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广东省湛江一中等“四校”2017届高三上学期第一次联考数学(理)试题 Word版含答案


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“四校”2016-2017 学年度高三第一次联考

理科数学试题
本试题卷共 4 页,24 题(含选考题) 。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项: 1、答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上。 2、选择题的作答:每

小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3、填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题 卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4、选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案 写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5、考试结束后,请将答题卡上交。

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.设集合 A ? ?x | ( x ? 3)(1 ? x) ? 0? , B ? ?x | y ? lg(2x ? 3)? ,则 A ? B ? ( A. (3, ??) B. [ ,3) )

3 2

C. (1, )

3 2

D. ( ,3)

3 2

2.设复数 z 满足 (1 ? i ) z ? 是( )

3 ? i ,其中 i 为虚数单位,则在复平面内, z 对应的点的坐标

A. ( 2, ? 2)

B. (1, ?1)

C. (1, ?i)

D. (2, ?2i)

3. 《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有懒女不善 织,日减功迟,初日织五尺,末日织一尺,今三十织迄,问织几何.”其意思为:有个懒惰的
Z [] K -X

女子不善于织布,每天比前一天少织同样多的布,第一天织五尺,最后一天织一尺,三十天 织完,问三十天共织布( A. 30 尺 B. 90 尺 ) C. 150 尺 D. 180 尺 )
第 6 题图

4.设 f ( x ) 是 R 上的任意函数,则下列叙述正确的是( A. f ( x) f (? x) 是奇函数 B. f ( x) f (? x) 是奇函数

开始 输入n i=1,S=0

1 s ?s ? (2i ? 1)(2i ? 1)

i=i+1 否 i>n?

C. f ( x) ? f (? x) 是偶函数 D. f ( x) ? f (? x) 是偶函数 5.若函数 f ( x) ? ? A. ? 1

?ln x, ( x ? 0), ?e
x ?1

? 2, ( x ? 0).

,则 f ( f ( )) ? ( D. 3

1 e



B. 0

C. 1

6.执行如图所示的程序框图,如果输入 n ? 4 ,则输出的 S ? ( A.

)

6 7

B.

3 7

C.

4 9

D.

8 9

7.如图,网格纸上小正方形的边长为 2 ,粗线画出的是 某几何体的三视图,则该几何体的体积是( A. 6? B. 7? C. 12? D. 14? )

8.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的离心率为 2 , a 2 b2
) B.
第 7 题图

则该双曲线的顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的 距离之比为( A.

1 2

2 2
2

C.

3 3

D.

3 2

9.已知函数 f ( x) ? 4 ? x , g ( x) 是定义在 (??,0) ? (0, ??) 上的奇函数, 当 x ? 0 时, g ( x) ? ln x ,则函数 y ? f ( x)?g ( x) 的大致图象为( )

A

B

C

D

10.设 F 为抛物线 C : y 2 ? 3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30 ? 的直线交 C 于 A , B 两点,

O 为坐标原点,则 ?OAB 的面积为(
A. 63

) D.

32

B.

9 3 8

C. 9

4

3 3 4

11.函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x ( a ? 0 )的图象关于 x ? ( )

?
4

对称,则 y ? f (

3? ? x) 是 4

A.图象关于点 (? ,0) 对称的函数 C.图象关于点 (

B.图象关于点 ( D.图象关于点 (

3? ,0) 对称的函数 2

?
2

, 0) 对称的函数
x a

?
4

, 0) 对称的函数

12. 已知函数 f ( x) ? x ? e 存在单调递减区间, 且 y ? f ( x) 的图象在 x ? 0 处的切线 l 与曲 线 y ? e x 相切,则符合情况的切线 l ( A.有 3 条 B.有 2 条 ) D.不存在

C. 有 1 条

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分 . 第 (13)~(21) 题为必考题,每个试题考生都必须作答 . 第 (22)~(24)题为选考题,考生根据要求作答. :二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

?x ? y ? 0 ? 13.已知实数 x 、 y 满足 ? x ? y ? 4 ? 0 ,则 2 x ? y 的最小值是 ?x ? 1 ?
14.已知向量 a 与 b 的夹角为 120? , a ? 3 , a ? b ? 13 ,则 b ? 15. ( x ? 3x ? 2) 的展开式中 x 的系数是
2 5

.

