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2012黑龙江省高考数学试题及答案(免费)


2012 年黑龙江省数学(理科)
本试卷包括必考题和选考题两部分,第 1-21 题为必考题,每个考生都必须作答.

一、选择题:本大题共 12 小题,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A ? {1,2,3,4,5} ,B ? {( x, y) | x ? A, y ? A, x ? y ? A} , B

中所含元素的个 则 数为 A. 3 B. 6 C. 8 D. 10 2. 将 2 名教师,4 名学生分成两个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个 小组由一名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有 A. 12 种 B. 10 种 C. 9 种 D. 8 种 3. 下面是关于复数 z ?

2 的四个命题: ?1? i
P2 : z 2 ? 2i P4 : z 的虚部为 ? 1

P : | z |? 2 1

P3 : z 的共轭复数为 1 ? i
其中的真命题为 A. P2 , P3 B. P , P2 1

C. P2 , P4

D. P3 , P4

4.

设 F1 , F2 是椭圆 E :

x2 y2 3a ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左右焦点,P 为直线 x ? 上的一点, 2 a b 2

△F2 PF1 是底角为 30? 的等腰三角形,则 E 的离心率为
A.

1 2

B.

2 3

C.

3 4

D.

4 5

5. 已知 {a n } 为等比数列, a4 ? a7 ? 2 , a5 a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ? A. 7 B. 5 C. ? 5 D. ? 7

6. 如果执行右边的程序框图,输入正整数 N ( N ? 2) 和 实数 a1 , a2 ,?, a N ,输出 A , B ,则

A. A ? B 为 a1 , a2 ,?, a N 的和

B.

A? B 为 a1 , a2 ,?, a N 的算术平均数 2

C. A 和 B 分别是 a1 , a2 ,?, a N 中最大的数和最小的数 D. A 和 B 分别是 a1 , a2 ,?, a N 中最小的数和最大的数

7. 如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的 是某几何体的三视图,则此几何体的体积为 A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 8. 等轴双曲线 C 的中心在原点, 焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y ? 16 x 的准线交于 A ,B ,
2

两点, | AB |? 4 3 ,则的实轴长为 A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 8

9. 已知 ? ? 0 ,函数 f ( x) ? sin(?x ?

?

) 在 ( , ? ) 单调递减,则 ? 的取值范围是 2 4
C. (0, ]

?

A. [ , ]

1 5 2 4

B. [ , ]

1 3 2 4

1 2

D. (0,2]

10. 已知函数 f ( x) ?

1 ,则 y ? f (x) 的图像大致为 ln( x ? 1) ? x

11. 已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,△ABC 是边长为 1 的正三角形, SC 为球 O 的直径,且 SC ? 2 ,则此棱锥的体积为 A.

2 6

B.

3 6

C.

2 3

D.

2 2

12. 设点 P 在曲线 y ?

1 x e 上,点 Q 在曲线 y ? ln(2 x) 上,则 | PQ | 的最小值为 2
B.

A. 1? ln 2

2 (1 ? ln 2)

C. 1? ln 2

D.

2 (1 ? ln 2)

二、填空题.本大题共 4 小题,每小题 5 分.
13.已知向量 a , b 夹角为 45? ,且 |a| ? 1 , |2a ? b| ? 10 ,则 |b| ? .

? x ? y ? ?1 ?x ? y ? 3 ? 14. 设 x, y 满足约束条件 ? 则 Z ? x ? 2 y 的取值范围为 x?0 ? ?y ? 0 ?

.

15. 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件 1 或元件 2 正常工作,且元件 3 正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件的 元件 1 使用寿命(单位:小时)服从正态分布

N (1000 ,50 2 ) ,且各元件能否正常工作互相独立,
那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为
n

元件 3 . 元件 2 .

