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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学(人教A版,必修四) 第一章 三角函数 第一章 章末检测(B)]


第一章

三角函数(B) 满分:150 分)

(时间:120 分钟

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1 1.已知 cos α= ,α∈(370° ,520° ),则 α 等于( ) 2 A.390° B.420° C.450° D.480° 2.若 sin x· cos x<0,则角 x 的终边位于( ) A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限 x 3.函数 y=tan 是( ) 2 A.周期为 2π 的奇函数 π B.周期为 的奇函数 2 C.周期为 π 的偶函数 D.周期为 2π 的偶函数 4 π 4.已知 tan(-α- π)=-5,则 tan( +α)的值为( ) 3 3 A.-5 B.5 C.± 5 D.不确定 5.已知函数 y=2sin (ωx+φ))(ω>0)在区间[0,2π]的图象如图,那么 ω 等于(

)

A.1 B.2 1 1 C. D. 2 3 6.函数 f(x)=cos(3x+φ)的图象关于原点成中心对称,则 φ 等于( ) π π A.- B.2kπ- (k∈Z) 2 2 π C.kπ(k∈Z) D.kπ+ (k∈Z) 2 sin θ+cos θ 7.若 =2,则 sin θcos θ 的值是( ) sin θ-cos θ 3 3 3 3 A.- B. C.± D. 10 10 10 4 π 8.将函数 y=sin x 的图象上所有的点向右平行移动 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸 10 长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是( ) π π ? ? A.y=sin? B.y=sin? ?2x-10? ?2x-5? 1 π? 1 π? C.y=sin? D.y=sin? ?2x-10? ?2x-20? π 9.将函数 y=sin(x-θ)的图象 F 向右平移 个单位长度得到图象 F′,若 F′的一条对称轴是 3

π 直线 x= ,则 θ 的一个可能取值是( ) 4 5π 5π A. B.- 12 12 11π 11π C. D.- 12 12 10.已知 a 是实数,则函数 f(x)=1+asin ax 的图象不可能是(

)

x 3π? 1 11.在同一平面直角坐标系中,函数 y=cos? ?2+ 2 ?(x∈[0,2π])的图象和直线 y=2的交点个数 是( ) A.0 B.1 C.2 D.4 5π 2π 2π 12.设 a=sin ,b=cos ,c=tan ,则( ) 7 7 7 A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.b<a<c 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 题号 1 答案 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 1 π 13.如果 cos α= ,且 α 是第四象限的角,那么 cos(α+ )=________. 5 2 π 14.设定义在区间(0, )上的函数 y=6cos x 的图象与 y=5tan x 的图象交于点 P,过点 P 作 x 2 轴的垂线, 垂足为 P1, 直线 PP1 与函数 y=sin x 的图象交于点 P2, 则线段 P1P2 的长为________. 15.

函数 y=Asin(ωx+φ)(A、ω、φ 为常数,A>0,ω>0)在闭区间[-π,0]上的图象如图所示,则 ω =________. 16.给出下列命题: (1)函数 y=sin |x|不是周期函数; (2)函数 y=tan x 在定义域内为增函数; 1 π (3)函数 y=|cos 2x+ |的最小正周期为 ; 2 2 π π (4)函数 y=4sin(2x+ ),x∈R 的一个对称中心为(- ,0). 3 6 其中正确命题的序号是________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) π 3π sin?α- ?cos? +α?tan?π-α? 2 2 17.(10 分)已知 α 是第三象限角,f(α)= . tan?-α-π?sin?-π-α? (1)化简 f(α); 3 1 (2)若 cos(α- π)= ,求 f(α)的值. 2 5

4sin θ-2cos θ 6 18.(12 分)已知 = ,求下列各式的值. 3sin θ+5cos θ 11 2 5cos θ (1) 2 ; sin θ+2sin θcos θ-3cos2θ 2 (2)1-4sin θcos θ+2cos θ.

1 19.(12 分)已知 sin α+cos α= . 5 求:(1)sin α-cos α;(2)sin3α+cos3α.

π 20.(12 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的部分图象如图所示. 2

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)如何由函数 y=2sin x 的图象通过适当的变换得到函数 f(x)的图象,写出变换过程.

π 21.(12 分)函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0≤φ≤ )在 x∈(0,7π)内只取到一个最大值和一个最 2 小值,且当 x=π 时,ymax=3;当 x=6π,ymin=-3. (1)求出此函数的解析式; (2)求该函数的单调递增区间; (3)是否存在实数 m,满足不等式 Asin(ω -m2+2m+3+φ)>Asin(ω -m2+4+φ)?若存在, 求出 m 的范围(或值),若不存在,请说明理由.