?

?

?

?

?

?

.

.

16 . 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 且 a1 ? 1 , an?1 ? 2Sn , 则 数 列 ?an ? 的 通 项 公 式 为 .

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分) 如图,在梯形 ABCD 中, AB / / CD , BC ? 6 , cos ?ABC ? ? (Ⅰ)若 ?BAC ?

1 . 3

?
4

,求 AC 的长;

(Ⅱ)若 BD ? 9 ,求 ?BCD 的面积.

18. (本小题满分 12 分) 一个盒子装有六张卡片,上面分别写着如下六个定义域为 R 的函数:

f1 ( x) ? x , f2 ( x) ? x2 , f3 ( x) ? x3 , f 4 ( x) ? sin x , f5 ( x) ? cos x , f6 ( x) ? 2 .
(Ⅰ)现从盒子中任取两张卡片,将卡片上的函数相加得一个新函数,

求所得函数是奇函数的概率; (Ⅱ)现从盒子中进行逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张记有偶函数的卡 片则停止抽取,否则继续进行,求抽取次数 ? 的分布列和数学期望.
Z ][ om -xk.C

19. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PC ? 平面 ABC , PC ? 3 , ?ACB ?

?
2



D, E 分别为线段 AB, BC 上的点,且 CD ? DE ? 2 , CE ? 2 EB ? 2 .
(Ⅰ) 证明: DE ? 平面 PCD ; (Ⅱ) 求二面角 A ? PD ? C 的余弦值.

P

C D A

E

B

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 6 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,短轴一个端点到右焦点的距离为 2 a b 3

3.
(Ⅰ) 求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 设直线 l 与椭圆 C 交于 A 、 B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 求 ?AOB 面积的最大值.

3 , 2

21. (本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ? (2 ? a ) ln x ?

1 ? 2ax . x

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的极值; (Ⅱ)讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅲ)若对任意的 a ? (?3, ?2), x1 , x2 ?[1,3] ,恒有 (m ? ln3)a ? 2ln3 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立, 求实数 m 的取值范围.

请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, ? O 过平行四边形 ABCT 的三个顶点 B, C , T ,且与 AT 相切,交 AB 的延长线于点

D.
(Ⅰ)求证: AT ? BT ?AD ;
2

(Ⅱ)若 E、F 是 BC 的三等分点,且 DE ? DF ,求 ? A .

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xoy 中,曲线 C 的方程为 x ? 2 x ? y ? 0 ,以原点为极点, x 轴正半轴
2 2

) 为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? ? (? ? R 。 4
(Ⅰ)写出 C 的极坐标方程,并求 l 与 C 的交点 M , N 的极坐标; (Ⅱ)设 P 是椭圆

?

x2 ? y 2 ? 1上的动点,求 ?PMN 面积的最大值。 3

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? x ? x ? 2 ? x ? 3 ? m(m ? R) . (Ⅰ)当 m ? ?4 时,求函数 f ( x ) 的最大值; (Ⅱ)若存在 x0 ? R ,使得 f ( x0 ) ?
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1 ? 4 ,求实数 m 的取值范围. m

高三第一次“四校”联考理科数学试题参考答案
一、选择题答题卡(共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 。 题号 答案 1 D 2 B 3 B 4 D 5 A 6 C 7 D 8 A 9 B 10 C 11 A 12 D

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分). 13. ?2 15. 240 详细解答: 一、本大题共 12 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求的. 1. 【解析】D. A ? {x |1 ? x ? 3} , B ? {x | x ? } ,? A ? B ? {x | 2. 【解析】B. z ? 14. 4 16. an ? ?

(n ? 1) ?1 n?2 (n ? 2) ?2 ? 3

3 2

3 ? x ? 3} ,故选 D。 2

2 ? ?1 ? i ? 2 ? ? 1 ? i ,故选 B。 1 ? i ?1 ? i ? ? ?1 ? i ?
30 ? (5 ? 1) ? 90 , 2

3. 【解析】 B.问题模型为等差数列, 首项为 5, 末项为 1, 项数为 30 , 其和为 故选 B。 4. 【解析】D.

