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高中数学 选修1-2 4.合情推理与演绎推理


4.合情推理与演绎推理
教学目标 _________ 1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理. 2.理解演绎推理的意义,掌握演绎推理的基本模式,能进行简单推理. 3.了解合情推理与演绎推理的区别和联系. 教学过程 一、合情推理. 1.归纳推理: (1)定义:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特 征的推理;或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳). 【 A ? B ,且 A 具有特征 P ? B 具有特征 P】 (2)特征:部分 ? 整体;个别 ? 一般. (3)举例:① 铜、铁、铝等金属能导电 ? 一切金属都能导电; 班级 ______ 姓名

6 ? 3?3; 8 ? 3?5; 10 ? 5 ? 5 ; ② 哥德巴赫猜想: ...... 1002 ? 139 ? 863 ...... ?
任何一个不小于 6 的偶数都等于两个奇质数之和. 2.类比推理: (1)定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对 象也具有这些特征的推理,称为类比推理(简称类比). 【A、B 具有相同性质 P,且 A 具有特征 Q ? B 具有特征 Q】 (2)特征:相似 ? 相似. (3)举例:① 加法运算与乘法运算都满足交换律,且加法运算满足结合律 ? 乘法运算满足 结合律; ② 平面内和空间内,平行于同一条直线的两条直线相互平行,且平面内,垂直

于同一条直线的两条直线相互平行 ? 空间内,垂直于同一条直线的两条直线相互平行. 3.合情推理:根据已有事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出 猜想的推理. (1)归纳推理与类比推理都属于合情推理; (2)合情推理能帮我们猜测和发现结论,能为我们提供证明的思路和方向; (3)一般来说,由合情推理所获得的结论,仅仅是一种猜想,未必可靠. 二、演绎推理.

1.定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理,称为演绎推理. 【 A ? B ,且 A 具有特征 P ? B 具有特征 P】 2.特征:一般 ? 特殊;整体 ? 部分. 3.举例:① 所有的金属都能导电,铀是金属 ? 铀能导电; ② 所有奇数都不能被 2 整除,101 是奇数 ? 101 不能被 2 整除. 4.结构:演绎推理三段论: (1)大前提——已知的一般原理; (2)小前提——所研究的特殊情况; (3)结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断.(应用三段论解决问题时,若大前提 是显而易见的,则可省略) 5.在演绎推理中,只要大前提和推理形式是正确的,结论必定是正确的。 6.演绎推理是证明数学结论,建立数学体系的重要思维过程. 三、例题分析. 例 1:已知数列 {an } 的第 1 项 a1 ? 1 ,且 an ?1 ?

an ,试归纳数列 {an } 的通项公式. 1 ? an

例 2:如图,在锐角三角形 ABC 中, AD ? BC , BE ? AC ,D、E 是垂足,求证:AB 的中点 M 到点 D、E 的距离相等.

作业:已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 1 . (1)求 a2 , a3 , a4 , a5 ; (2)归纳猜想数列 {an } 的通项公式.



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