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复合函数知识总结及例题


复合函数问题 一、复合函数定义:设 y=f(u)的定义域为 A,u=g(x)的值域为 B,若 A ? B,则 y 关于 x 函数的 y=f [g(x)]叫做函数 f 与 g 的复合函数,u 叫中间量. 二、复合函数定义域问题: (1)、已知 思路:设函数 的定义域,求 的定义域为 D,即 ,E 为 的定义域 ,所以 的作用范围为 D,又 f 对 作用,作用范围

/>不变,所以 g ( x) ? D ,解得 例 1.设函数 解析:函数

的定义域。 的定义域为_____________。 ,所以 的作用范围为(0,1)

的定义域为(0,1) ,则函数 的定义域为(0,1)即

又 f 对 lnx 作用,作用范围不变,所以 解得 例 2.若函数 ,故函数 的定义域为(1,e) ,则函数 的定义域为______________。 ,知 ,又 f 对 f(x)作用所以 ,即 中x应

解析:先求 f 的作用范围,由 即 f 的作用范围为

满足



,解得

故函数 (2) 、已知 思路:设

的定义域为 的定义域,求 的定义域为 D,即 为 的定义域 ,由此得 的定义域。 ,则函数 ,即 的定义域为_________。 ,由此得 ,所以 f 的作用范围为 E,又 f 对 x 作

用,作用范围不变,所以 例 3.已知 解析:

的定义域为 的定义域为

所以 f 的作用范围为

,又 f 对 x 作用,作用范围不变,所以

1

即函数

的定义域为

例 4.已知

,则函数

的定义域为-------

解析:先求 f 的作用范围,由 f ( x ? 4) ? lg
2

x2 ,知 x2 ? 8


解得 即 的定义域为 (3) 、已知 思路:设

,f 的作用范围为

,又 f 对 x 作用,作用范围不变,所以

的定义域,求 的定义域为 D,即 ,解得

的定义域 ,由此得 ,F 为 ,则 , 的作用范围为 E,又 f 对 作

用,作用范围不变,所以 例 5.若函数 的定义域为

的定义域。 的定义域为____________。

解析:

的定义域为

,即

,由此得

的作用范围为

,又 f 对

作用,所以

,解得



的定义域为

评注:函数定义域是自变量 x 的取值范围(用集合或区间表示)f 对谁作用,则谁的范围是 f 的作用范 围, f 的作用对象可以变, 但 f 的作用范围不会变。 利用这种理念求此类定义域问题会有 “得来全不费功夫” 的感觉,值得大家探讨。 三、复合函数单调性问题

(1)引理证明
已知函数 y ? f ( g ( x)) .若 u ? g ( x) 在区间 (a, b )上是减函数,其值域为(c,d),又函数 y ? f (u ) 在 区间(c,d)上是减函数,那么,原复合函数 y ? f ( g ( x)) 在区间 (a, b )上是增函数. 证明:在区间 (a, b )内任取两个数 x1 , x 2 ,使 a ? x1 ? x2 ? b 因为 u ? g ( x) 在区间 (a, b )上是减函数,所以 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,记 u1 ? g ( x1 ) , u2 ? g ( x2 ) 即

u1 ? u2,且u1 , u2 ? (c, d )

2

因为函数 y ? f (u ) 在区间(c,d)上是减函数,所以 f (u1 ) ? f (u 2 ) ,即 f ( g ( x1 )) ? f ( g ( x2 )) , 故函数 y ? f ( g ( x)) 在区间 (a, b )上是增函数. (2) .复合函数单调性的判断 复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便,我们把它们总结成一个图表:

y ? f (u ) u ? g ( x) y ? f ( g ( x))
增↗ 增↗

增↗ 减↘ 减↘ 增↗ 减↘

减↘ 减↘ 增↗

以上规律还可总结为: “同向得增,异向得减”或“同增异减”. (3)、复合函数 y ? f ( g ( x)) 的单调性判断步骤: ⅰ确定函数的定义域; ⅱ将复合函数分解成两个简单函数: y ? f (u ) 与 u ? g ( x) 。 ⅲ分别确定分解成的两个函数的单调性; ⅳ若两个函数在对应的区间上的单调性相同(即都是增函数,或都是减函数),则复合后的函数

y ? f ( g ( x)) 为增函数; 若两个函数在对应的区间上的单调性相异 (即一个是增函数, 而另一个是减函数) ,
则复合后的函数 y ? f ( g ( x)) 为减函数。 (4)例题演练 例 1、求函数 y ? log1 ( x 2 ? 2 x ? 3) 的单调区间,并用单调定义给予证明
2
王新敞
奎屯 新疆

解:定义域 x ? 2 x ? 3 ? 0 ? x ? 3或x ? ?1
2

单调减区间是 (3,??) 设 x1 , x2 ? (3,??)且x1 ? x2 则

y1 ? log 1 ( x1 ? 2 x1 ? 3) y 2 ? log 1 ( x2 ? 2 x2 ? 3)
2 2

2

2

( x1 ? 2x1 ? 3) ? ( x2 ? 2x2 ? 3) = ( x2 ? x1 )(x2 ? x1 ? 2)
2

2

∵ x2 ? x1 ? 3 ∴ x2 ? x1 ? 0 x2 ? x1 ? 2 ? 0

3

∴ ( x1 ? 2 x1 ? 3) > ( x2 ? 2x2 ? 3) 又底数 0 ?
2

2

1 ?1 2

∴ y2 ? y1 ? 0 即 y 2 ? y1 ∴ y 在 (3,??) 上是减函数
王新敞
奎屯 新疆

同理可证: y 在 (??,?1) 上是增函数

王新敞
奎屯

新疆

[例]2、讨论函数 f (x) ? loga(3x2 ? 2x ? 1) 的单调性. [解]由 3x2 ? 2x ? 1 ? 0 得函数的定义域为

1 {x | x ? 1, 或x ? ? }. 3
则当 a ? 1 时,若 x ? 1 ,∵ u ? 3x2 ? 2x ? 1 为增函数,∴ f (x) ? loga(3x2 ? 2x ? 1) 为增函数. 若 x ? ? ,∵ u ? 3x2 ? 2x ? 1 为减函数. ∴ f (x) ? loga(3x2 ? 2x ? 1) 为减函数。 当 0 ? a ? 1 时 , 若 x ? 1 , 则 f (x) ? l oa( g 3x2 ? 2x ?1) 为 减 函 数 , 若 x ? ?

1 3

1 , 则 3

f (x) ? l oa( g 3x2 ? 2x ?1) 为增函数.
例 3、.已知 y= loga (2- a )在[0,1]上是 x 的减函数,求 a 的取值范围. 解:∵a>0 且 a≠1 当 a>1 时,函数 t=2- a >0 是减函数 由 y= loga (2- a )在[0,1]上 x 的减函数,知 y= loga t 是增函数, ∴a>1 由 x ? [0,1]时,2- a ? 2-a>0,得 a<2,
x x x x

∴1<a<2 当 0<a<1 时,函数 t=2- a >0 是增函数
x x
王新敞
奎屯 新疆

由 y= loga (2- a )在[0,1]上 x 的减函数,知 y= loga t 是减函数, ∴0<a<1
王新敞
奎屯 新疆

由 x ? [0,1]时,2- a ? 2-1>0,∴0<a<1
x

综上述,0<a<1 或 1<a<2

王新敞
奎屯

新疆

例 4、 已知函数 f ( x ? 2) ? ax 2 ? (a ? 3) x ? a ? 2 ( a 为负整数)的图象经过点 (m ? 2,0), m ? R ,设

g ( x) ? f [ f ( x)],F ( x) ? pg( x) ? f ( x) .问是否存在实数 p( p ? 0) 使得 F ( x) 在区间 (??, f (2)] 上是减函
数,且在区间 ( f (2),0) 上是减函数?并证明你的结论。 [解析]由已知 f (m ? 2) ? 0 ,得 am2 ? (a ? 3)m ? a ? 2 ? 0 ,