A 选项中 F ( x) ? f ( x) f (? x) 则 F (? x) ? f (? x) f ( x) ? F ( x) ,即函数

F ( x) ? f ( x) f (? x) 为偶函数, B 中 F ( x) ? f ( x) f (?x) , F (? x) ? f (? x) f ( x) 此时 F ( x)
与 F (? x) 的 关 系 不 能 确 定 , 即 函 数 F ( x) ? f ( x) f (?x) 的 奇 偶 性 不 确 定 , C 中

F ( x) ? f ( x) ? f (? x) , F (? x) ? f (? x) ? f ( x) ? ?F ( x) ,即函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) 为奇函
数 , D 中 F ( x ) ? f ( x) ? f ( ? x) , F ( ? x ) ? f ( ? x ) ? f ( x) ? F ( x) , 即 函 数

F ( x) ? f ( x) ? f (? x) 为偶函数,故选 D。

5. 【解析】A. f ( ) ? ln

1 e

1 1 ? ?1 , f ( f ( )) ? f ( ?1) ? e 0 ? 2 ? ?1,故选 A。 e e

6. 【解析】C.由图得,输出的 S 为数列 {

? 2n ? 1?? 2n ? 1?

1

} 的前四项和,而

1 1 n 4 1 1 1 )? ,? S4 = ,故选 C。 = ( ? ) ,? Sn = (1 ? 2 2n+1 2n+1 9 ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 2 2n ?1 2n+1
7. 【解析】D.受三视图的启发,据三视图,想象感知、分析校正、操作确认得原实物图为: 在一个水平横躺的底面半径为 2 ,高为 4 的圆柱中,在其前方、上侧的左侧挖去

1

1 部分后余 8 y
C B

下的部分. 所以该几何体的体积为

7 ? (? ? 22 ) ? 4 ? 14? .故选 D。 8

8. 【解析】A. 如图,过双曲线的顶点 A 、焦点 F 分别向其渐近线作垂线,

O
A F

c | AB | | OA | a 1 垂足分别为 B 、 C ,? e ? ? 2 ? ? ? ? ,故选 A。 a | FC | | OF | c 2

x

9. 【解析】 B. 因为 y ? f ( x) 是偶函数, y ? g ( x) 是奇函数,所以 y ? f ( x) ? g( x) 是在

(??, 0)? (0,?? ) 上的奇函数,可排除 A、C,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? g ( x) ? 0 可排除 D,
选 B. 10. 【解析】 C.解法一:F ( , 0) , 设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ), , AB ?

3 4

2p 3 ? ? 12 , 2 2 sin ? sin 30?

S? OAB ?

1 1 1 3 1 9 OF y1 ? y2 ? OF AB ? sin ? ? ? ?12 ? ? 。故选 C。 2 2 2 4 2 4

? ?y= 3x- 3,① 3 3 3 3 4 解法二:直线 AB 的方程为 y ? tan 30?(x ? ) ,即 y ? .联立? x? 4 3 4 2 ?y =3x,② ?
将x?

9 y2 代入①并整理得 4 3 y 2 ? 36 y ? 9 3 ? 0 , y1 ? y2 ? 3 3 , y1 y2 ? ? 4 3

S? OAB ?

1 1 OF y1 ? y2 ? OF 2 2

1 3 9 9 ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ? ? (3 3)2 ? 4(? ) ? 2 4 4 4
1 7 3 21 将①代入②并整理得 x2- x+ =0,∴x1+x2= , 3 2 16 2

? ?y= 3x- 3,① 3 4 解法三:联立? 2 ?y =3x,② ?

21 3 ∴线段|AB|=x1+x2+p= + =12,又原点(0,0)到直线 AB 的距离为 d= 2 2

3 4 3 = . 8 1 +1 3

∴ S? OAB ?

1 1 3 9 | AB | d ? ?12 ? ? 。故选 C。 2 2 8 4

11 . 【 解 析 】 A. 函 数 f ( x ) 的 图 象 关 于 x ?

?
4

对 称 , ∴ f ( 0 )? f (

?
2

), ∴ b ? ? a ,

∴ f ( x) ? a sin x ? a cos x , f (

3? 3? 3? ? x) ? a sin( ? x) ? a cos( ? x) , 4 4 4

f(

3? 3? 3? ? ? ) ? a sin( ? ? ) ? a cos( ? ? ) ? 0 ,故选 A。 4 4 4

12.【解析】D.

