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特殊化与一般思想第三篇


GUANG DONG JIAO YU GAO ZHONG

特殊化与一般思想
■俞新龙

第一篇 : 特殊化思想概述
一 、 特殊化思想的含义 特殊化思想是一种重要的数学思想, 也是一种辩证的认 知规律 . 历史上一些重大的科学发现时常是由特殊引发的 . 著名 数学家华罗庚认为 : 善于 “ 退 ”, 一直 “ 退 ”

到原始而不失重 要性的地方 , 是 学 习 数 学 的 一 个 诀 窍 . 波 利 亚 说 : 特 殊 化 是 以 考虑一组给定的对象集合过渡到考虑该集合的一个较小的子 集 , 或仅一个 对 象 . 希 尔 伯 特 说 : 在 讨 论 数 学 问 题 时 , 我 相 信 特殊化比一般 化 起 着 更 为 重 要 的 作 用 . 我 们 寻 找 一 个 答 案 而 未 能成功的原因, 就在于这样的事实, 即有一些比手头的问题 更简单、 更容易的问题没有完全解决, 这一切都有赖于找出 这些比较容易的问题, 并且用尽可能完善的方法和能够推广 的概念来解决它们 . “特殊化思想 ” 是中学数学里很重要的一种思想方法 , 在各 级各类试题里有许多能够利用特殊化思想解决的问题 .那么什么 是特殊化思想 ? 它是指在解题时采用特殊的判断 、 特殊的数值 、 特殊的几何图形等来解题的策略 , 并且在客观题中所求得的结 果就是问题的结果 ; 或者先解决数学问题的特殊情形或从解决 特殊情形的方法或结果应用或推广到一般问题之中 , 从而获得 一 般 性 问 题 的 解 决 的 思 想.显 而 易 见 , 相 对 于 “一 般 ” 而 言 , “特殊 ” 往往显得简单 、 直观和具体 , 且容易解决. 二 、 特殊化思想解题的一些思路 在解答数学问题时, 特殊化方法常常表现为将一般问题 特殊化处理或从特殊出发探索解题方向 , 以获得问题的解决 , 它是一种以 “ 退 ” 为 “ 进 ” 的 解 题 策 略 . 用 问 题 最 特 殊 情 形 的 解来得到一般问题的解, 因此在选择题和填空题等客观问题 中一定要特别 注 意 特 殊 化 思 想 的 应 用 . 一 些 定 点 、 定 值 类 问 题 常可用特殊化 解 题 . 总 之 , 就 是 从 问 题 的 简 单 化 、 特 殊 化 入 手 解答 . 尤其是 当 我 们 解 题 束 手 无 策 时 一 定 不 能 忘 了 特 殊 化 思 想 这个 “ 大救星 ” . 从形式上看, 将一般性问题特殊化是不困难的, 但某个 一般性问题经过不同的特殊化处理会得到多个不同的特殊化 命题 . 因此 , 特 殊 化 思 想 的 关 键 是 能 否 找 到 一 个 最 隹 的 特 殊 化 问题 , 因为 , 较为理想的特殊问题是极易解决的 . 三 、 特殊化思想解题易范错误 为了弄清这个问题先请同学们看下面的问题 : 对于 x∈[0,1]的一切值, a +b>0 是使 ax+b>0 恒成立的 (

C. 必要不充分条件

D. 既不充分又不必要条件 2

同学们你做好了吗 ? 答案为 C. 因为 a +b>0 推不出 ax+b>0 恒成立 , 而对于 x∈[0 ,1] 的 一 切 值 ax+b>0 成 立 时 , 取 x= 1 ,