4

其中 m ? R, a ? 0. ∴ ? ? 0 即 3a 2 ? 2a ? 9 ? 0 , 解得

1? 2 7 1? 2 7 ?a? . 3 3

∵ a 为负整数,∴ a ? ?1. ∴ f ( x ? 2) ? ? x ? ? 4 x ? 3 ? ?( x ? 2) 2 ? 1 , 即 f ( x) ? ? x 2 ? 1. g ( x) ? f [ f ( x)] ? ?(? x 2 ? 1) 2 ? 1 ? ? x 4 ? 2x 2 , ∴ F ( x) ? pg ( x) ? f ( x) ? ? px 4 ? (2 p ? 1) x 2 ? 1. 假设存在实数 p( p ? 0) ,使得 F ( x) 满足条件,设 x1 ? x2 ,
2 ? x 2 )[ ? p( x 2 ? x 2 ) ? 2 p ? 1]. ∴ F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? ( x1 2 1 2

∵ f (2) ? ?3 ,当 x1 , x2 ? (??,?3) 时, F ( x) 为减函数,
2 ? x 2 ? 0,? p( x 2 ? x 2 ) ? 2 p ? 1 ? 0. ∴ F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? 0 ,∴ x1 2 1 2 2 ? x 2 ? 18 , ∵ x1 ? ?3, x2 ? ?3 ,∴ x1 2

2 ? x 2 ) ? 2 p ? 1 ? ?16 p ? 1 , ∴ ? p( x1 2

∴ ? 16 p ? 1 ? 0.



当 x1 , x2 ? (?3,0) 时, F ( x) 增函数,∴ F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? 0.
2 ? x 2 ? 0 ,∴ ? p( x 2 ? x 2 ) ? 2 p ? 1 ? ?16 p ? 1, ∵ x1 2 1 2

∴ ? 16 p ? 1 ? 0 . 由①、②可知 p ? ?



1 1 ,故存在 p ? ? . 16 16

一.指函数与对数函数 .同底的指数函数 y ? a 与对数函数 y ? log a x 互为反函数;
x

(二)主要方法: 1.解决与对数函数有关的问题,要特别重视定义域; 2.指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于 1 还是小于 1,要注意对底数的讨论; 3.比较几个数的大小的常用方法有:①以 0 和 1 为桥梁;②利用函数的单调性;③作差. (三)例题分析:

b , logb a , loga b 从小到大依次为; a x y z (2)若 2 ? 3 ? 5 ,且 x , y , z 都是正数,则 2 x , 3 y , 5 z 从小到大依次为; x x (3)设 x ? 0 ,且 a ? b ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) ,则 a 与 b 的大小关系是() ( A ) b ? a ? 1 ( B ) a ? b ? 1 ( C )1 ? b ? a ( D )1 ? a ? b b b 2 解: (1)由 a ? b ? a ? 1 得 ? a ,故 log b ? logb a ? 1 ? loga b . a a
2 例 1. (1)若 a ? b ? a ? 1 ,则 log b