16. 数列 {a n } 满足 an?1 ? (?1) an ? 2n ? 1 ,则 {a n } 的前 60 项和为

三、解答题:解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分 12 分) 已 知 a , b , c 分 别 为 △A B C 个 内 角 A , B , C 的 对 边 , 三

a c o C ? 3a s i C ? b ? c ? 0 . s n
(Ⅰ) 求 A ; (Ⅱ) 若 a ? 2 , △ABC 的面积为 3 ,求 b , c . 18. (本小题满分 12 分) 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售. 如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理. (Ⅰ) 若花店某天购进 16 枝玫瑰花, 求当天的利润 y (单位: 元) 关于当天需求量 n(单 位:枝, n? N )的函数解析式;

(Ⅱ) 花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表: 日需求量 n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. (ⅰ)若花店一天购进 16 枝玫瑰花, X 表示当天的利润(单位:元) ,求 X 的分布列、 数学期望及方差; (ⅱ) 若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花, 你认为应购进 16 枝还是 17 枝?请说 明理由. 19. (本小题满分 12 分) 如图, 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AC ? BC ? (Ⅰ) 证明: DC1 ? BC (Ⅱ) 求二面角 A1 ? BD ? C1 的大小.

1 AA1 , 是棱 AA1 的中点, 1 ? BD DC D 2

20. (本小题满分 12 分) 设抛物线 C : x ? 2 py ( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l , A 为 C 上一点,已知以 F 为圆
2

心, FA 为半径的圆 F 交 l 于 B 、 D 两点 (Ⅰ) 若 ?BFD ? 90? , △ABD 面积为 4 2 ,求 p 的值及圆 F 的方程; (Ⅱ)若 A 、 B 、 F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点, 求坐标原点到 m , n 的距离的比值.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? f ?(1)e
x ?1

1 ? f (0) x ? x 2 . 2

(Ⅰ) 求 f (x) 的解析式及单调区间; (Ⅱ) 若 f ( x) ?

1 2 x ? ax ? b ,求 (a ? 1)b 的最大值 2

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一题记分,作答时 请写清题号. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, D , E 分别为 △ABC 边 AB , AC 的中点,直线 DE 交 △ABC 的 外接圆于 F , G 两点.若 CF // AB ,证明:

(Ⅰ) CD ? BC ; (Ⅱ) △BCD∽△GBD . 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程是 ?

? x ? 2 cos ? ( ? 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半 ? y ? 3sin ?

轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ? ? 2 .正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上, 且 A , B , C , D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为 (2, (Ⅰ)点 A , B , C , D 的直角坐标; (Ⅱ) 设 P 为 C1 上任意一点,求 | PA | ? | PB | ? | PC | ? | PD | 的取值范围.
2 2 2 2

?
3

).

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? a | ? | x ? 2 | . (Ⅰ) 当 a ? ?3 时,求不等式 f ( x) ? 3 的解集; (Ⅱ) f ( x) ?| x ? 4 | 的解集包含 [1,2] ,求 a 的取值范围.

2012 年全国卷新课标——数学理科答案

(1) 【解析】选 D. 法一:按 x ? y 的值为 1,2,3,4 计数,共 4 ? 3 ? 2 ? 1 ? 10 个; 法二:其实就是要在 1,2,3,4,5 中选出两个,大的是 x ,小的是 y ,共 C5 ? 10 种选
2

法. (2) 【解析】选 A. 只需选定安排到甲地的 1 名教师 2 名学生即可,共 C2C4 种安排方案. (3) 【解析】选 C. 经计算, z ?
1 2

2 ? ?1 ? i, z 2 ? 2i . ?1 ? i

(4) 【解析】选 C.
? 画图易得, △F2 PF1 是底角为 30 的等腰三角形可得 PF2 ? F1 F2 ,即 2 ?

? 3a ? ? c ? ? 2c , ? 2 ?

所以 e ?

c 3 ? . a 4

(5) 【解析】选 D.

a4 ? a7 ? 2 a5 a6 ? a4 a7 ? ?8 ? a4 ? 4, a7 ? ?2 或 a4 ? ?2, a7 ? 4 a1 , a4 , a7 , a10 成等
, , , 比数列,? a1 ? a10 ? ?7 . (6) 【解析】选 C. (7) 【解析】选 B. 由三视图可知,此几何体是底面为俯视图三角形,高为 3 的三棱锥,

1 1 V ? ? ?3 2 ?3 2 ?3 ? 9 . 3 2
(8) 【解析】选 C.

2 2 2 2 易知点 ?4, 2 3 在 x ? y ? a 上,得 a ? 4 , 2a ? 4 .