1 x 1 x f ?( x) ? 1 ? e a ,依题意可知, f ?( x) ? 1 ? e a ? 0 在 (??, ??) 有解, a a

① a ? 0 时,则 f ?( x) ? 0 ,? f ?( x) ? 0 在 (??, ??) 无解,不符合题意; ② a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ? a ? e a ? ln a ?
x

x ? x ? a ln a ,符合题意,所以 a ? 0 . a
1 )x ? 1. a

易知,曲线 y ? f ( x) 在 x ? 0 的切线 l 的方程为 y ? (1 ?

1 ? x0 e ? 1 ? ? ? a 假设 l 与曲线 y = e x 相切,设切点为 ( x0 , y0 ) ,则 l : ? ?e x0 ? (1 ? 1 ) x ? 1 0 , ? a ?
消去 a ,得 e 0 ? e 0 x0 ?1 ,? e
x x
x0

?

1 1 x ,画出 y ? e , y ? 的图象,知有唯一交点 x ?1 x0 ? 1

x0 ,且 x0 ? 1 ,? e x0 ? e ,
而 a ? 0 时, e
x0

? 1?

1 ? 1 ,与 e x0 ? e 矛盾,所以不存在.故选D。 a

:二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 【解析】 ?2 .画出可行域 ?ABC ,解得 A(1, ?1) , B(1,5) , C (?2, 2) ,代入得 2 x ? y 最小值为 2 ? (?2) ? 2 ? ?2 14. 【解析】 4 . a ? 3, a ? b ? 13, a ? b ?| a | ? | b | ? cos120? ? ?

3 ? | b |, 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? | a ? b |2 ?| a |2 ?2a ? b? | b |2 ,∴ 13 ? 9 ? 3| b | ? | b |2 ,则 b ? ?1 (舍去)或 b ? 4 .

?

? ?

? ?

?

?

2 5 5 5 15. 【解析】 240 .解法一: ∵ ( x ? 3x ? 2) ? ( x ? 1) ( x ? 2) ,∴ x 的项是

1 4 4 4 5 5 5 4 3xC4 2 ? 240x C5 xC5 2 ? C5 C5 x24 ? 240x ,∴ x 的系数是 240 。解法二: C5

16. 【解析】 an ? ?

(n ? 1) ?1 .∵ a1 ? 1 ,∴ a2 ? 2a1 ? 2 , ∵ an?1 ? 2Sn , n?2 (n ? 2) ?2 ? 3
an ?1 ?3 an

∴ an ? 2Sn?1 (n ? 2) , ∴ an?1 ? an ? 2(Sn ? Sn?1 ) ? 2an , ∴ an?1 ? 3an , ∴

(n ? 2 )


(n ? 1) ?1 a2 ? 2 ,∴数列 ?an ? 自第 2 项起是公比为 3 的等比数列, ∴ an ? ? n?2 a1 (n ? 2) ?2 ? 3

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)因为 cos ?ABC ? ? ,所以 ?ABC 为钝角,

1 3

?sin ?ABC ? 1 ? cos 2 ?ABC ? 1 ?
在 ?ABC 中,

1 2 2 ,…………2分 ? 9 3
6 sin

BC AC ? ,即 sin ?BAC sin ?ABC

?
4

?

AC , …………4分 2 2 3

解得 AC ? 8 . ……………………………5分 (Ⅱ)因为 AB / / CD ,所以 ?ABC ? ?BCD ? ? , 故 cos ?BCD ? ? cos ?ABC ?

1 ,………………6分 3
…………7分

?sin ?BCD ? sin ?ABC ?
在 ?BCD 中, cos ?BCD ?

2 2 . 3

1 36 ? CD 2 ? 81 ? ,………………9分 3 2 ? 6 ? CD
…………11分 …………12分

2 整理得 CD ? 4CD-45 ? 0 ,解得 CD ? 9 ,

所以 S?BCD ?

1 1 2 2 ? 6 ? 9 ? sin ?BCD ? ? 6 ? 9 ? ? 18 2 . 2 2 3

18. (本小题满分 12 分) 解:(1) f1 ( x) ? x , , f3 ( x) ? x3 , f 4 ( x) ? sin x ,这三个函数都是奇函数” 这三个函数任意两个相加得到的函数是奇函数 ………………1 分

记事件 A 为“任取两张卡片,将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”,

C32 1 由题意知 P( A) ? 2 ? . C6 5

…………………………………4 分

(2) ? 可取 1, 2,3, 4 .……………………5 分

P(? ? 1) ?
P(? ? 3) ?

