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一元二次不等式与基本不等式


一元二次不等式与基本不等式 题组一
2 2

班级

姓名

一元二次不等式的解法 的解集是不等式 2x -9x+a<0 的解集的子集,则
2

1.已知不等式组?

? ?x -4x+3<0,

?x -6x+8<0 ? 实数 a 的取值范

围是________. 2 2 2.解关于 x 的不等式 12x -ax>a (a∈R).

3.已知不等式 ax -3x+6>4 的解集为{x|x<1 或 x>b}, (1)求 a,b; 2 (2)解不等式 ax -(ac+b)x+bc<0.

2

题组二 基本不等式 4.已知 a≥0,b≥0,且 a+b=2,则 1 1 2 2 2 2 A.ab≤ B.ab≥ C.a +b ≥2 D.a +b ≤3 2 2 5.设 a、b 是正实数, 以下不等式 2ab 2 2 2 2 ① ab> ;②a>|a-b|-b;③a +b >4ab-3b ;④ab+ >2 恒成立的 a+b ab 序号为 ( ) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 3 3 6.设 x、y 均为正实数,且 + =1,则 xy 的最小值为 2+x 2+y A .4 B.4 3 C.9 D.16
1

(

)

(

)

a b (a+b) a b 7.若 a,b 是正常数,a≠b,x,y∈(0,+∞),则 + ≥ ,当且仅当 = 时取 x y x+y x y 2 9 1 等号.利用以上结论,函数 f(x)= + (x∈(0, ))取得最小值时 x 的值为 ( ) x 1-2x 2 1 1 A .1 B. C.2 D. 5 3 x+1 8.(2010·太原模拟)若直线 ax-by+2=0(a>0,b>0)和函数 f(x)=a +1(a>0 且 a≠1) 1 1 的图象恒过同一个定点,则当 + 取最小值时,函数 f(x)的解析式是________. a b 9.已知 a、b、c∈(0,+∞)且 a+b+c=1,
1 1 1 求证:( -1)( -1)( -1)≥8.

2

2

2

a

b

c

题组三 不等式的应用问题 2 10.某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系是 y=3 000+20x-0.1x (0<x <240),若每台产品的售价为 25 万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最 低产量是 ( ) A.100 台 B.120 台 C.150 台 D.180 台 11.某摩托车厂上年度生产摩托车的投入成本为 1 万元/辆,出厂价为 1.2 万元/辆,年 销售量为 1000 辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品质量,适度增加投入成本.若 每辆车投入成本增加的比例为 x(0<x<1),则出厂价相应地提高比例为 0.75x,同时预 计年销售量增加的比例为 0.6x,已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量. (1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式; (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例 x 应在什么范围内?

2

12.某商场中秋前 30 天月饼销售总量 f(t)与时间 t(0<t≤30)的关系大致满足 f(t)=t f(10) +10t+16,则该商场前 t 天平均售出(如前 10 天的平均售出为 )的月饼最少为 10 ( ) A.18 B.27 C.20 D.16 13.某公司租地建仓库,每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货 物的运费 y2 与到车站的距离成正比,如果在距离车站 10 千米处建仓库,这两项费用 y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元,那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站 ________千米处. 14.为了提高产品的年产量,某企业拟在 2010 年进行技术改革.经调查测算,产品当年 的产量 x 万件与投入技术改革费用 m 万元(m≥0)满足 x=3-

2

k (k 为常数).如果不搞 m+1

技术改革,则该产品当年的产量只能是 1 万件.已知 2010 年生产该产品的固定投入为 8 万元,每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元.由于市场行情较好,厂家生产的产品均 能销售出去.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的 1.5 倍(生产成本包括 固定投入和再投入两部分资金). (1)将 2010 年该产品的利润 y 万元(利润=销售金额-生产成本-技术改革费用)表示为 技术改革费用 m 万元的函数; (2)该企业 2010 年的技术改革费用投入多少万元时,厂家的利润最大?