?

?

(9) 【解析】选 A. 由

?
2

? 2k? ?

?
2

??

?
4

? ?? ?

?
4

?

3? 1 5 ? 2k? , k ? Z 得, ? 4k ? ? ? ? 2k , k ? Z , 2 2 4

1 5 ?? ? 0 ? ? ? ? . 2 4
(10) 【解析】选 B. 易知 y ? ln( x ? 1) ? x ? 0 对 x ? ? ?1, ?? ? 恒成立,当且仅当 x ? 0 时,取等号. (11) 【解析】选 A. 易知点 S 到平面 ABC 的距离是点 O 到平面 ABC 的距离的 2 倍.显然 O ? ABC 是棱长为 1 的正四面体,其高为 (12) 【解析】选 B.

6 1 3 6 2 2 ? ? ,故 VO ? ABC ? ? , VS ? ABC ? 2VO ? ABC ? 3 3 4 3 12 6

1 1 y ? e x 与 y ? ln(2 x) 互为反函数,曲线 y ? e x 与曲线 y ? ln(2 x) 关于直线 y ? x 对称, 2 2
只需求曲线 y ?

1 x ? 1 ? e 上的点 P 到直线 y ? x 距离的最小值的 2 倍即可.设点 P ? x, e x ? ,点 2 ? 2 ?

1 x ? ex 2 . P 到直线 y ? x 距离 d ? 2

令 f ? x ? ? ex ? x

1 2

, 则 f ? ? x? ?

1 x e ? 1 . 由 f ? ? x ? ? 0 得 x ? ln 2 ; 由 f ? ? x ? ? 0 得 2

1 1 x x ? ex e ?x 2 , ?2 x ? ln 2 , 故 当 x ? l n 2时 , f ? x ? 取 最 小 值 1 ? ln 2. 所 以 d ? 2 2

d min ?

1 ? ln 2 . 2
2 ?1 ? ln 2 ? .

所以 | PQ |min ? 2d min ? (13) 【 解析】 3 2 .

b 由已知得, | 2a ? b | ? ? 2a ? b ? ? 4a ? 4a ? + b ? 4 a ? 4 a ?b cos 45 + b
2 2 2 2 2 ?

2

? 4 ? 2 2 b + b ? 10 ,解得 b ? 3 2 .
2

(14) 【解析】 ? ?3,3? .

画 出 可 行 域 , 易 知 当 直 线 Z ? x ? 2 y 经 过 点 ?1, 2? 时 , Z 取 最 小 值 ?3 ; 当 直 线

Z ? x ? 2 y经过点 ? 3, 0 ? 时, Z 取最大值 3.故 Z ? x ? 2 y 的取值范围为 ? ?3,3? .
(15) 【解析】

3 . 8

由已知可得,三个电子元件使用寿命超过 1000 小时的概率均为 寿命超过 1000 小时的概率为 ?1 ? ? 1 ?

1 ,所以该部件的使用 2

? ? ?

? ?

1? ? 2?

2

? 1 3 ?? ? . ? 2 8 ?

(16) 【解析】1830. 由 an ?1 ? (?1) an ? 2n ? 1 得,
n

a2 k ? a2 k ?1 ? 4k ? 3 ……① a2 k ?1 ? a2 k ? 4k ? 1 ……②,
再由② ? ①得, a2 k ?1 ? a2 k ?1 ? 2 ……③ 由①得, S偶 ? S奇 ? ? a2 ? a1 ? ? ? a4 ? a3 ? ? ? a6 ? a5 ? ? … ? ? a60 ? a59 ?

? 1 ? 5 ? 9 ? … ?117 ?

?1 ? 117 ? ? 30 ? 1770
2

由③得, S奇 ? ? a3 ? a1 ? ? ? a7 ? a5 ? ? ? a11 ? a9 ? ? … ? ? a59 ? a59 ?

? 2 ?15 ? 30
所以, S60 ? S偶 ? S奇 ? S偶 ? S奇 ? 2S奇 ? 1770 ? 2 ? 30 ? 1830 . (17) 解:(Ⅰ)法一:由 a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 及正弦定理可得

?