2

就应该有 a +b>0. 因此 , 特殊化思想解题实际上是在用问题的 2 必要条件解题, 但因为在选择题和填空题中又是充分的, 所 以, 在客观题中用这种思想解题是等价的, 即是充分必要条 件关系, 但如果是解答题, 则这种做法是不完备的, 犯了 “ 以部分代替全体 , 特殊代替一般 ” 的错误 , 有时甚至是错误 的 . 例 如 , 我 们 知 道 数 列 an= (n2-5n+5)2 并 不 是 常 数 列 {1} , 但 有 的 同 学 在 计 算 了 a1 =1 ,a2 =1 ,a3 =1 ,a4 =1 后 就 得 出 结 论 an=1 , 如果从这四个特殊的例子就得出结论毫无疑问是错误的, 因 为 a5=25≠1. 又如对于问题 : 已知数列 {an} 满足 an=n · 2n -1 (x∈
2 n N*), 是否存在等差数列 {bn} 使等式 an=b1C1 n +b2Cn + … +bnCn 对一切

正 整 数 n 成 立 ? 并 证 明 你 的 结 论.绝 大 多 数 同 学 都 能 这 样 做 :
2 n 假设存在等 差 数 列 {bn} 使 等 式 an=b1C1 n +b2Cn + … +bnCn 对 一 切 正 整

数 n 成 立 , 则 当 n=1 时 得 1=b1C1 1 , 所 以 b1=1 ; 当 n=2 时 得 4=
1 2 3 b1C12 +b2C2 2 , 所 以 b2=2 ; 当 n=3 时 得 12=b1C3 +b2C3 +b3C3 , 所 以

b3=3. 如果由此就给出结论存在 等 差 数 列 {bn=n} 满 足 题 意 , 我 们
认 为 是 不 完 备 的 . 因 为 在 之 前 的 解 答 中 仅 证 明 了 n=1 ,2 ,3 是 成 立的 , 而 n=4,5,6, … 更多的时候还没有证明.因此接下去需证明
2 n · 等式 n 2n -1=1C1 n +2Cn +…+nCn 是否成立 ? 若成立 , 则问题解决.

第二篇 : 集合中的特殊化思想
集合问题虽说大多简单, 但如果能用好特殊化思想也能 节省不少解题的时间 . 例 1. 已知集合 M={(x,y)│2x-y=3},N={(x,y)│x+y=0}, 那么 集合 M∩N=( )

A. x=1 ,y=-1

B. (1,-1 )

C. {1,-1}

D. { (1,-1 )}

解析: 通过联立方程组

∩ x+y=0

2x-y=3,


解得

∩ y=-1
x=1 ,



所以集合

M∩N={ (1,-1 )}.
但 实 际 上 , 我 们 可 以 从 判 断 A、 B、 C、 D 四 个 选 择 项 的 形 式 上 直 接 给 出 答 案 D, 因 为 所 求 结 果 必 须 是 一 个 点 坐 标 为 元素的集合 , 而题中只有 D 是这种形式的 .

2



第三篇 : 函数与导数中的特殊化思想
函数与导数是高中数学的重点内容之一, 题型复杂, 难

A. 充要条件

B. 充分不必要条件

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点拨

数学有数
妙解题 . 例 4. 已 知 函 数 f (x)= cx 数 c 的值 . · cx c ( ) cf x 2x+c = c2x 解 析 : 因 为 f[f (x)] = =x, = ( 2f(x)+3 2 cx 2 c + 6)x+9 · +3 2x+c 所以 (2c+6)x2+9x=c2x, 故

度大, 但是如果能够合理利用好特殊化思想, 则往往能给我 们解题带来良好的效果 , 达到巧妙的解决问题 . 一 、 取特殊值巧妙解题 例 1. 设 a∈R , 若 x>0 时均有 [ (a-1 )x-1] (x -ax-1 )≥0 , 则
2

2x+3

(x≠- 3 ) 满 足 f[f (x)] =x, 求 实

2

a=____________.
解 析 : 原 问 题 等 价 于 函 数 f(x)= (a-1 )x-1 和 g(x)=x2-ax-1 在 x>0 上的符号相同 , 显然需要对 f(x)的单调性进行讨论 . (1) 当 a=1 时 ,f(x)=-1<0,g(x)=x2-x-1 的零点为 x= 1- 姨 5 ,

2

2c+6=0, ≠ 9=c
2



得 c=-3.

x= 1+ 姨 5 ∈ (0 ,+∞ ), 故 g(x)≤0 在 x>0 上不成立 . 2
(2 ) 当 a<1 时 , f(x)=(a-1)x-1<0 对 x>0 成立 , g(x)=x2-ax-1 的零点为 x= a- 姨a +4 , x= a+ 姨a +4 ∈(0,+∞), 故 g(x)≤0在
2 2

