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2013理辽宁高考数学真题及答案WORD版(教师版)


2013 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷理)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.复数的 Z ?

1 1 模为(A) i ?1 2

(B)

2 2

(C) 2

(D) 2

2.已知集合 A ? ? x | 0 ? log 4 x ? 1? , B ? ? x | x ? 2?,则A ? B ?

C. ?1, 2 ? ??? ? 3.已知点 A ?1,3? , B ? 4, ?1? , 则与向量 AB同方向的单位向量为
(A) ? ,- ?

1? A. ? 0,

2? B. ? 0,

2? D. ?1,

?3 ?5

4? 5?

(B) ? ,- ?

?4 ?5

3? 5?

(C) ? ? , ?

? 3 4? ? 5 5?

(D) ? ? , ?

? 4 3? ? 5 5?

4.下面是关于公差 d ? 0 的等差数列 ? an ? 的四个命题:

p1 : 数列?an ? 是递增数列;

p2 : 数列?nan ? 是递增数列; p4 : 数列?an ? 3nd ? 是递增数列;
(C) p2 , p3 (D) p1 , p4

?a ? p3 : 数列 ? n ? 是递增数列; ?n?
其中的真命题为 (A) p1 , p2 (B) p3 , p4

5. 某学校组织学生参加英语测试, 成绩的频率分布直方图如图, 数据的分组一次为 ? 20, 40 ? , ? 40, 60 ? ,

?60,80 ? ,8? 20,100 ? . 若低于 60 分的人数是 15 人,则该班的学生人数是
频率 组距

0.02 0.015 0.01 0.005
O (A) 45 1. B 由已知 Z ? 20 40 60 80 100 成绩/分 (B) 50 (C) 55 (D) 60

2 ?1 ? i 1 1 ? ? ? i, 所以 | Z |? 2 (?1 ? i)(?1 ? i) 2 2 2. D 解:由集合 A, 1 ? x ? 4 ;所以 A ? B ? (1, 2] ??? ? ??? ? ? 3 4 1 ??? 3. A 解: AB ? (3, ?4) ,所以 | AB |? 5 ,这样同方向的单位向量是 AB ? ( , ? ) 5 5 5 4.D 解:设 an ? a1 ? (n ? 1)d ? dn ? m ,所以 P 则满足已知,但 1 正确;如果 an ? 3n ? 12
nan ? 3n2 ? 12n 并非递增所以 P2 错;如果若 an ? n ? 1 ,则满足已知,但

an 1 ? 1 ? ,是递减数列, n n

1

所以 P3 错; a n ?3nd ? 4dn ? m ,所以是递增数列, P4 正确 5.B 解:第一、第二小组的频率分别是 0.1 、 0.2 ,所以低于 60 分的频率是 0.3,设班级人数为 m , 则

15 ? 0.3 , m ? 50 。 m

6.在 ?ABC ,内角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c. a sin B cos C ? c sin B cos A ? 则 ?B ?

1 b, 且 a ? b , 2

A.

? 6

B.
n

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6

1 ? ? 7.使得 ? 3 x ? ? ? n ? N ? ?的展开式中含有常数项的最小的n为 x x? ?

A. 4 A.
5 11
开始 输入 n
s ? 0, i ? 2

B. 5 B.
10 11

C. 6 C.
36 55

D. 7 D.
72 55

8.执行如图所示的程序框图,若输入 n ? 10, 则输出的S ?

i?n

s ? s? 1 i2 ?1

否 输出 S 结束

i ?i?2
9.已知点 O ? 0, 0 ? , A ? 0, b ? , B a, a .若? ABC 为直角三角形, 则必有
3

?

?

A. b ? a3
1? ? C. ? b ? a 3 ? ? b ? a 3 ? ? ? 0 a? ?

B. b ? a3 ?

1 a
1 ?0 a

D. b ? a 3 ? b ? a 3 ?

10.已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上,若 AB ? 3,AC ? 4 , AB ? AC ,

AA1 ? 12 ,则球 O 的半径为

A.

3 17 2

B. 2 10

C.

6.A 解:边换角后约去 sin B ,得 sin( A ? C ) ?