?

sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin B ? sin C ? 0 ,
sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin ? A ? C ? ? sin C ? 0 ,

3 sin A sin C ? cos A sin C ? sin C ? 0 ,

?sin C ? 0 ,? 3 sin A ? cos A ? 1 ? 0 ,

?? ?? 1 ? ? ? 2sin ? A ? ? ? 1 ? 0 , sin ? A ? ? ? , 6? 6? 2 ? ?

? 0 ? A ? ? ,??
?A?

?
6

? A?

?
6

?

?
6

?

?
6

5? 6 ,

?A?

?

3
a 2 ? b2 ? c2 . 2ab

法二:由正弦定理可得 a sin C ? c sin A ,由余弦定理可得 cos C ?

再由 a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 可得, a ?

a 2 ? b2 ? c 2 ? 3c sin A ? b ? c ? 0 , 2ab

即 a ? b ? c ? 2 3bc sin A ? 2b ? 2bc ? 0 ,
2 2 2 2

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2 3bc sin A ? 2b2 ? 2bc ? 0

?

b2 ? c 2 ? a 2 ?? ? ? 3 sin A ? 1 ,即 3 sin A ? cos A ? 1 , 2sin ? A ? ? ? 1 , 2bc 6? ?

? ? 5? ?? 1 ? sin ? A ? ? ? , ? 0 ? A ? ? ,?? ? A ? ? 6? 2 6 6 6 , ?
?A?

?
6

?

?
6

?A?

?
3

(Ⅱ)? S△ABC ?

1 3 3 ,? bc sin A ? bc ? 3 ,?bc ? 4 , 2 4
2 2 2 2 2 2 2

? a ? 2, A ?

?

3 解得 b ? c ? 2 .
(18)

, ? a ? b ? c ? 2bc cos A ? b ? c ? bc ? 4 , ?b ? c ? 8 .

解:(Ⅰ) y ? ?

?10n ? 80, ? n ? 15 ? ? ( n? N ) ; ? n ? 16 ? ?80, ?

(Ⅱ) (ⅰ)若花店一天购进 16 枝玫瑰花, X 的分布列为

X P

60 0.1

70 0.2

80 0.7

X 的数学期望 E ? X ? =60×0.1+70×0.2+80×0.7=76, X 的方差 D ? X ? = ( 60-76 ) 2 ×0.1+ ( 70-76 ) 2 ×0.2+ ( 80-76 ) 2 ×0.7=44.
(ⅱ)若花店计划一天购进 17 枝玫瑰花, X 的分布列为

X P

55 0.1

65 0.2

75 0.16

85 0.54

X 的数学期望 E ? X ? =55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4,
因为 76.4 ? 76,所以应购进 17 枝玫瑰花.

(19)

(Ⅰ) 证明:设 AC ? BC ?

1 AA1 ? a , ? 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 , 2

? DC1 ? DC ? 2a , CC1 ? 2a ,? DC12 ? DC 2 ? CC12 ,? DC1 ? DC .
又? DC1 ? BD , DC1 ? DC ? D ,? DC1 ? 平面 BDC .

? BC ? 平面 BDC ,? DC1 ? BC .

(Ⅱ)由 (Ⅰ)知, DC1 ?

2a , BC1 ? 5a ,又已知 DC1 ? BD ,? BD ? 3a .

在 Rt△ABD 中, BD ? 3a, AD ? a, ?DAB ? 90? , ? AB ?

2a .

? AC 2 ? BC 2 ? AB2 ,? AC ? BC .
法一:取 A1 B1 的中点 E ,则易证 C1 E ? 平面 BDA1 ,连结 DE ,则 C1 E ? BD , 已知 DC1 ? BD ,? BD ? 平面 DC1 E ,? BD ? DE ,

??C1DE 是二面角 A1 ? BD ? C1 平面角.

CE 在 Rt△C1 DE 中, sin ?C1 DE ? 1 ? C1 D
即二面角 A1 ? BD ? C1 的大小为 30 .
?

