1= .所以{an}的通项公式为 an= n+1. 2 2 2
?an? an n+2 (2)设?2n?的前 n 项和为 Sn,由(1)知 n= n+1 , 2 2 ? ?

2

n+1 n+2 1 n+1 n+2 3 4 3 4 则 Sn= 2+ 3+?+ n + n+1 , Sn= 3+ 4+?+ n+1 + n+2 两式相减得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 n+2 3 1 n+2 n+4 1 3 Sn= +?23+?+2n+1?- n+2 = + ?1-2n-1?- n+2 ,所以 Sn=2- n+1 . 2 4 ? 4 4? ? 2 ? 2 2 19. , ,[2014· 山东卷] 在等差数列{an}中,已知公差 d=2,a2 是 a1 与 a4 的等比中项. (1)求数列{an}的通项公式;(2)设 bn=an(n+1),记 Tm=-b1+b2-b3+b4-?+(-1)nbn,求 Tn.
2

19.解:(1)由题意知,(a1+d)2=a1(a1+3d), 即(a1+2)2=a1(a1+6),解得 a1=2.故数列{an}的通项公式为 an=2n. (2)由题意知,bn=an(n+1)=n(n+1),
2

所以 Tn=-1×2+2×3-3×4+?+(-1)nn×(n+1).因为 bn+1-bn=2(n+1), 所以当 n 为偶数时, n (4+2n) 2 n(n+2) Tn=(-b1+b2)+(-b3+b4)+?+(-bn-1+bn)=4+8+12+?+2n= = , 2 2 当 n 为奇数时, (n+1) - ,n为奇数, ? 2 (n-1)(n+1) (n+1) +(-b )= -n(n+1)=- .所以 T =? 2 2 n(n+2) ? 2 ,n为偶数.
2 n n 2

Tn=Tn-1

D5 单元综合 18.[2014· 安徽卷] 数列{an}满足 a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),n∈N*.
?an? (1)证明:数列? n ?是等差数列;(2)设 bn=3n· an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. ? ?

an+1 an an+1 an ?an? a1 18.解: (1)证明:由已知可得 = +1,即 - =1,所以? n ?是以 =1 为首项,1 为公差的等差数列. n n 1 ? ? n+1 n+1 an (2)由(1)得 =1+(n-1)· 1=n,所以 an=n2, n 从而可得 bn=n· 3n.Sn=1×31+2×32+?+(n-1)×3n 1+n×3n,①3Sn=1×32+2×33+?+(n-1)3n+n×3n 1.②
- +

①-②得-2Sn=3 +3 +?+3 -n· 3

1

2

n

n+1

3·(1-3n) (1-2n)· 3n 1-3 (2n-1)· 3n 1+3 n+1 = -n· 3 = , 所以 Sn= . 2 4 1- 3
+ +

2 2 19.[2014· 广东卷] 设各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn 满足 S2 n∈N*. n-(n +n-3)Sn-3(n +n)=0, (1)求 a1 的值;(2)求数列{an}的通项公式;

9

1 1 1 1 (3)证明:对一切正整数 n,有 + +?+ < . a1(a1+1) a2(a2+1) an(an+1) 3 19. 、 、[2014· 湖北卷] 已知等差数列{an}满足:a1=2,且 a1,a2,a5 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式. (2)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和,是否存在正整数 n,使得 Sn>60n+800?若存在,求 n 的最小值;若不存在,说 明理由. 19.解:(1)设数列{an}的公差为 d,依题意知,2,2+d,2+4d 成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d), 化简得 d2-4d=0,解得 d=0 或 d=4,当 d=0 时,an=2;当 d=4 时,an=2+(n-1)· 4=4n-2, 从而得数列{an}的通项公式为 an=2 或 an=4n-2. (2)当 an=2 时,Sn=2n,显然 2n<60n+800, n[2+(4n-2)] 此时不存在正整数 n,使得 Sn>60n+800 成立.当 an=4n-2 时,Sn= =2n2.令 2n2>60n+800,即 2 n2-30n-400>0,解得 n>40 或 n<-10(舍去),此时存在正整数 n,使得 Sn>60n+800 成立,n 的最小值为 41. 综上,当 an=2 时,不存在满足题意的正整数 n;当 an=4n-2 时,存在满足题意的正整数 n,其最小值为 41. 20.[2014· 江苏卷] 设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若对任意的正整数 n,总存在正整数 m,使得 Sn=am,则称{an}是 “H 数列”. (1)若数列{an}的前 n 项和 Sn=2n(n∈),证明:{an}是“H 数列”. (2)设{an}是等差数列,其首项 a1=1,公差 d<0.若{an}是“H 数列”,求 d 的值. (3)证明:对任意的等差数列{an},总存在两个“H 数列”{bn}和{cn},使得 an=bn+cn(n∈)成立. + 20.解: (1)证明:由已知,当 n≥1 时,an+1=Sn+1-Sn=2n 1-2n=2n.于是对任意的正整数 n,总存在正整数 m =n+1,使得 Sn=2n=am, 所以{an}是“H 数列”. (2)由已知得,S2=2a1+d=2+d.因为{an}是“H 数列”,所以存在正整数 m,使得 S2=am,即 2+d=1+(m-1)d, 于是(m-2)d=1.因为 d<0,所以 m-2<0,故 m=1,从而 d=-1. n(3-n) 当 d=-1 时,an=2-n,Sn= 是小于 2 的整数,n∈N*.于是对任意的正整数 n,总存在正整数 m=2-Sn 2 n(3-n) =2- ,使得 Sn=2-m=am,所以{an}是“H 数列”,因此 d 的值为-1. 2 (3)证明:设等差数列{an}的公差为 d,则 an =a1+(n-1)d=na1+(n-1)(d-a1)(n∈N*). 令 bn=na1,cn=(n-1)(d-a1),则 an=bn+cn(n∈N*). 下证{bn}是“H 数列”. n(n+1) n(n+1) 设{bn}的前 n 项和为 Tn,则 Tn= a1(n∈N*).于是对任意的正整数 n,总存在正整数 m= ,使 2 2 得 Tn=bm,所以{bn}是“H 数列”. 同理可证{cn}也是“H 数列”. 所以对任意的等差数列{an},总存在两个“H 数列”{bn}和{cn},使得 an=bn+cn(n∈N*)成立. 3n2-n 17. 、 、[2014· 江西卷] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn= ,n∈N*. 2 (1)求数列{an}的通项公式; (2)证明:对任意的 n>1,都存在 m∈N*,使得 a1,an,am 成等比数列. 3n2-n 17.解:(1)由 Sn= ,得 a1=S1=1.当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n-2,a1 也符合上式,所以数列{an}的通项 2 公式为 an=3n-2. (2)证明: 要使得 a1, an, am 成等比数列, 只需要 a2 am , 即(3n-2)2=1· (3m-2), 即 m=3n2-4n+2.而此时 m∈N*, n=a1· 且 m>n, 所以对任意的 n>1,都存在 m∈N*,使得 a1,an,am 成等比数列. 18. 、[2014· 江西卷] 已知函数 f(x)=(4x2+4ax+a2) x,其中 a<0. (1)当 a=-4 时,求 f(x)的单调递增区间; (2)若 f(x)在区间[1,4]上的最小值为 8,求 a 的值.
10