1 1 ? ,所以 sin B ? ,但 B 非最大角,所以 B ? 。 6 2 2

13 2

D. 3 10

2

5 r ,所以 r ? 2 时 n ? 5 最小 2 x x 1 1 1 1 1 1 8.A 解: s ? s ? 2 的意义在于是对 2 求和。因为 2 ? ( ? ) ,同时注意 i ?1 i ?1 i ?1 2 i ?1 i ?1 1 1 1 1 1 1 1 5 i ? i ? 2 ,所以所求和为 [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] = 2 1 3 3 5 9 11 11 9.C 解:显然角 O 不能为直角(否则得 a ? 0 不能组成三角形)若 A 为直角,则根据 A、B 纵坐标相等, 1 3 所以 b ? a ? 0 ;若 B 为直角,则利用 KOB K AB ? ?1 得 b ? a 3 ? ? 0 ,所以选 C a 5 1 10.C 解: 由球心作面 ABC 的垂线, 则垂足为斜边 BC 中点 M。 计算 AM= , 由垂径定理, OM= AA1 ? 6 , 2 2 5 2 13 2 所以半径 R= ( ) ? 6 ? 2 2
7.B 解:通项 Cn (3 x)
r n?r

(

1

r n ?r ) r ? Cn 3 x

5 n? r 2

,常数项满足条件 n ?

A1 C1 B1

O

A B M C
2 2 2 2

11.已知函数 f ? x ? ? x ? 2 ? a ? 2 ? x ? a , g ? x ? ? ? x ? 2 ? a ? 2 ? x ? a ? 8. 设

H1 ? x ? ? max ? f ? x ? , g ? x ?? , H 2 ? x ? ? min ? f ? x ? , g ? x ?? , ? max ? p, q?? 表示 p, q 中的较大值,
(A) a ? 2a ? 16
2

min ? p, q? 表示 p, q 中的较小值,记 H1 ? x ? 得最小值为 A, H 2 ? x ? 得最小值为 B ,则 A ? B ?
(B) a ? 2a ? 16
2

(C) ?16

(D) 16

11.B 解: f ( x) 顶点坐标为 (a ? 2, ?4a ? 4) , g ( x) 顶点坐标 (a ? 2, ?4a ? 12) ,并且每个函数顶点 都在另一个函数的图象上,图象如图, A、B 分别为两个二次函数顶点的纵坐标,所以 A-B= (?4a ? 4) ? (?4a ? 12) ? ?16 12.设函数 f ? x ? 满足x f ? ? x ? ? 2 xf ? x ? ?
2

ex e2 , f ? 2 ? ? , 则x ? 0, 时,f ? x ? x 8
(B)有极小值,无极大值 (D)既无极大值也无极小值

(A)有极大值,无极小值 (C)既有极大值又有极小值

[ x f ( x)]? ? 12.D 解: 由已知,
2 2

ex ex e2 2 在已知 x f ?( x) ? 2 xf ( x) ? 中令 x ? 2 , 并将 f (2) ? ?? (1) 。 x x 8 ex ? 2 xf ( x) ,两边乘以 x 后令 g ( x) ? x3 f ?( x) ? e x ? 2[ x 2 f ( x)]?(2) 。 x ex x ? 2 x ? e ,显然 x ? (0, 2) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 减; x x

代入,得 f ?(2) ? 0 ;因为 x f ?( x) ?
x

求导并将(1)式代入, g ?( x) ? e ? 2 ?

x ? (2, ??) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 增;并且由(2)式知 g (2) ? 0 ,所以 g (2) ? 0 为 g ( x) 的最小值,

3

即 g ( x) ? 0 ,所以 x f ?( x) ? 0 ,在 x ? 0 时得 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 为增函数,故没有极大值也没
3

有极小值。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是

.

14.已知等比数列 ?an ? 是递增数列, S n 是 ?an ? 的前 n 项和,若 a1,a3 是方程 x ? 5 x ? 4 ? 0 的两个
2

根,则 S 6 ? 15.已知椭圆 C :

.
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F , C 与过原点的直线相交于 A, B 两点,连接 a 2 b2

AF , BF ,若 AB ? 10, AF ? 6, cos ? ABF ?
13. 16? ? 16 14.

4 ,则 C 的离心率 e= 5

.

解:直观图是圆柱中抽出正四棱柱。 V ?

? 22 ? 4 ? 22 ? 4 ? 16? ? 16
2

63 解: a1 ? a3 ? 5, a1a3 ? 4 由递增, a1 ? 1, a3 ? 4 ,所以 q ?

a3 ? 4 , q ? 2 代入等比求和 a1

公式得 S6 ? 63

5 4 2 2 2 解: 由余弦定理, 6 ?| BF | ?10 ? 2 ? 10 | BF | ? ,解得 | BF |? 8 ,所以 A 到右焦点的距 7 5 10 5 离也是 8, ,由椭圆定义: 2a ? 6 ? 8 ? 14 ,又 2c ? 10 ,所以 e ? ? 14 7
15. 16.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,在全校随机抽取 5 个班级,把每个班级参加该小组 的认为作为样本数据.已知样本平均数为 7,样本方差为 4,且样本数据互相不相同,则样本数据中的 最大值为 . 16. 10 解:设五个班级的数据分别为 a ? b ? c ? d ? e 。由平均数方差的公式得