5

lg t lg t lg t ,y? ,z ? , lg 2 lg 3 lg 5 2lg t 3lg t lg t ? (lg 9 ? lg8) ∴ 2x ? 3 y ? ? ? ? 0 ,∴ 2 x ? 3 y ; lg 2 lg 3 lg 2 ? lg 3 同理可得: 2 x ? 5 z ? 0 ,∴ 2 x ? 5 z ,∴ 3 y ? 2 x ? 5z . (3)取 x ? 1 ,知选( B ) . x?2 x 例 2.已知函数 f ( x ) ? a ? (a ? 1) , x ?1 求证: (1)函数 f ( x) 在 (?1, ??) 上为增函数; (2)方程 f ( x) ? 0 没有负数根. 证明: (1)设 ?1 ? x1 ? x2 , x ?2 x ?2 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a x1 ? 1 ? a x2 ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1 x ? 2 x2 ? 2 3( x1 ? x2 ) , ? a x1 ? a x2 ? 1 ? ? a x1 ? a x2 ? x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ∵ ?1 ? x1 ? x2 ,∴ x1 ? 1 ? 0 , x2 ? 1 ? 0 , x1 ? x2 ? 0 , 3( x1 ? x2 ) ∴ ? 0; ( x1 ? 1)( x2 ? 1) x x x x ∵ ?1 ? x1 ? x2 ,且 a ? 1 ,∴ a 1 ? a 2 ,∴ a 1 ? a 2 ? 0 ,
(2)令 2x ? 3y ? 5z ? t ,则 t ? 1 , x ? ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,∴函数 f ( x) 在 (?1, ??) 上为增函数; (2)假设 x0 是方程 f ( x) ? 0 的负数根,且 x0 ? ?1 ,则 a 0 ?
x

x0 ? 2 ?0, x0 ? 1

2 ? x0 3 ? ( x0 ? 1) 3 ? ? ? 1 ,① x0 ? 1 x0 ? 1 x0 ? 1 3 3 当 ?1 ? x0 ? 0 时, 0 ? x0 ? 1 ? 1 ,∴ ? 3 ,∴ ? 1 ? 2 ,而由 a ? 1 知 a x0 ? 1 , x0 ? 1 x0 ? 1
即a
x0

?

∴①式不成立; 当 x0 ? ?1 时, x0 ? 1 ? 0 ,∴

3 3 ? 0 ,∴ ? 1 ? ?1 ,而 a x0 ? 0 , x0 ? 1 x0 ? 1

∴①式不成立. 综上所述,方程 f ( x) ? 0 没有负数根. 例 3.已知函数 f ( x) ? loga (a x ?1) ( a ? 0 且 a ? 1 ) . 求证: (1)函数 f ( x) 的图象在 y 轴的一侧; (2)函数 f ( x) 图象上任意两点连线的斜率都大于 0 . 证明: (1)由 a ? 1 ? 0 得: a ? 1 , ∴当 a ? 1 时, x ? 0 ,即函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) ,此时函数 f ( x) 的图象在 y 轴的右侧;
x x

当 0 ? a ? 1 时, x ? 0 ,即函数 f ( x) 的定义域为 ( ??, 0) ,此时函数 f ( x) 的图象在 y 轴的左侧. ∴函数 f ( x) 的图象在 y 轴的一侧; (2)设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 是函数 f ( x) 图象上任意两点,且 x1 ? x2 ,则直线 AB 的斜率 k ?

y1 ? y2 , x1 ? x2

6

a x1 ? 1 y1 ? y2 ? log a (a ? 1) ? log a (a ? 1) ? log a x2 , a ?1 x x x x 当 a ? 1 时,由(1)知 0 ? x1 ? x2 ,∴ 1 ? a 1 ? a 2 ,∴ 0 ? a 1 ? 1 ? a 2 ? 1 ,
x1 x2

a x1 ? 1 ? 1 ,∴ y1 ? y2 ? 0 ,又 x1 ? x2 ? 0 ,∴ k ? 0 ; ∴0 ? x a 2 ?1 x x x x 当 0 ? a ? 1 时,由(1)知 x1 ? x2 ? 0 ,∴ a 1 ? a 2 ? 1 ,∴ a 1 ? 1 ? a 2 ? 1 ? 0 , a x1 ? 1 ? 1 ,∴ y1 ? y2 ? 0 ,又 x1 ? x2 ? 0 ,∴ k ? 0 . ∴ x a 2 ?1 ∴函数 f ( x) 图象上任意两点连线的斜率都大于 0 .

