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对数函数的概念和反函数


对数函数的概念和反函数

一、对数函数的概念
? 一般地,函数 y = loga x (a>0,且a≠ 1 )叫做对数函
数.其中 x是自变量,函数的定义域是( 0 , +∞).
? 注意:1、loga x 前面的系数必须是1;
? 2、对数的底数是常数,a>0,且a≠ 1;

?

3、自变量x在真数的位置上,且真数仅有自变量x。

?

以下函数是对数函数吗?
(1)y=log3 (x- 2) (2)y=log3 (-x)

NO!

y (3)

? log a x

2

判断一个函数是不是对数函数,我们必须 严格按照定义的形式去判断!

求下列函数的定义域
(1)y

? log 5 (1 ? x)

1 (2) y ? log 2 x
(3)

y ? log 0.2 (4 ? x)
x ? 1(a ? 0, 且a ? 1)

(4) y ? log a

二、反函数
对数式与指数式的互化:

a ? b ? log a b ? N
N

指数函数与对数函数的互化:

y ? a ? log a y ? x
x

函数的概念

在某变化过程中有两个变量x、y,如果 对于x在某个实数集合D内的每一个确定的值 ,按照某个对应法则f,y都有唯一确定的实 数值与它对应,那么y就是x的函数,记作 y=f(x),x∈D,x叫做自变量,y叫做因变量 ,x的取值范围D叫做函数的定义域,和x的 值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集 合叫做函数的值域.

反函数的概念

一般地,对于函数y=f(x),设它的定义 域为D,值域为A.如果对A中任意一个值y ,在D中总有唯一确定的x值与它对应,且满 足y=f(x),这样得到的x关于y的函数叫做 y=f(x)的反函数,记作x=f -1(y).
y=f -1(x) (x? A)

反函数存在的条件:函数的定义域与值域是一一映射
(1) 函数 y ? x 2 , x ? R 有没有反函数?

(2) 求函数 y ? x 2 , x ? 0 的反函数.
y ? ? x, x ? 0

反函数的性质
? 1、函数的定义域是它反函数的值域,函数 的值域是它反函数的定义域; ? 2、互为反函数的两个函数的图像关于直线 y=x对称; ? 3、互为反函数的两个函数其中一个函数图 像过(a,b),则另一个必过点(b,a); ? 4、若一个奇函数存在反函数,则它的反函 数也是奇函数。

求反函数的步骤

? 1、由y=f(x)解出x关于y的式子,即“反解”; ? 2、由函数y=f(x)的定义域和值域确定反函数 的值域和定义域,即“交换”; ? 3、根据习惯将x改写为y,y改写为x,并注明相 应的定义域,即“改写”。

例1、求下列函数的反函数 (1) (2) (3) (4)

y ? 4x ? 2
y ? x ?1
3

y ? x 2 ? 1( x ? 0)

3x ? 1 1 y? ( x?R 且 x ? ? ) 4x ? 2 2

本节小结:
? ? ? ? 1、对数函数的概念及其注意事项; 2、反函数的概念及其性质; 3、反函数存在的条件; 4、求反函数的步骤


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