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【数学】高二数学第一章解三角形单元测试题及答案(1)(人教版必修5)


滕州实验高级中学

高中数学(必修 5)第一章:解三角形测试(一)
班级: 姓名 成绩:__________

正弦定理与余弦定理:
1.正弦定理:
a sin A ? b sin B ? c sin C
2 2 2 ? b ?c ?a ? co s A ? 2bc ? 2 2 2 a ?c ?b ?

co s B ? . ? 2ac ? 2 2 2 ? b ?a ?c co s C ? ? 2ab ?

? 2 R 或变形: a : b : c ? sin A : sin B : sin C .

? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2 b c co s A ? 2.余弦定理: ? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2 a c co s B 或 ? 2 2 2 ? c ? b ? a ? 2 b a co s C

3. (1)两类正弦定理解三角形的问题:1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角,求其他边角. (2)两类余弦定理解三角形的问题:1、已知三边求三角. 2、 已知两边和他们的夹角, 求第三边和其他两角. 4.判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式. 5.解题中利用 ? ABC 中 A ? B ? C ? ? ,以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的 运算,如: sin ( A ? B ) ? sin C , co s( A ? B ) ? ? co s C , tan( A ? B ) ? ? tan C ,
sin A?B 2 ? co s C 2 , co s A?B 2 ? sin C 2 , tan A?B 2 ? co t C 2

.、

已知条件

定 理 应 用 正 弦 定 理

一般解法

一边和两角 (如 a、B、C) 两边和夹角 (如 a、b、c) 三边 (如 a、b、c)

由 A+B+C=180˙,求角 A,由正弦定理求出 b 与 c,在有解时 有一解。 由余弦定理求第三边 c,由正弦定理求出小边所对的角,再 由 A+B+C=180˙求出另一角,在有解时有一解。 由余弦定理求出角 A、B,再利用 A+B+C=180˙,求出角 C 在有解时只有一解。

余 弦 定 理

余 弦 定 理

用心

爱心

专心

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[基础训练 A 组] 一、选择题
1.在 ? A B C 中,角 A : B : C ? 1 : 2 : 3 ,则边 a : b : c 等于( A. 1 : 2 : 3 B. 3 : 2 : 1 C. 1 : 3 : 2 D. 2 : 3 : 1 ) .

2.以 4 、 5 、 6 为边长的三角形一定是( ) . A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 3.在 ? A B C 中,若 b ? 2 a sin B ,则角 A 等于( ) . A. 3 0 , 或 6 0
? ?

D.锐角或钝角三角形

B. 4 5 , 或 6 0

?

?

C. 1 2 0 , 或 6 0

?

?

D. 3 0 , 或 1 5 0 ) .

?

?

4.边长为 5, 7 , 8 的三角形的最大角与最小角的和是( A. 90
?

B. 1 2 0

?

C. 1 3 5

?

D. 1 5 0

?

5.在 ? A B C 中,若 ( a ? b ? c )( b ? c ? a ) ? 3 bc ,则角 A 等于( A. 30
?

) .

B. 6 0

?

C. 90

?

D. 1 2 0
13 14
1 8

?

6.在 ? A B C 中,若 a ? 7 , b ? 8 , cos C ? A. ?
1 5

,则最大角的余弦是(

) .

B. ?

1 6

C. ?

1 7

D. ?

7.在 ? A B C 中,若角 A ? 2 B ,则边 a 等于( A. 2 b sin A B. 2 b cos A C. 2 b sin B 8.在 ? A B C 中, sin A : sin B : sin C ? 2 : A.60° B.45°
?

) . D. 2 b cos B ) . D.以上都错 ) .

6 : ( 3 ? 1) ,则三角形最小的内角是(
a?b c

C.30° 等于(

9.在 ? A B C 中,若 C ? 9 0 ,则三边的比 A. 2 cos C. 2 sin
A? B 2 A? B 2

B. 2 cos D. 2 sin

A? B 2 A? B 2

10.在 ? A B C 中,若 ( b ? c ) : ( c ? a ) : ( a ? b ) ? 5 : 6 : 7 ,则 co s B 的值为( A.
11 16

) .

B.

11 14

C.

9 11

D.

7 8

11.在 ? A B C 中,若 a ?

3,b ?

2,c ?

6 ? 2

2

,则角 A 的大小为(

) .

A. 3 0

0

B. 60

0

C. 9 0
?

0

D. 1 2 0
?

0

12.在△ A B C 中, A ? 6 0 , C ? 4 5 , b ? 2 ,则此三角形的最小边长为(
用心 爱心 专心

) .

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A. 3 ? 1

B. 2 ( 3 ? 1)

C. 3 ? 1

D. 2 ( 3 ? 1)

二、填空题
13.在 ? A B C 中,若 a ? b ? b c ? c ,则角 A ? _________.
2 2 2

? ? 14.在 ? A B C 中,若 b ? 2, B ? 3 0 , C ? 1 3 5 ,则边 a ? _________.

15.在 ? A B C 中,若

sin A a

?

co s B b

?

co s C c

,则△ABC 的形状是_________.

16.在 ? A B C 中,∠C 是钝角,设 x ? sin C , y ? sin A ? sin B , z ? cos A ? cos B , 则 x , y , z 的大小关系是___________________________.

三、解答题
17.在 ? ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,证明:
a
2

?b c
2

2

?

sin( A ? B ) sin C



18.在△ABC 中,若 ( a ? b ) sin( A ? B ) ? ( a ? b ) sin( A ? B ) ,请判断三角形的形状.
2 2 2 2

用心

爱心

专心

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19.在△ABC 中,若 A ? B ? 120 ,则求证:

?

a b?c

?

b a?c

?1.

20.在△ A B C 中, a b ? 6 0 3 , sin B ? sin C ,面积为 1 5 3 ,求 b 边的长. 在△ABC 中,最大角 A 为最小角 C 的 2 倍,且三边 a , b , c 为三个连续整数,求 a , b , c 值.

用心

爱心

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