22.(12 分)已知某海滨浴场海浪的高度 y(米)是时间 t(0≤t≤24,单位:小时)的函数,记作:y =f(t),下表是某日各时的浪高数据: 0 3 6 9 12 15 18 21 24 t(时) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 y(米) 经长期观测,y=f(t)的曲线,可近似地看成是函数 y=Acos ωt+b. (1)根据以上数据,求函数 y=Acos ωt+b 的最小正周期 T,振幅 A 及函数表达式; (2)依据规定,当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的 上午 8∶00 时至晚上 20∶00 时之间,有多少时间可供冲浪者进行运动?

第一章

三角函数(B) 答案

1.B 2.C 3.A

4.A

2π 5.B [由图象知 2T=2π,T=π,∴ =π,ω=2.] ω π 6.D [若函数 f(x)=cos(3x+φ)的图象关于原点成中心对称,则 f(0)=cos φ=0,∴φ=kπ+ , 2 (k∈Z).] sin θ+cos θ tan θ+1 7.B [∵ = =2, sin θ-cos θ tan θ-1 ∴tan θ=3. sin θcos θ tan θ 3 ∴sin θcos θ= 2 = = .] sin θ+cos2θ tan2θ+1 10 π ?横坐标伸长到原来的2倍 y=sin? ― ― → y= 纵坐标不变 ?x-10?

8.C [函数 y=sin x 1 π? sin? ?2x-10?.]

π π ? π? ? [将 y=sin(x-θ)向右平移 个单位长度得到的解析式为 y=sin? ??x-3?-θ?=sin(x-3- 3 π π π π θ).其对称轴是 x= ,则 - -θ=kπ+ (k∈Z). 4 4 3 2 7π 5π ∴θ=-kπ- (k∈Z).当 k=-1 时,θ= .] 12 12 10. D [图 A 中函数的最大值小于 2, 故 0<a<1, 而其周期大于 2π.故 A 中图象可以是函数 f(x) 的图象.图 B 中,函数的最大值大于 2,故 a 应大于 1,其周期小于 2π,故 B 中图象可以是 函数 f(x)的图象.当 a=0 时,f(x)=1,此时对应 C 中图象,对于 D 可以看出其最大值大于 2, 其周期应小于 2π,而图象中的周期大于 2π,故 D 中图象不可能为函数 f(x)的图象.] x 3π? x 1 11.C [函数 y=cos? ?2+ 2 ?=sin 2,x∈[0,2π],图象如图所示,直线 y=2与该图象有两个交 点. 9.A

5π 5π 2π 12.D [∵a=sin =sin(π- )=sin . 7 7 7 2π π 8π 7π - = - >0. 7 4 28 28 π 2π π ∴ < < . 4 7 2 π π? 又 α∈? ?4,2?时,sin α>cos α. 2π 2π ∴a=sin >cos =b. 7 7 π ? 又 α∈? ?0,2?时,sin α<tan α.

]

2π 2π >sin =a. 7 7 ∴c>a.∴c>a>b.] 2 6 13. 5 ∴c=tan 1 解析 ∵α 是第四象限的角且 cos α= . 5 2 6 ∴sinα= - 1-cos2α=- , 5 π 2 6 ∴cos(α+ )=-sin α= . 2 5 2 14. 3 ?y=6cos x, ? 解析 由? 消去 y 得 6cos x=5tan x. ? ?y=5tan x 整理得 6cos2 x=5sin x,6sin2x+5sin x-6=0,(3sin x-2)(2sin x+3)=0, 2 3 所以 sin x= 或 sin x=- (舍去). 3 2 2 2 点 P2 的纵坐标 y2= ,所以|P1P2|= . 3 3 15.3 解析 由函数 y=Asin(ωx+φ)的图象可知: T π 2 π 2 =(- )-(- π)= ,∴T= π. 2 3 3 3 3 2π 2 ∵T= = π,∴ω=3. ω 3 16.(1)(4) 解析 本题考查三角函数的图象与性质.(1)由于函数 y=sin |x|是偶函数,作出 y 轴右侧的图 象,再关于 y 轴对称即得左侧图象,观察图象可知没有周期性出现,即不是周期函数;(2)错, π 正切函数在定义域内不单调, 整个图象具有周期性, 因此不单调; (3)由周期函数的定义 f(x+ ) 2 1 π π =|-cos 2x+ |≠f(x),∴ 不是函数的周期;(4)由于 f(- )=0,故根据对称中心的意义可知(- 2 2 6 π ,0)是函数的一个对称中心,故只有(1)(4)是正确的. 6 π 3π sin?α- ?cos? +α?tan?π-α? 2 2 17.解 (1)f(α)= tan?-α-π?sin?-π-α? π -sin? -α?sin α?-tan α? 2 = ?-tan α?sin α cos αsin αtan α = -tan αsin α =-cos α. 3π 3π 1 (2)∵cos(α- )=cos( -α)=-sin α= . 2 2 5 1 ∴sin α=- . 5 2 6 ∵α 是第三象限角,∴cos α=- . 5 2 6 ∴f(α)=-cos α= . 5