1 C3 1 ? , 1 C6 2

P(? ? 2) ?

1 1 C3 C3 3 ? ? ………………7 分 1 1 C6 C5 10

1 1 1 1 1 1 1 C3 C3 C3 C3 C2 C2 C1 3 1 ;………9 分 ? ? ? , P ( ? ? 4) ? ? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 1 C6 C5 C4 20 C6 C5 C4 C3 20

故 ? 的分布列为

?
P

1

2

3

4

1 2

3 10

3 20

1 20

……………………………………………………11 分

E? ? 1 ?
?

1 3 3 1 7 ? 2 ? ? 3? ? 4? ? . 2 10 20 20 4
7 4

? 的数学期望为 . ……………………………………12 分

19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由 PC ^ 平面 ABC , DE ? 平面 ABC ,故 PC ? DE .…………2 分 由 CE ? 2 , CD = DE ?

2 ,?CD2 ? DE 2 ? CE 2
…………………………2 分

? CD ? DE .
又 PC ? CD ? C ,

? DE ^ 平面 PCD .……………………5 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, ?CDE 为等腰直角三角形,

?DCE ?

?
4

P

z

,如图,过 D 作 DF 垂直 CE 于 F ,

易知 DF ? FC ? FE ? 1,又已知 EB ? 1 ,故 FB ? 2 .

DF FB 2 由 ?ACB ? 得 DF // AC , ? ? , 2 AC BC 3
故 AC ?

?

C

E

x

By
A D

3 3 DF ? .………………………………7 分 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? 以 C 为坐标原点,分别以 CA, CB, CP 的方向为 x 轴, y 轴, z 轴的正方向建立空间直角坐
标系,则 C (0,0,0) , P(0,0,3) , A( ,0,0) , E (0,2,0) , D (1,1,0) ,

3 2

??? ? 1 ??? ? ??? ? ED ? (1, ?1,0) , DP ? (?1, ?1,3) , DA ? ( , ?1, 0) .………………………………8 分 2 ?? ??? ? ?? ??? ? ? 设平面 PAD 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,由 n1 ? DP ? 0 , n1 ?DA ? 0 ,

?? x1 ? y1 ? 3 z1 ? 0, ? ? 得 ?1 故可取 n1 ? (2,1,1) .……………………9 分 x1 ? y1 ? 0, ? ?2
由(I)可知 DE ^ 平面 PCD ,故平面 PCD 的法向量 n 2 可取为 ED ,即 n2 ? (1,?1,0) . 从而法向量 n1 , n 2 的夹角的余弦值为

?

?

?

?

? ? n1 ? n2 ? ? (2,1,1,)? (1, ?1,0) 3 .………………11 分 cos? n1 , n2 ? ? ? ? ? ? n1 ? n2 6 4 ? 1 ? 1? 1 ? 1 ? 0
故所求二面角 A ? PD ? C 的余弦值为 20. (本小题满分 12 分)

3 .…………………………12 分 6

?c 6 , ? ? 解: (Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,依题意 ? a 3 ………………2 分 ? a ? 3, ?
?b ? 1,
……………………3 分

x2 ? 所求椭圆方程为 ? y 2 ? 1.………………4 分 3
(Ⅱ)设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) . (1)当 AB ⊥ x 轴时, l 为 x ? 得y??

x2 3 ? y 2 ? 1. ,代入 3 2

3 , ? AB ? 3 ………………………………5 分 2

(2)当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m . 由已知

m 1? k 2

?

3 2 3 2 ,得 m ? (k ? 1) .……………………6 分 4 2
2 2 2

把 y ? kx ? m 代入椭圆方程,整理得 (3k ? 1) x ? 6kmx ? 3m ? 3 ? 0 ,

? ? 27k 2 ? 3 ? 0 , x1 ? x2 ?
2 2

?6km 3(m 2 ? 1) x x ? , .……………………7 分 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1
2

? 36k 2 m2 12(m2 ? 1) ? ? AB ? (1 ? k )[( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ] ? (1 ? k ) ? 2 ? 2 3k 2 ? 1 ? ? (3k ? 1) ?

?