对于本题 , 也可用特殊值法求解如下 : 因为 f[f(-1)]=f(-c)=

-c =-1, c2+2c-3=0 , c=1 或 c=-3 …… ① . 怎 么 多 解 了 呢 ? -2x+3
问题出在哪儿 ? 如何解决或避免 ? 我们知道, 从一般到特殊是必成立的, 但从特殊到一般 是不一定成立的 , 所以需要检验 ! 例如对于例 5 , 求得 c=1 或

2

2

2

x>0 上不成立 .
(3 ) 当 a>1 时 , f(x)和 g(x)均过定点 (0,-1), 且 f(x)的 零 点为 x= 1 , g(x)的对称轴 x= a >0, 所以要使命题成立 , f(x) a-1 2 和 g (x) 的 图 像 必 须 如 图 所 示 , 即 g(x)也 过 点 (

c=-3 后 , 我们还应分 c=1 或 c=-3 两种情况进行检验如下 : x 2 x +3 当 c=1 时, f[f(x)]= = x ≠x, 不满足; 当 c=-3时, · x +3 8x+9 2 2x+3
· -3x -3 2x+3 = 9x =x, 满足 , 所以 c=-3. f[f(x)]= 9 · -3x +3 2 2x+3 当然, 如果我们能再用一次特殊值法求 c 的话, 问题也 能解决 .
2 又因为 f[f(-2)]=f(2c)= 2c =-2, c2+4c+3=0, c=-1 或 c=-3

y

1 a-1 a-1

,0) , )2-a · 1
2

所 以

y=x -ax-1 O -1 y=(a-1)x-1 x= a 2
例1图

2

( 1

a-1

-1 =0 ,

x

整理得 2a -3a=0, 解得

a= 3 , 或 a=0 ( 舍 ) . 2
综上所述 , a= 3 . 2

4c+3

…… ② , 故由 ①② 得 c=-3. 例 5. 设函数 f(x)=x3-ax2-bx+a2 在 x=1 处有极值 10, 则 a, b 的 值 为 ( )

特殊方法 : 注意到不等式对 x>0 都成立 , 所以对任意 x>0 的值均成立 , 即 x=1 时成立 , 有 (a-2 )(-a)≥0 , 解得 0≤a≤2 ;

A. a=3,b=-3 或 a=-4,b=11 C. a=-1 ,b=5
( ) ,
2

B. a=3,b=1 或 a=-4,b=11 D. 以上都不对

x=2 时成立 , 有 (2a-2 )(3-2a)≥0 , 解得 a= 3 , 于是得 a= 3 . 2 2
例 2. 设 f(x)=ax5+bx3+cx+7 ( 其 中 a,b,c 为 常 数 ), 若 f(-7 )

解 析 : 在 得 到 f′ (x)=3x2-2ax-b 后 , 一 般 都 会 利 用 取 特 殊 值得方程组

=16 , 则 f(7 )的值为 ( A. 31
5



B. 17
3

C. -2

D. 2
实 际上当

解析: 由 f(-7)=a(-7)5+b(-7)3+c(-7)+7=16 得 a · · · 75+b 73+c 7=-9, 从而 f(7 )=a · · · 7 +b 7 +c 7+7=-9+7=-2 , 故选答案 C. 其 实 我 们 完 全 可 以 取 a、b、c 的 特 殊 值 来 解 决 , 如 不 妨 取

上是增函数 , 不存在极值 ! 当

a=0、 b=0、 c=- 9 , 则 f(-7 )=16 成立 , 故 f(7 )=- 9 ×7+7=-2. 7 7
例 3. 已知 f(x)=x -2014x, 若 f(m)=f(n)(m≠n), 则 f(m+n)=
2

f 1 =1-a-b+a =10 a=3 a=-4 ≠ ≠ ≠ f′ 1 =3-2a-b=0 b=-3 b=11 a=3 f′ x =3x -6x+3=3 x-1 ≥0 ≠ b=-3 a=-4 . ≠ b=11
, ( ) ,
2

解得





, ,

从 而 选 A.