4sin θ-2cos θ 6 18.解 由已知 = , 3sin θ+5cos θ 11 4tan θ-2 6 ∴ = . 3tan θ+5 11 解得:tan θ=2. 5 5 (1)原式= 2 = =1. tan θ+2tan θ-3 5 sin2θ-4sin θcos θ+3cos2θ tan2θ-4tan θ+3 1 (2)原式=sin2θ-4sin θcos θ+3cos2θ= = =- . 2 2 2 5 sin θ+cos θ 1+tan θ 1 24 19.解 (1)由 sin α+cos α= ,得 2sin αcos α=- , 5 25 24 49 ∴(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1+ = , 25 25 7 ∴sin α-cos α=± . 5 (2)sin3α+cos3α=(sin α+cos α)(sin2α-sin αcos α+cos2α)=(sin α+cos α)(1-sin αcos α), 12 1 由(1)知 sin αcos α=- 且 sin α+cos α= , 25 5 12 1 37 1+ ?= . ∴sin3α+cos3α= ×? 25? 125 5 ? 20.解 (1)由图象知 A=2. 5π π 2π π π f(x)的最小正周期 T=4×( - )=π,故 ω= =2.将点( ,2)代入 f(x)的解析式得 sin( +φ)= 12 6 T 6 3 π π π 1,又|φ|< ,∴φ= ,故函数 f(x)的解析式为 f(x)=2sin(2x+ ). 2 6 6 (2)变换过程如下:
图像向左平移 个单位 所有点的横坐标缩短为原来的 π π 6 2 ? y=2sin(x+6) ????????? y=2sin x ??????? ? y=2sin(2x+6). 纵坐标不变 1 21.解 (1)由题意得 A=3, T=5π?T=10π, 2 2π 1 1 π ∴ω= = .∴y=3sin( x+φ),由于点(π,3)在此函数图象上,则有 3sin( +φ)=3, T 5 5 5 π π π 3π ∵0≤φ≤ ,∴φ= - = . 2 2 5 10 1 3π ∴y=3sin( x+ ). 5 10 π 1 3π π (2)当 2kπ- ≤ x+ ≤2kπ+ 时,即 10kπ-4π≤x≤10kπ+π 时,原函数单调递增. 2 5 10 2 ∴原函数的单调递增区间为[10kπ-4π,10kπ+π](k∈Z). 2 ? ?-m +2m+3≥0, ? (3)m 满足 2 ?-m +4≥0, ? 解得-1≤m≤2. ∵-m2+2m+3=-(m-1)2+4≤4, ∴0≤ -m2+2m+3≤2, 同理 0≤ -m2+4≤2.由(2)知函数在[-4π,π]上递增,若有: Asin(ω -m2+2m+3+φ)>Asin(ω -m2+4+φ),只需要: 1 1 -m2+2m+3> -m2+4,即 m> 成立即可,所以存在 m∈( ,2],使 Asin(ω -m2+2m+3 2 2

?

1

+φ)>Asin(ω -m2+4+φ)成立. 22.解 (1)由表中数据知周期 T=12,

2π 2π π ∴ω= = = , T 12 6 由 t=0,y=1.5,得 A+b=1.5. 由 t=3,y=1.0,得 b=1.0. ∴A=0.5,b=1, 1 π ∴y= cos t+1. 2 6 1 π (2)由题知,当 y>1 时才可对冲浪者开放,∴ cos t+1>1, 2 6 π π π π ∴cos t>0,∴2kπ- < t<2kπ+ ,即 12k-3<t<12k+3.① 6 2 6 2 ∵0≤t≤24,故可令①中 k 分别为 0,1,2, 得 0≤t<3 或 9<t<15 或 21<t≤24. ∴在规定时间上午 8∶00 至晚上 20∶00 之间,有 6 个小时时间可供冲浪者运动,即上午 9∶ 00 至下午 3∶00.



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