2a 2 ? 1 ,??C DE ? 30? . 1 2a 2

法二:以点 C 为坐标原点,为 x 轴, CB 为 y 轴, CC1 为 z 轴,建立空间直角坐标系

C ? xyz .则 A1 ? a, 0, 2a ? , B ? 0, a, 0 ? , D ? a, 0, a ? , C1 ? 0, 0, 2a ? .
??? ? ???? ? ?? DB ? ? ?a, a, ?a ? , DC1 ? ? ?a, 0, a ? ,设平面 DBC1 的法向量为 n1 ? ? x1 , y1 , z1 ? ,

? ??? ? ?? ?n?DB ? ?ax1 ? ay1 ? az1 ? 0 ? 则 ? ? ???? ,不妨令 x1 ? 1 ,得 y1 ? 2, z1 ? 1 ,故可取 n1 ? ?1, 2,1? . ? ?n?DC1 ? ?ax1 ? az1 ? 0 ? ?? ? 同理,可求得平面 DBA1 的一个法向量 n2 ? ?1,1, 0 ? . ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 3 3 设 n1 与 n2 的夹角为 ? ,则 cos ? ? ?? ?? ? , ? ? 2 6? 2 n1 n2
?? ? 30? .
?

由图可知, 二面角的大小为锐角,故二面角 A1 ? BD ? C1 的大小为 30 . (20) 解: (Ⅰ)由对称性可知, △BFD 为等腰直角三角形,斜边上的高为 p ,斜边长

BD ? 2 p .
点 A 到准线 l 的距离 d ? FB ? FD ? 由 S△ABD ? 4 2 得,

2p .

1 1 ? BD ? d ? ? 2 p ? 2 p ? 4 2 , 2 2

? p ? 2.
圆 F 的方程为 x ? ? y ? 1? ? 8 .
2 2

(Ⅱ)由对称性,不妨设点 A ? xA , y A ? 在第一象限,由已知得线段 AB 是圆 F 的在直径,

?ADB ? 90o ,? BD ? 2 p ,? y A ?
直线 m 的斜率为 k AF ?

3 p ,代入抛物线 C : x 2 ? 2 py 得 xA ? 3 p . 2

p 3 3p ? ?0. .直线 m 的方程为 x ? 3 y ? 3 2 3p

由 x ? 2 py 得 y ?
2

x2 x , y? ? . 2p p

由 y? ?

? 3p p ? x 3 3 ? p .故直线 n 与抛物线 C 的切点坐标为 ? 得, x ? ? 3 , 6 ?, ? p 3 3 ? ?

直线 n 的方程为 x ? 3 y ?

3p ?0. 6

3p 所以坐标原点到 m , n 的距离的比值为 4 ? 3 . 3p 12
(21) 解: (Ⅰ) f ?( x) ? f ?(1)e
x ?1

? f (0) ? x ,令 x ? 1 得, f (0) ? 1 ,

1 2 x ,令 x ? 0 得 f ? ?1? ? e . 2 1 2 x 所以 f (x) 的解析式为 f ( x) ? e ? x ? x . 2
再由 f ( x) ? f ?(1)e x ?1 ? f (0) x ?

f ?( x) ? e x ? 1 ? x ,易知 f ?( x) ? e x ? 1 ? x 是 R 上的增函数,且 f ?(0) ? 0 .
所以 f ?( x) ? 0 ? x ? 0, f ?( x) ? 0 ? x ? 0, 所以函数 f (x) 的增区间为 ? 0, ?? ? ,减区间为 ? ??, 0 ? .

1 2 x ? ax ? b 恒成立, 2 1 2 x 即 h ? x ? ? f ( x) ? x ? ax ? b ? e ? ? a ? 1? x ? b ? 0 恒成立, 2
(Ⅱ) 若 f ( x) ?

? h? ? x ? ? e x ? ? a ? 1? ,
(1)当 a ? 1 ? 0 时, h? ? x ? ? 0 恒成立, h ? x ? 为 R 上的增函数,且当 x ? ?? 时, h ? x ? ? ?? , 不合题意; (2)当 a ? 1 ? 0 时, h ? x ? ? 0 恒成立, 则 b ? 0 , (a ? 1)b ? 0 ; (3)当 a ? 1 ? 0 时, h? ? x ? ? e ? ? a ? 1? 为增函数,由 h? ? x ? ? 0 得 x ? ln ? a ? 1? ,
x

故 f ?( x) ? 0 ? x ? ln ? a ? 1? , f ?( x) ? 0 ? x ? ln ? a ? 1? , 当 x ? ln ? a ? 1? 时, h ? x ? 取最小值 h ln ? a ? 1? ? a ? 1 ? ? a ? 1? ln ? a ? 1? ? b . 依题意有 h ln ? a ? 1? ? a ? 1 ? ? a ? 1? ln ? a ? 1? ? b ? 0 , 即 b ? a ? 1 ? ? a ? 1? ln ? a ? 1? ,

?