12(k 2 ? 1)(3k 2 ? 1 ? m 2 ) 3(k 2 ? 1)(9k 2 ? 1) 12k 2 ? ? 3 ? …………9 分 (3k 2 ? 1) 2 (3k 2 ? 1) 2 9k 4 ? 6k 2 ? 1

当 k ? 0 时, AB ? 3 ,………………………………10 分 当 k ? 0 时, AB ? 3 ?

12 12 ? 3? ?2 1 2 ? 3 ? 6 2 9k ? 2 ? 6 k

2 当且仅当 9 k ?

1 3 ,即 k ? ? 时等号成立. ………………11 分 2 k 3

综上所述 AB max ? 2 .

1 3 3 .………………12 分 ? ? 当 AB 最大时, △ AOB 面积取最大值 S ? ? AB max ? 2 2 2
21. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)函数的定义域为 (0, ??) ,当 a ? 1 时,函数 f ( x) ? ln x ?

1 ? 2x x

1 1 2 x 2 ? x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) f ?( x) ? ? 2 ? 2 ? ? ,………………1 分 x x x2 x2
? x ? 0 ,? x ? 1 ? 0
令 f ?( x) ? 0, 则 x ?

1 1 ,令 f ?( x) ? 0, 则 0 ? x ? ……………………2 分 2 2 1 2 1 2

所以函数 f ( x ) 在 (0, ) 上单调递减,在区间 ( , ??) 上单调递增, 所以函数 f ( x ) 在 x ? 分
Z ][ om -xk.C

1 处取得极小值,极小值为 3 ? ln 2 , f ( x ) 无极大值.………………3 2

(Ⅱ) f ?( x) ?

2?a 1 2ax 2 ? (2 ? a) x ? 1 (2 x ? 1)(ax ? 1) ? 2 ? 2a ? ? x x x2 x2
1 2x ?1 1 ,令 f ?( x) ? 0, 则 x ? ,令 f ?( x) ? 0, 则 0 ? x ? 2 2 x 2 1 2

①当 a ? 0 时, f ?( x ) ?

所以函数 f ( x ) 在 (0, ) 上单调递减,在区间 ( , ??) 上单调递增,………………4 分

1 2

1 a(2 x ? 1)( x ? ) a ,令 f '( x) ? 0, 得x ? 1 , x ? ? 1 , 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 1 2 2 2 a x
②当 a ? 0 时,则 x ?

1 1 1 ? 0 ,令 f ?( x) ? 0, 则 x ? ,令 f ?( x) ? 0, 则 0 ? x ? 2 a 2

所以函数 f ( x ) 在 (0, ) 上单调递减,在区间 ( , ??) 上单调递增,………………5 分 ③当 a ? ?2 时,

1 2

1 2

1 1 ?(2 x ? 1)2 ? ? , f ?( x) ? ?0, 2 a x2

函数 f ( x ) 在定义域 (0, ??) 单调递减;………………………………6 分 ④当 ?2 ? a ? 0 ,

1 1 1 1 1 ? ? ,令 f ?( x) ? 0, 则 ? x ? ? ,令 f ?( x ) ? 0, 则 0 ? x ? 或 2 a 2 a 2

x??

1 1 1 1 1 所 以 f ( x ) 在 区 间 (0, ) 和 (? , ??) 上 单 调 递 减 , 在 区 间 ( , ? ) 上 单 调 递 a 2 a 2 a
1 1 1 1 1 ? ? ,令 f ?( x ) ? 0, 则 ? ? x ? ,令 f ?( x ) ? 0, 则 0 ? x ? ? 或 2 a a 2 a

增;…………7 分 ⑤当 a ? ?2 时,

x?

1 1 1 1 1 所以 f ( x ) 在区间 (0, ? ) 和 ( , ??) 上单调递减, 在区间 ( ? , ) 上单调递增. 2 a 2 a 2
1 2 1 2

综上,当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 (0, ) 上单调递减,在区间 ( , ??) 上单调递增; 当 a ? ?2 时,函数 f ( x ) 在定义域 (0, ??) 单调递减; 当 ?2 ? a ? 0时,f ( x)在区间(0, ), ( ?