7

同步练习 (二)同步练习:
2 1、已知函数 f ( x ) 的定义域为 [0, 1] ,求函数 f ( x ) 的定义域。

答案: [?1, 1] 2、已知函数 f (3 ? 2 x ) 的定义域为 [?3, 3] ,求 f ( x ) 的定义域。 答案: [ ?3, 9] 3、已知函数 y ? f ( x ? 2) 的定义域为 (?1, 0) ,求 f (| 2x ? 1 | ) 的定义域。

1 3 (? , 0) ? (1, ) 2 答案: 2
4、设 f ? x ? ? lg

2? x ? x? ?2? ,则 f ? ? ? f ? ? 的定义域为() 2? x ?2? ? x?

A. ?? 4,0? ? ?0,4? B. ?? 4,?1? ? ?1,4? C. ?? 2,?1? ? ?1,2? D. ?? 4,?2? ? ?2,4?

? ?2 ? ? 2? x ? ? 0 解:选 C.由 得, f ( x ) 的定义域为 ?x | ?2 ? x ? 2? 。故 ? 2? x ? ?2 ? ? ?

x ? 2, 2 ,解得 2 ? 2. x

? x? ?2? x ? ? ?4, ?1? ? ?1,4? 。故 f ? ? ? f ? ? 的定义域为 ? ?4, ?1? ? ?1,4? ?2? ? x?
5、已知函数 f ( x) 的定义域为 x ? (? , ) ,求 g ( x) ? f (ax) ? f ( )(a ? 0) 的定义域。

? 1 ? ? ? 2 [解析]由已知,有 ? ?? 1 ? ? 2

1 3 2 2 3 3 ? 1 ? ax ? , ?? ?x? , ? 2a 2 2a ?? x 3 ?? a ? x ? 3 a. ? ? , ? a 2 2 ? 2

x a

1 3 ? x ? }; 2 2 1 a 3 3 (2)当 ? a ,即 0 ? a ? 1 时,有 ? ?? , 2a 2 2a 2 a 3 定义域为 {x | ? ? x ? a} ; 2 2 3 3 1 a (3)当 ? a ,即 a ? 1 时,有 ? ?? , 2a 2 2a 2
(1)当 a ? 1 时,定义域为 {x | ?

8

定义域为 {x | ?

1 3 ? x ? }. 2a 2a 3 }; 2a 3 a}. 2

1 ?x? 2a a 当 0 ? a ? 1 时,定义域为 {x | ? ? x ? 2
故当 a ? 1 时,定义域为 {x | ? 练习二

[点评]对于含有参数的函数,求其定义域,必须对字母进行讨论,要注意思考讨论字母的方法。

(5)同步练习:
1.函数 y= log 1 (x2-3x+2)的单调递减区间是()
2

A. (-∞,1) C. (-∞,

B. (2,+∞) D. (

3 ) 2

3 ,+∞) 2

解析:先求函数定义域为(-o,1)∪(2,+∞) ,令 t(x)=x2+3x+2,函数 t(x)在(-∞,1) 上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,根据复合函数同增异减的原则,函数 y= log 1 (x2-3x+2)在
2

(2,+∞)上单调递减. 答案:B 2 找出下列函数的单调区间. (1) y ? a?x (2) y ? 2
2 ?3x ? 2

(a ? 1) ;

?x2 ?2x?3

.
3 2

答案:(1)在 (?? , ] 上是增函数,在 [ ,?? ) 上是减函数。 (2)单调增区间是 [?1,1] ,减区间是 [1,3] 。 3、讨论 y ? loga (a x ? 1), (a ? 0, 且a ? 0) 的单调性。 答案: a ? 1, 时 (0,??) 为增函数, 1 ? a ? 0 时, (??,0) 为增函数。 4.求函数 y= log1 (x2-5x+4)的定义域、值域和单调区间.
3