时,

( )



)2

, 所以 f (x) 在 R

, 时符合 因此答案应为 D.

点评: 当用特殊值法求出的结果有多个时, 需要通过检 验来验证是否都是问题的解 , 否则极易形成多解 . 二 、 取特殊函数巧妙解题 例 6. 设函数 f(x)的导函数为 f′(x), 对任意 x∈R 都有 f′(x)>

______.
解 析 : 由 f (m)=m2-2014m、 f (n)=n2-2014n 及 f (m)=f (n) 得 (m-n)(m+n-2014)=0, 又因为 m≠n, 所以 m+n=2014, 则 f(m+n)=

f(x)成立 , 则 (



f(2014 )=20142-2014×2014=0. 实际上 , 我们可以取 m=0,n=2014
这一组特殊值来求解 , 直观简洁 . 点评: 一般的解法往往计算量比较大, 如果能用特殊的 数值来代替一般的计算就能大大节省解题时间, 从而达到巧

A. 3f(ln2)>2f(ln3) C. 3f(ln2)<2f(ln3)

B. 3f(ln2)=2f(ln3) D. 3f(ln2)与2f(ln3) 的大小不确定

解析: 乍看题目, 本题比较难找解题思路, 但我们可以

′ ,f′(x)>f(x)等价 联想导数求导法则中的商的导数公式( u )′= u′v-uv 2 v v

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-f(x)g′(x) >0, 于 f′(x)-f(x)>0, 故可构造函数 h′(x)=[ f(x) ]′= f(x)′g(x) g(x) g2(x)
只 要 考 虑 g′(x)=g(x)即 可 , 在 中 学 阶 段 这 样 的 函 数 容 易 想 到 是 ) , 并 且 知 ( )是 g(x)=0 或 g(x)=e , 故 可 以 构 造 函 数 h(x)= f(x hx ex
x

解 析 :

如 图 ,

cosα = 2 , sinα = 姨5 1 , 由于b 軋向 量 在 姨5
旋转前后的模不发生

y 軋 b β π 4 α O
例1图

) f(ln3) , 则 ( ) R 上增函数 , 从而 h(ln2)<h(ln3), 即 f(ln2 < ln3 3f ln2 eln2 e

軆=(2,1) a

<2f(ln3).
另一方面 , 我们也可 以 从 选 择 子 特 征 进 行 联 想 . 3f(ln2)与

軋的横 坐 标 变化 , 所以 b
为 姨 5 cosβ = 姨 5 cos (α+ π )= 姨 5 (cosαcos

x

2f(ln3)的 大 小 比 较 等 价 于 f(ln2) 与 f(ln3) 的 大 小 比 较 , 从 而 可 2 3
以联想到考虑函数 h(x)= f(lnx) 的单调性, 由 f′(x)>f(x)知 f′(lnx)> x · (lnx)′ · · x-f(lnx) 1 = f′(lnx)-f(lnx) >0, 故 f(lnx), 所以 h′(x)= f′(lnx) x2 x2

4

h(x)= f(lnx) 是增函数 , 由 h(2)<h(3)得 3f(ln2)<2f(ln3). x
上述两种思路要求都非常高 , 既然该题没有具体解析式 , 那么可以通过特殊函数来解决.例如取 f(x)=-1, 则 f′(x)=0>f(x), 而 此 时 3f(ln2)=-3 , 2f(ln3)=-2 , 所 以 3f(ln2)<2f(ln3) . 显 然 , 这种方法比前面两种方法都简单得多 . 三 、 取特殊图像巧妙解题 例 7. 若 函 数 是 定 义 在

π -sinαsin π )= 5 ( 2 · 姨 2 - 1 · 姨 2 )= 姨 2 ; 同 姨 4 4 2 2 2 姨5 姨5 軋的纵坐标为 姨 5 sinβ= 姨 5 sin (α+ π )= 姨 5 (sinαcos 理可求得 b 4 π +cosαsin π )= 5 姨 4 4 2 2