1 2

1 1 1 , ??) 上单调递减,在区间 ( , ? ) 上单调递增; 2 a a 1 1 , ) 单调递增.……8 a 2

当 a ? ?2 时, f ( x ) 在区间 (0, ? ), ( , ?? ) 上单调递减,在区间 ( ? 分

1 a

1 2

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 a ? (?3, ?2) 时,函数 f ( x ) 在区间 [1,3] 上单调递减,

a , f (x mi ) n ? f (3) ? (2 ? a ) ln? 3 ? a 6 …9 所以当 x ? [1,3] 时, f ( x)ma x ? f (1)? 1? 2 ,
分 问题等价于:对任意的 a ? (?3, ?2) , 恒有 (m ? ln 3)a ? 2 ln 3 ? 1 ? 2a ? (2 ? a) ln 3 ? 即 am ? 分 又 a ? (?3, ?2) , ?

1 3

1 ? 6a 成立,…………10 分 3
对任意的 a ? (?3, ?2) 恒成立 …………11

2 2 ? 4a ,因为 a ? 0 ,? m ? ?4 3 3a

2 2 13 ?4 ? ?4 ? ? 3a 3 ? (?2) 3

所以,实数 m 的取值范围是 (?? ,? 22. (本小题满分 10 分) 解:

13 3

? .………………12 分

(Ⅰ)证明:因为 ?A ? ?TCB, ?ATB ? ?TCB , ∴ ?A ? ?ATB ,所以 AB ? BT , 又∵ AT ? AB?AD ,
2 2

所以 AT ? BT ?AD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分 (Ⅱ)取 BC 中点 M ,连接 DM , TM , 由(1)知 TC ? TB ,所以 TM ? BC , ∵ DE ? DF , M 为 EF 的中点,所以 DM ? BC , ∴ O, D, T 三点共线, DT 为 ? O 的直径. ∴ ?ABT ? ?DBT ? 90 ,
0

∴ ?A ? ?ATB ? 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分
0

23. (本小题满分 10 分) 解:(Ⅰ)因为 x ? ? cos? , y ? ? sin ? ,所以 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos? , 2 分 直线 l 的直角坐标方程为 y ? x , 联立方程组 ?

?y ? x ? x ? 0 或 ? x ? 1 ,· ,解得 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 ? 2 2 x ? 2 x ? y ? 0 ?y ? 0 ?y ? 1 ?

所以点 M , N 的极坐标分别为 (0,0), ( 2 ,

?
4

). · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分

(Ⅱ)由(Ⅰ)易得 | MN |? 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 因为 P 是椭圆

x2 · · 7分 ? y 2 ? 1上的点,设 P 点坐标为 ( 3 cos? , sin ? ) , · 3

则 P 到直线 y ? x 的距离 d ?

3 cos? ? sin ? 2

,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分

所以 S ?PMN

1 1 ? MN d ? ? 2 ? 2 2
当 ? ? k? ?

3 cos? ? sin ? 2

2 cos(? ? ? 2

?
6

) ? 1 ,…………9 分

?
6

, k ? Z 时, S?PMN 取得最大值 1. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分

24. (本小题满分 10 分)

?3 x ? 3, x ? ?2, ? 解: (Ⅰ)当 m ? ?4 时, f ( x) ? x ? x ? 2 ? x ? 3 ? 4 ? ? x ? 1, ?2 ? x ? 3, ……2 分 ?? x ? 5, x ? 3 ?
∴函数 f ( x ) 在 (??,3] 上是增函数,在 (3, ??) 上是减函数, 所以 f ( x)max ? f (3) ? 2 .……………………………4 分 (Ⅱ) f ( x0 ) ?

1 1 ? 4 ,即 x0 ? x0 ? 2 ? x0 ? 3 ? 4 ? m ? , m m
1 成立, m

令 g ( x) ? x ? x ? 2 ? x ? 3 ? 4 ,则存在 x0 ? R ,使得 g ( x0 ) ? m ? ∴m?

1 ? g ( x ) max , m

由(Ⅰ)知 g ( x) 最大值为 2

?m ?

1 ? 2, m

………………………………7 分

2 ∴当 m ? 0 时,原不等式为 (m ?1) ? 0 ,解得 m ? 1 ,

当 m ? 0 时,原不等式为 (m ?1)2 ? 0 ,解得 m ? 0 , 综上所述,实数 m 的取值范围是 (??,0) U?1? .……………………………10 分


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