?

?

?

? a ?1 ? 0 ,? ? a ? 1? b ? ? a ? 1? ? ? a ? 1? ln ? a ? 1? ,
2 2

令 u ? x ? ? x ? x ln x
2 2

? x ? 0 ? ,则 u? ? x ? ? 2 x ? 2 x ln x ? x ? x ?1 ? 2 ln x ? ,

u?( x) ? 0 ? 0 ? x ? e , u?( x) ? 0 ? x ? e ,
所以当 x ? e 时, u ? x ? 取最大值 u 故当 a ? 1 ? 综上, 若 f ( x) ?

e ? e? ? 2 .

e,b ?

e e 时, ? a ? 1? b 取最大值 . 2 2

e 1 2 x ? ax ? b ,则 (a ? 1)b 的最大值为 . 2 2

(22) 证明:(Ⅰ) ∵ D , E 分别为 △ABC 边 AB , AC 的中点, ∴ DE // BC .

?CF // AB , DF // BC , ?CF ? BD 且 CF =BD ,
又∵ D 为 AB 的中点, ?CF ? AD 且 CF =AD ,?CD ? AF .

?CF // AB ,? BC ? AF .?CD ? BC .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, BC ? GF ,?GB ? CF ? BD , ?BGD ? ?BDG ? ?DBC ? ?BDC

?△BCD∽△GBD .
(23) 解:(Ⅰ)依题意,点 A , B , C , D 的极坐标分别为. 所以点 A , B , C , D 的直角坐标分别为 (1, 3) 、 ( ? 3,1) 、 (?1, ? 3) 、 ( 3, ?1) ; (Ⅱ) 设 P ? 2 cos ? ,3sin ? ? ,则 | PA | ? | PB | ? | PC | ? | PD |
2 2 2 2

? ?1 ? 2cos ? ? ?
2

?
2

? ? ?1 ? 2cos ? ?

? ? ? ? 3 ? 2cos? ? ? ?1 ? 3sin ? ? ? ? ? 3 ? 3sin ? ? ? ? 3 ? 2cos ? ? ? ? ?1 ? 3sin ? ?
3 ? 3sin ?
2 2 2 2 2
2 2

2

? 16cos 2 ? ? 36sin 2 ? ? 16 ? 32 ? 20sin 2 ? ? ?32,52? .
所以 | PA | ? | PB | ? | PC | ? | PD | 的取值范围为 ? 32,52 ? .
2 2

(24)

解:(Ⅰ) 当 a ? ?3 时,不等式 f ( x) ? 3 ? | x ? 3 | ? | x ? 2 |? 3

?x ? 2 ?2 ? x ? 3 ?x ? 3 ? ? ? 或? 或? ? ? ? ? ? x ? 3 ? ? ? x ? 2 ? ? 3 ? ? ? x ? 3 ? ? ? x ? 2 ? ? 3 ?? x ? 3 ? ? ? x ? 2 ? ? 3 ? ? ?

?或 x ? 4.
所以当 a ? ?3 时,不等式 f ( x) ? 3 的解集为 x x ? 1 或 x ? 4? . (Ⅱ) f ( x) ?| x ? 4 | 的解集包含 [1,2] , 即 | x ? a | ? | x ? 2 |?| x ? 4 | 对 x ? ?1, 2? 恒成立, 即 | x ? a |? 2 对 x ? ?1, 2? 恒成立, 即 ?2 ? a ? x ? 2 ? a 对 x ? ?1, 2? 恒成立, 所以 ?

?

? ?2 ? a ? 1 ,即 ?3 ? a ? 0 . ?2 ? a ? 2

所以 a 的取值范围为 ? ?3, 0? .


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