3

题组四 不等式的恒成立 2 15.已知关于 x 的不等式 2x+ ≥7 在 x∈(a,+∞)上恒成立, x-a 则实数 a 的最小值为________ 1 a 16.已知不等式(x+y)( + )≥9 对任意正实数 x,y 恒成立,则正实数 a 的最小值为( )

x y

A .8 B.6 C.4 D.2 2 2 17.若不等式 ax +4x+a>1-2x 对任意实数 x 均成立,则实数 a 的取值范围是( ) A.a≥2 或 a≤-3 B.a>2 或 a≤-3 C.a>2 D.-2<a<2 2 18.设奇函数 f(x)在上是单调函数,且 f(-1)=-1,若函数 f(x)≤t -2at+1 对所有 的 x∈都成立,当 a∈时,则 t 的取值范围是________.

4

参考答案:
? ?x -4x+3<0, 1.已知不等式组? 2 ?x -6x+8<0 ?
2

的解集是不等式 2x -9x+a<0 的解集的子集,则

2

实数 a 的取值范围是________. 2 ?x -4x+3<0, ? 解析:因为不等式组? 2 ?x -6x+8<0 ? 则由题意得?
?f(2)≤0, ? ?f(3)≤0, ?

的解集是{x|2<x<3},设 f(x)=2x -9x+a,

2

解得 a≤9.

答案:a≤9 2 2 2.解关于 x 的不等式 12x -ax>a (a∈R). 2 2 解:由 12x -ax-a >0?(4x+a)(3x-a)>0 ?(x+ )(x- )>0, 4 3 ①a>0 时,- < , 4 3 解集为{x|x<- 或 x> }; 4 3 2 ②a=0 时,x >0,解集为{x|x∈R 且 x≠0}; ③a<0 时,- > , 4 3 解集为{x|x< 或 x>- }. 3 4 2 3.已知不等式 ax -3x+6>4 的解集为{x|x<1 或 x>b}, (1)求 a,b; 2 (2)解不等式 ax -(ac+b)x+bc<0. 2 解:(1)因为不等式 ax -3x+6>4 的解集为{x|x<1 或 x>b},所以 x1=1 与 x2=b 是方程 2 ax -3x+2=0 的两个实数根,且 b>1.由根与系数的关系,得 3 ? ?1+b=a, ? 2 1×b= . ? ? a
2

a

a

a a a

a

a a

a

a

解得?

?a=1, ? ?b=2. ?

所以?

?a=1, ? ?b=2. ?

(2)所以不等式 ax -(ac+b)x+bc<0, 2 即 x -(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0. ①当 c>2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为{x|2<x<c}; ②当 c<2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为{x|c<x<2}; ③当 c=2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为?. 2 综上所述:当 c>2 时,不等式 ax -(ac+b)x+bc<0 的解集为{x|2<x<c}; 2 当 c<2 时,不等式 ax -(ac+b)x+bc<0 的解集为{x|c<x<2};
5

当 c=2 时,不等式 ax -(ac+b)x+bc<0 的解集为?. 题组二 基本不等式 4.已知 a≥0,b≥0,且 a+b=2,则 ( ) 1 1 2 2 2 2 A.ab≤ B.ab≥ C.a +b ≥2 D.a +b ≤3 2 2 a+b a+b 2 2 2 2 2 2 2 解析:法一:由 ≥ ab得 ab≤( ) =1,又 a +b ≥2ab?2(a +b )≥(a+b) ?a 2 2 2 +b ≥2. 法二:(特值法)取 a=0,b=2 满足 a+b=2,代入选项可排除 B、D.又取 a=b=1 满足 a +b=2.但 ab=1,可排除 A. 答案:C 5.设 a、b 是正实数, 以下不等式 2ab 2 2 2 2 ① ab> ;②a>|a-b|-b;③a +b >4ab-3b ;④ab+ >2 恒成立的 a+b ab 序号为 ( ) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 2 ab 2ab 解析:∵a、b 是正实数,∴①a+b≥2 ab?1≥ ? ab≥ .当且仅当 a=b 时 a+b a+b 2 2 2 取等号,∴①不恒成立;②a+b>|a-b|?a>|a-b|-b 恒成立;③a +b -4ab+3b =(a 2 2 2 -2b) ≥0,当 a=2b 时,取等号,∴③不恒成立;④ab+ ≥2 ab· =2 2>2 恒