1 · 姨 2 + 2 · 姨 2 )= 3 姨 2 , 2 2 2 姨5 姨5

軋= ( 姨 2 , 3 姨 2 ). 所以 b
但 实 际 上 , 我 们 可 以 从 判 断 A、 B、 C、 D 四 个 选 择 项 的

軆 = (2 ,1 ) 与 x 轴的正向 点的所在象限上直接给出答案 B , 因为 a x 軋在 所成的角 α< π , 所以围绕原点按逆时针旋转 π 得到的向量b 4 4
第一象限 , 而四个选择项中只有 B 表示第一象限的点 , 故选 B. 二 、 根据图像或图形的可变性来来巧妙解题

R 上 的 偶 函 数 , 在 (-∞ ,0]
上是减函数 , 且 f(2)=0 , 则 使得 f(x)<0 的 x 的取值范围是 ( )

-2

O

2
例7图

x

例 2. 已 知 D 是 △ABC 的 边 AC 上 一 点 , 且 AD =2 +2

A

A. ( - ∞ , 2 ) B. (-2 ,2 ) C. (-∞ ,-2 )∪ (2 ,+∞ ) D. ( 2 , + ∞ )
解析: 本题是没有具体解析式的一个抽象函数, 如果仅 在大脑中凭空 想 象 , 比 较 难 理 解 . 我 们 可 以 取 一 个 特 殊 的 函 数 图像来形象直 观 的 帮 助 解 题 . 如 图 是 一 个 符 合 题 意 的 图 像 , 从 图上可以直观观察出 f(x)<0 的 x 的取值范围是 (-2 ,2 ).

DC

姨 3 , ∠C =45° , ∠ADB=60° ,

∠∠ ∠∠ 则A B· D B 的值为 (
A. 2 C. 姨 3 B. 0 D. 1



B
例2图

D

解析: 该题的解法还是比 较多的, 这里仅提供以下的方

C

第四篇 : 平面向量中的特殊化思想
平 面 向 量 是 “既 有 数 又 有 形 ” 的 一 个 比 较 特 殊 的 概 念 , 相关问题的求解具有一定的挑战性, 但是, 如果能够用好 “ 特殊化思想 ”, 则同样可以相对容易地解决 . 一 、 根据所求值的象限来巧妙解题

法 . 设 DC=a, 则 AD= (2+2 姨 3 )a,AC= (3+2 姨 3 )a. 又 ∠C=45° ,

∠ADB=60° , 所 以 ∠DBC =15° , 由 正 弦 定 理 得 DB = DC · sin15° sin45° = ( 姨 3 +1 )a, 再 由 余 弦 定 理 得 AB2 =DB2 +AD2 -2DB· ADcos60°= (12+6 姨 3 )a2, 而 AB2+DB2= (16+8 姨 3 )a2=AD2, 所

軆 = (2 ,1 ) 围绕原点按逆时针旋转 π 得到向 例 1. 若将向量 a 4 軋, 则 b 軋的坐标为 ( 量b


∠∠ ∠∠ 以 AB⊥DB , 则 A B· D B =0.
但 实 际 上 , 我 们 可 以 从 判 断 A、 B、 C、 D 四 个 选 择 项 的 形 式 上 和 △ABC 形 状 的 可 变 性 上 直 接 给 出 答 案 B , 因 为

△ABC 中 的 边 长 和 角 度 之 间 的 比 例 等 关 系 是 确 定 不 变 的 , 但 B. ( 姨 2 , 3 姨 2 ) 2 2 D. ( 3 姨 2 , - 姨 2 ) 2 2
的大小 ( 只要相似即可 ) 是可变的 , 具体地就是 AB 、 DB 的长 度可按比例同时伸长或 缩 短 , 但 ∠ABD 的 大 小 在 这 个 过 程 中

A. ( - 姨 2 , - 3 姨 2 ) 2 2 C. ( - 3 姨 2 , 姨 2 ) 2 2

∠∠ ∠∠ 却是不变的 , 由选择子结果看 , A B· D B 得到的应该是一个不 ∠∠ ∠∠ 会变的定值 , 所以只能是 A B· D B =0.

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