3 2

解:由 ? (x)=x2-5x+4>0,解得 x>4 或 x<1,所以 x∈(-∞,1)∪(4,+∞) ,当 x∈(- ∞,1)∪(4,+∞) , { ? | ? =x2-5x+4}=R ,所以函数的值域是 R .因为函数 y= log1 (x2-5x
+ +

3

+4)是由 y= log1 ? (x)与 ? (x)=x -5x+4 复合而成,函数 y= log1 ? (x)在其定义域上是单调
2

3

3

递减的,函数 ? (x)=x2-5x+4 在(-∞,

5 5 )上为减函数,在[ ,+∞]上为增函数.考虑到函数 2 2

9

的定义域及复合函数单调性,y= log1 (x2-5x+4)的增区间是定义域内使 y= log1 ? (x)为减函数、 ?
3
2 2

3

(x) =x -5x+4 也为减函数的区间, 即 (-∞, 1) ; y= log1 (x -5x+4) 的减区间是定义域内使 y= log1 ?
3 3

(x)为减函数、 ? (x)=x2-5x+4 为增函数的区间,即(4,+∞) .

变式练习 一、选择题

1) 的定义域是() 1.函数 f(x)= log 1 ( x-
2

A. (1,+∞) C. (-∞,2)

B. (2,+∞)

, 2] D. (1

解析:要保证真数大于 0,还要保证偶次根式下的式子大于等于 0,

所以 ?log ( x-1) ? 0 解得 1<x≤2. 1

? x-1>0 ? ? ?
2

答案:D 2.函数 y= log 1 (x2-3x+2)的单调递减区间是()
2

A. (-∞,1) C. (-∞,

B. (2,+∞) D. (

3 ) 2

3 ,+∞) 2

解析:先求函数定义域为(-o,1)∪(2,+∞) ,令 t(x)=x2+3x+2,函数 t(x)在(-∞,1)上 单调递减,在(2,+∞)上单调递增,根据复合函数同增异减的原则,函数 y= log 1 (x2-3x+2)在(2,
2

+∞)上单调递减. 答案:B 3.若 2 lg (x-2y)= lg x+ lg y,则 A.4 C.1 或 4

y 的值为() x 1 B.1 或 4 1 D. 4

10

错解:由 2 lg (x-2y)= lg x+ lg y,得(x-2y)2=xy,解得 x=4y 或 x=y,则有 答案:选 B

y 1 x = 或 =1. x 4 y

正解:上述解法忽略了真数大于 0 这个条件,即 x-2y>0,所以 x>2y.所以 x=y 舍掉.只有 x=4y. 答案:D 4.若定义在区间(-1,0)内的函数 f(x)= log2 a (x+1)满足 f(x)>0,则 a 的取值范围为() A. (0, C. (

1 ) 2

B. (0,1) D. (0,+∞)

1 ,+∞) 2

解析:因为 x∈(-1,0) ,所以 x+1∈(0,1) .当 f(x)>0 时,根据图象只有 0<2a<l,解得 0<a<

1 (根据本节思维过程中第四条提到的性质) . 2
答案:A 5.函数 y= lg ( A.y 轴对称 C.原点对称 解析:y= lg ( 答案:C 二、填空题 已知 y= loga (2-ax)在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是__________. 解析:a>0 且 a≠1 ? ? (x)=2-ax 是减函数,要使 y= loga (2-ax)是减函数,则 a>1,又 2-ax >0 ? a<

2 -1)的图象关于() 1- x
B.x 轴对称 D.直线 y=x 对称

2 1+ x 1+ x 1+ x -1)= lg ,所以为奇函数.形如 y= lg 或 y= lg 的函数都为奇函数. 1- x 1- x 1- x 1- x

2 (0<x<1) ? a<2,所以 a∈(1,2) . x

答案:a∈(1,2)

1 x ) 的图象关于直线 y=x 对称, 则f (2x-x2) 的单调递减区间为______. 3 解析:因为 f(x)与 g(x)互为反函数,所以 f(x)= log1 x
7. 函数 f (x) 的图象与 g (x) = (
3