2

ab

ab

成立. 答案:D 3 3 6.设 x、y 均为正实数,且 + =1,则 xy 的最小值为 2+x 2+y A .4 B.4 3 C.9 D.16 3 3 解析:由 + =1 可得 xy=8+x+y. 2+x 2+y ∵x,y 均为正实数, ∴xy=8+x+y≥8+2 xy(当且仅当 x=y 时等号成立), 即 xy-2 xy-8≥0, 可解得 xy≥4,即 xy≥16,故 xy 的最小值为 16. 答案:D ( )

a b (a+b) a b 7.若 a,b 是正常数,a≠b,x,y∈(0,+∞),则 + ≥ ,当且仅当 = 时取 x y x+y x y 2 9 1 等号.利用以上结论,函数 f(x)= + (x∈(0, ))取得最小值时 x 的值为 ( ) x 1-2x 2

2

2

2

6

1 1 B. C.2 D. 5 3 2 2 2 a2 b2 (a+b)2 2 3 (2+3) 2 3 解析:由 + ≥ 得,f(x)= + ≥ =25.当且仅当 = 时 x y x+y 2x 1-2x 2x+(1-2x) 2x 1-2x 1 取等号,即当 x= 时 f(x)取得最小值 25. 5 答案:B x+1 8.(2010·太原模拟)若直线 ax-by+2=0(a>0,b>0)和函数 f(x)=a +1(a>0 且 a≠1) 1 1 的图象恒过同一个定点,则当 + 取最小值时,函数 f(x)的解析式是________. A .1

a b

解析:函数 f(x)=a

x+1

1 1 1 1 1 1 3 +1 的图象恒过(-1,2),故 a+b=1, + =( a+b)( + )= 2 a b 2 a b 2

b a 3 2 2 1 + + ≥ + 2.当且仅当 b= a 时取等号,将 b= a 代入 a+b=1 得 a=2 2-2, a 2b 2 2 2 2
故 f(x)=(2 2-2) +1. x+1 答案:f(x)=(2 2-2) +1 9.已知 a、b、c∈(0,+∞)且 a+b+c=1, 1 1 1 求证:( -1)( -1)( -1)≥8.
x+1

a

b

c

证明:∵a、b、c∈(0,+∞)且 a+b+c=1, 1 1 1 (1-a)(1-b)(1-c) ∴( -1)( -1)( -1)=

a b c abc (b+c)(a+c)(a+b) 2 bc·2 ac·2 ab = ≥ =8. abc abc
1 当且仅当 a=b=c= 时取等号. 3 题组三 不等式的应用问题 2 10.某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系是 y=3 000+20x-0.1x (0<x <240),若每台产品的售价为 25 万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最 低产量是 ( ) A.100 台 B.120 台 C.150 台 D.180 台 2 解析:依题意得 25x≥3 000+20x-0.1x , 2 整理得 x +50x-30 000≥0,解得 x≥150 或 x≤-200, 因为 0<x<240,所以 150≤x<240,即最低产量是 150 台. 答案:C 11.某摩托车厂上年度生产摩托车的投入成本为 1 万元/辆,出厂价为 1.2 万元/辆,年 销售量为 1000 辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品质量,适度增加投入成本.若 每辆车投入成本增加的比例为 x(0<x<1),则出厂价相应地提高比例为 0.75x,同时预 计年销售量增加的比例为 0.6x,已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.
7

(1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式; (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例 x 应在什么范围内? 解:(1)由题意得 y=×1000(1+0.6x)(0<x<1), 2 整理得 y=-60x +20x+200(0<x<1).
? ?y-(1.2-1)×1000>0, (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加,必须有? ?0<x<1, ? ? ?-60x +20x>0, 即? ?0<x<1. ?
2

1 解得 0<x< . 3 1 ∴投入成本增加的比例应在(0, )范围内. 3 2 12.某商场中秋前 30 天月饼销售总量 f(t)与时间 t(0<t≤30)的关系大致满足 f(t)=t f(10) +10t+16,则该商场前 t 天平均售出(如前 10 天的平均售出为 )的月饼最少为 10 ( ) A.18 B.27 C.20 D.16 f(t) t2+10t+16 16 解析:平均销售量 y= = =t+ +10≥18.

t

t

t

16 当且仅当 t= ,即 t=4∈等号成立,即平均销售量的最小值为 18.

