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全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷及详细答案


全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷及详细答案

(考试时间:2010 年 9 月 4 日 9:00—11:30) 注意: 1.本试卷共 12 小题,满分 150 分; 2.用钢笔、圆珠笔或签字笔作答; 3.书写不要超过装订线; 4.不能使用计算器. 一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1.函数 2.函数 的值域是_____________________

_____. _____________________的图象与 的图象关于直线 对称.

3.正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于__________________________.

4.设椭圆 5.设 6.设 则 7. 设 是复数,则

与双曲线

相切,则

__________________________.

的最小值等于__________________________. 的三个根构成公差为 1 的等差数列,

, , 是实数,若方程

, , 应满足的充分必要条件是__________________________. 是 的内心, ,动点 , , , ,

的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于________________________.

8.从正方体的八个顶点中随机选取三点,构成直角三角形的概率是__________________. 二、解答题(共 86 分)

9.(20 分)设数列

满足 使得





.求

的通项公式.

10.(22 分)求最小正整数 11.(22 分)已知 平分线与边 , ,

可被 2010 整除. , , 分别是 , , 的 的面

的三边长度各不相等,

的垂直平分线的交点.求证:

的面积小于

积. 12.(22 分)桌上放有

根火柴,甲乙二人轮流从中取走火柴.甲先取,第一次可取走至多

根火柴,此后每人每次至少取走 根火柴.但是不超过对方刚才取走火柴数目的 2 倍. 取得最后一根火柴者获胜.问:当 时,甲是否有获胜策略?请详细说明理由.

2010 年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷

参考答案及评分标准 一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1.答案: 提 示 : 因 . , 设 ( ) , 则

(其中 角) , 所以当 2. 答案: 提示:因两函数图象关于直线 ,解得 . 对称,所以 时, , 当 时,

, , 故



为锐 .



,∴

3. 答案: 提示: 正八面体由两个棱长都相等的正四棱锥组成, 所以任意两个相邻面所成二面角是

正四棱锥侧面与底面所成二面角

的两倍.∵

,∴

,则

.

4. 答案:

提示:由椭圆方程

知,

,设其参数方程为

( 为

参数)代入双曲线方程

,得

.

因两曲线相切,∴ 5. 答案: 提示:在复平面上,设

,故

.





,则当



的费马点时 ,

取得最小值,最小值为

.

6. 答案: 提示: 设三个根为

且 , ,

. , 则 , , ,

右边展开与左边比较得

,消去 7. 答案:



,这就是所求的充要条件.

提示:如图,根据向量加法的几何意义,知点 动,所以动点

在图中的三个平形四边形及其内部运 面积的 2 倍,即 .

的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于等于

8. 答案: 提示:从正方体的八个顶点中随机选取三点,共有 个三角形,其中直角三角形有

个,所求“构成直角三角形”的概率是 二、解答题(共 86 分)

.

9. 解:特征根法. 又



,????(10 分)





于是

.??????(20 分)

10. 解: ????(10 分) 又 或 , 或 故所求最小正整数 11. 证明:由题设可证 , , ,

.????(22 分) , , , 六点共圆. ????(10 分)

不 妨 设 圆 半 径 为

1 , 则 有



. 由于



的面积小于

的面积. ????(22 分) 从小到大排序为: , , , ?,

12. 解: 把所有使得甲没有有获胜策略的初始火柴数目 不难发现其前 4 项分别为 2,3,5,8. 下面我们用数学归纳法证明: (1) (2)当 (3)当 满足 ;

时,乙总可取到最后一根火柴,并且乙此时所取的火柴数目 时,甲总可取到最后一根火柴,并且甲此时所取的火柴数目

; .

??????????????(10 分)





),注意到

.



时,甲第一次时可取

根火柴,剩余

根火柴,乙无法获胜.



时, ,剩余

,根据归纳假设,甲可以取到第 根火柴,乙无法获胜. 根火柴, 若

根火柴,并且甲

此时所取的火柴数目 当 若 剩余

时,设甲第一次时取走

,则乙可取走所有剩小的火柴; ,

, 则根据归纳假设, 乙总可以取到第 根火柴,甲无法获胜. . ,所以当

根火柴, 并且乙此时所取的火柴数目

综上可知, 因为 100 不在数列

时,甲有获胜策略. ????(22 分)


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