则 f(2x-x2)= log 1 (2x-x2) ,令 ? (x)=2x-x2>0,解得 0<x<2.
3

? (x)=2x-x2 在(0,1)上单调递增,则 f[ ? (x) ]在(0,1)上单调递减;

11

? (x)=2x-x2 在(1,2)上单调递减,则 f[ ? (x) ]在[1,2)上单调递增.
所以 f(2x-x2)的单调递减区间为(0,1) . 答案: (0,1) 8.已知定义域为 R 的偶函数 f(x)在[0,+∞]上是增函数,且 f( 则不等式 f(log4x)>0 的解集是______.

1 )=0, 2

1 1 )=f( )=0.又 f(x)在[0,+∞]上是增函数,所以 f 2 2 1 1 (x)在(-∞,0)上是减函数.所以 f(log4x)>0 ? log4x> 或 log4x<- . 2 2 1 解得 x>2 或 0<x< . 2 1 答案:x>2 或 0<x< 2
解析:因为 f(x)是偶函数,所以 f(- 三、解答题 9.求函数 y= log1 (x2-5x+4)的定义域、值域和单调区间.
3

解:由 ? (x)=x2-5x+4>0,解得 x>4 或 x<1,所以 x∈(-∞,1)∪(4,+∞) ,当 x∈(-∞, 1)∪(4,+∞) , { ? | ? =x2-5x+4}=R ,所以函数的值域是 R .因为函数 y= log1 (x2-5x+4)
+ +

3

是由 y= log1 ? (x)与 ? (x)=x -5x+4 复合而成,函数 y= log1 ? (x)在其定义域上是单调递减
2

3

3

5 5 )上为减函数,在[ ,+∞]上为增函数.考虑到函数的定 2 2 2 义域及复合函数单调性,y= log1 (x -5x+4)的增区间是定义域内使 y= log1 ? (x)为减函数、 ? (x)
的,函数 ? (x)=x2-5x+4 在(-∞,
3 3

=x2-5x+4 也为减函数的区间,即(-∞,1) ;y= log1 (x2-5x+4)的减区间是定义域内使 y= log1 ?
3 3

(x)为减函数、 ? (x)=x2-5x+4 为增函数的区间,即(4,+∞) . 10.设函数 f(x)=

2 3-2 x + lg , 3 x+5 3+2 x

(1)求函数 f(x)的定义域; (2)判断函数 f(x)的单调性,并给出证明; (3)已知函数 f(x)的反函数 f 1(x) ,问函数 y=f 1(x)的图象与 x 轴有交点吗?若有,求出交点坐标; 若无交点,说明理由. 解: (1)由 3x+5≠0 且
- -

3-2 x 5 3 3 3 3 >0,解得 x≠- 且- <x< .取交集得- <x< . 3+2 x 3 2 2 2 2
12

2 ,随着 x 增大,函数值减小,所以在定义域内是减函数; 3 x+5 3-2 x 6 =-1+ 随着 x 增大,函数值减小,所以在定义域内是减函数. 3+2 x 3+2 x 3-2 x 2 又 y=lgx 在定义域内是增函数,根据复合单调性可知,y= lg 是减函数,所以 f(x)= + 3 x+5 3+2 x 3-2 x lg 是减函数. 3+2 x
(2)令 ? (x)= (3)因为直接求 f(x)的反函数非常复杂且不易求出,于是利用函数与其反函数之间定义域与值域的关 系求解. 设函数 f(x)的反函数 f 1(x)与工轴的交点为(x0,0) .根据函数与反函数之间定义域与值域的关系可 知,f(x)与 y 轴的交点是(0,x0) ,将(0,x0)代入 f(x) ,解得 x0= 与 x 轴有交点,交点为(


2 - .所以函数 y=f 1(x)的图象 5

2 ,0) 。 5

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