18.解:(1)当 a=-4 时,由 f′(x)=

2(5x-2)(x-2) 2 2 0, ?或 x∈(2,+ =0 得 x= 或 x=2,由 f′(x)>0 得 x∈? ? 5? 5 x

2? ∞).故函数 f(x)的单调递增区间为? ?0,5?和(2,+∞). (10x+a)(2x+a) ,a<0, 2 x a a 所以由 f′(x)=0 得 x=- 或 x=- . 10 2 a a? ? ? a ? a ? 当 x∈? ?0,-10?时,f(x)单调递增;当 x∈?-10,-2?时,f(x)单调递减;当 x∈?-2,+∞?时,f(x)单调递增. a? 易知 f(x)=(2x+a)2 x≥0,且 f? ?-2?=0. a ①当- ≤1,即-2≤a<0 时,f(x)在[1,4]上的最小值为 f(1),由 f(1)=4+4a+a2=8,得 a=± 2 2-2,均不符合 2 题意. a? a ②当 1<- ≤4 时,即-8≤a<-2 时,f(x)在[1,4]时的最小值为 f? ?-2?=0,不符合题意. 2 a ③当- >4 时,即 a<-8 时,f(x)在[1,4]上的最小值可能在 x=1 或 x=4 时取得,而 f(1)≠8,由 f(4)=2(64+16a 2 +a2)=8 得 a=-10 或 a=-6(舍去). 当 a=-10 时,f(x)在(1,4)上单调递减,f(x)在[1,4]上的最小值为 f(4)=8,符合题意. 综上有,a=-10. 19. 、 、[2014· 四川卷] 设等差数列{an}的公差为 d,点(an,bn)在函数 f(x)=2x 的图像上(n∈N*). (1)证明:数列{bn}为等比数列; 1 (2)若 a1=1,函数 f(x)的图像在点(a2,b2)处的切线在 x 轴上的截距为 2- ,求数列{anb2 n}的前 n 项和 Sn. ln 2 bn+1 19.解:(1)证明:由已知得,bn=2an>0,当 n≥1 时, =2an+1-an=2d. bn 故数列{bn}是首项为 2a1,公比为 2d 的等比数列. (2)函数 f(x)=2x 在点(a2,b2)处的切线方程为 y-2a2=(2a2ln 2)(x-a2), 1 1 1 其在 x 轴上的截距为 a2- .由题意知,a2- =2- ,解得 a2=2, ln 2 ln 2 ln 2 2 所以 d=a2-a1=1,an=n,bn=2n,anbn =n· 4n. - 2 3 于是,Sn=1×4+2×4 +3×4 +?+(n-1)×4n 1+n×4n, + 4Sn=1×42+2×43+?+(n-1)×4n+n×4n 1, + n+1 4 -4 (1-3n)4n 1-4 + + 因此,Sn-4Sn=4+42+?+4n-n· 4n 1= -n·4n 1= , 3 3 n+1 (3n-1)4 +4 所以,Sn= . 9 (2)因为 f′(x)=

11


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