t

答案:A 13.某公司租地建仓库,每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货 物的运费 y2 与到车站的距离成正比,如果在距离车站 10 千米处建仓库,这两项费用 y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元,那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站 ________千米处. 解析:设仓库建在离车站 d 千米处, k1 20 由已知 y1=2= ,得 k1=20,∴y1= , 10 d 4 4 y2=8=k2·10,得 k2= ,∴y2= d, 5 5 20 4d 20 4d ∴y1+y2= + ≥2 · =8, d 5 d 5 20 4d 当且仅当 = ,即 d=5 时,费用之和最小. d 5 答案:5 14.为了提高产品的年产量,某企业拟在 2010 年进行技术改革.经调查测算,产品当年 的产量 x 万件与投入技术改革费用 m 万元(m≥0)满足 x=3-

k (k 为常数).如果不搞 m+1

技术改革,则该产品当年的产量只能是 1 万件.已知 2010 年生产该产品的固定投入为 8
8

万元,每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元.由于市场行情较好,厂家生产的产品均 能销售出去.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的 1.5 倍(生产成本包括 固定投入和再投入两部分资金). (1)将 2010 年该产品的利润 y 万元(利润=销售金额-生产成本-技术改革费用)表示为 技术改革费用 m 万元的函数; (2)该企业 2010 年的技术改革费用投入多少万元时,厂家的利润最大? 解:(1)由题意可知,当 m=0 时,x=1(万件), 2 ∴1=3-k,∴k=2,∴x=3- , m+1 8+16x 每件产品的销售价格为 1.5× (元),

x

∴2010 年的利润 y=x·-(8+16x)-m 16 =-[ +(m+1)]+29(元)(m≥0). m+1 16 (2)∵m≥0,∴ +(m+1)≥2 16=8, m+1 ∴y≤29-8=21, 16 当 =m+1,即 m=3,ymax=21. m+1 ∴该企业 2010 年的技术改革费用投入 3 万元时,厂家的利润最大. 题组四 不等式的恒成立 2 15.已知关于 x 的不等式 2x+ ≥7 在 x∈(a,+∞)上恒成立,则实数 a 的最小值为 x-a ________. 2 2 2 解析:因为 x>a,所以 2x+ =2(x-a)+ +2a≥2 2(x-a)· +2a=2a+ x-a x- a x-a 3 3 4,即 2a+4≥7,所以 a≥ ,即 a 的最小值为 . 2 2 3 答案: 2 1 a 16.已知不等式(x+y)( + )≥9 对任意正实数 x,y 恒成立,则正实数 a 的最小值为

x y

( ) A .8

B.6 C.4 D.2 1 a x y 解析:(x+y)( + )=1+a· + +a ≥a+1+2

x y y x x y a· · =a+2 a+1, y x

9

x y y x 2 所以( a) +2 a+1≥9, 2 即( a) +2 a-8≥0,得 a≥2 或 a≤-4(舍), 所以 a≥4,即 a 的最小值为 4.
当且仅当 a· = 等号成立, 答案:C 2 2 17.若不等式 ax +4x+a>1-2x 对任意实数 x 均成立,则实数 a 的取值范围是( ) A.a≥2 或 a≤-3 B.a>2 或 a≤-3 C.a>2 D.-2<a<2 2 解析:原不等式可化为(a+2)x +4x+a-1>0,显然 a=-2 时不等式不恒成立,所以要 使不等式对于任意的 x 均成立,必须有 a+2>0,且 Δ <0,即
? ?a+2>0, ? ?16-4(a+2)(a-1)<0, ?

解得 a>2. 答案:C 2 18.设奇函数 f(x)在上是单调函数,且 f(-1)=-1,若函数 f(x)≤t -2at+1 对所有 的 x∈都成立,当 a∈时,则 t 的取值范围是________. 解析:∵f(x)为奇函数,f(-1)=-1, ∴f(1)=-f(-1)=1. 又∵f(x)在上是单调函数, ∴-1≤f(x)≤1, 2 ∴当 a∈时,t -2at+1≥1 恒成立, 2 即 t -2at≥0 恒成立, 2 令 g(a)=t -2at,a∈,
?t -2t≥0, ? ∴? 2 ?t +2t≥0, ?
2

∴?

? ?t≥2或t≤0, ?t≤-2或t≥0, ?

∴t≥2 或 t=0 或 t≤-2. 答案:(-∞,-2]∪{0}

10


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