(a ? 7)2 ? (b ? 7)2 ? (c ? 7)2 ? (d ? 7)2 ? (e ? 7)2 a?b?c?d ?e ? 4 ,显然各个括号为整数。设 ? 7, 5 5 a ? 7, b ? 7, c ? 7, d ? 7, e ? 7 分别为 p, q, r, s, t , ( p, q, r, s, t ? Z ) ,则 ? p ? q ? r ? s ? t ? 0???? (1) 2 2 2 2 。设 f ( x) ? ( x ? p) ? ( x ? q) ? ( x ? r ) ? ( x ? s) = ? 2 2 2 2 2 ? p ? q ? r ? s ? t ? 20? (2) 4 x 2 ? 2( p ? q ? r ? s) x ? ( p 2 ? q 2 ? r 2 ? s 2 ) = 4 x2 ? 2tx ? 20 ? t 2 ,因为数据互不相同,分析 f ( x) 的构成,得 f ( x) ? 0 恒成立,因此判别式 ? ? 0 ,得 t ? 4 ,所以 t ? 3 ,即 e ? 10 。

4

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分 12 分)设向量 a ? (I)若 a ? b .求x的值; 解: (I)由 a
2

? ?? 3 sin x,sin x , b ? ? cos x,sinx ? , x ? ?0, ? . ? 2? b, 求f ? x ?的最大值. (II)设函数 f ? x ? ? a ?

?

?

2

? ( 3 sin x) 2 ? (sin x) 2 ? 4sin 2 x ,

b ? (cos x) 2 ? (sin x) 2 ? 1 ,及 a ? b , 得4sin 2 x ? 1
又 x ? [0,

?
2

], 从而 sin x ?

1 ? ,所以 x ? . 6 2
2

(II) f ( x) ? a ? b ? 3 sin x ? cos x ? sin x =

3 1 1 ? 1 sin 2 x ? cos 2 x ? ? sin(2 x ? ) ? . 2 2 2 6 2 ? ? ? 3 当 x ? ? [0. ]时, sin (2 x- )取最大值1. 所以 f ( x)的最大值为 . 2 3 2 6

18. (本小题满分 12 分)如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点。 (I)求证: 平面PAC ? 平面PBC; (II) 若AB ? 2,AC ? 1,PA ? 1,求证:二面角C ? PB ? A 的余弦值. 18.解: (I)由 AB 式圆的直径,得 AC⊥BC、 由 PA⊥平面 ABC、BC?平面 ABC、得 PA⊥BC. 又 PA? AC=A,PA?平面 PAC,AC?平面 PAC, 所以 BC⊥平面 PAC. 因为 BC?平面 PBC. 所以平面 PBC⊥平面 PAC. (II) (解法一)过 C 作 CM//AP,则 CM⊥平面 ABC.,如图,以点 C 为坐标原点,分别以直线 CB、CA、 CM 为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角标系

因为 AB=2、AC=1、所以 A(0、1、0) 、B( 3、、 、P(0、1、1) 0 0) .设平面 BCP 的法向量为 ?1 =(x、y、z ) . 故 CP = 3、 0、 0), CP=(0、 1、 1 )

??? ?

??? ?

? 3x ? 0 . ? 所以 ? ? ? y ? z ? 0. ??? ? ??? ? 不妨令 y=1.则 n 1 =(0、1、-1).因为 AP ? (0、 0、 1)、 AB=( 3,、 -1 0) ???? ? ? ? ? z ? 0. ? AP ?n2 ? 0, . 则 ? ??? ,所以 ? 设平面 ABP 的法向量为 n2 =(x、y、z) ? ? ? 3 x ? y ? 0. ? ? AB ? n2 ? 0, . 0) 不妨令 x=1、则 n2 ? (1、3、
于是 cos< n1、n2 >=

??? ? ? ?CB ? n1 ? 0, 则 ? ??? ? CB ? ? ? n1 ? 0,

3 6 , ? 4 2 2
5

所以由题意可知二面角 C-PB-A 的余弦值为

6 . 4

过 C 作 CM⊥AB 于 M、因为 PA⊥平面 ABC、CM?平面 ABC,所以 PA⊥CM.

故 CM⊥平面 PAB,过 M 作 MN⊥PB 于 N,链接 NC,由三垂线定理得 CN⊥PB. 所以∠CNM 为二面角 C-PB-A 的平面角. 在 RtΔ ABC 中,由 AB=2、AC=1、得 BC ? 3, CM = 在 RtΔ PAB 中,由 AB=2、PA=1、得 PB= 5 .

3 3 、BM ? . 2 2

3 MN 3 5 因为 RtΔ BNM∽RtΔ BAP,所以 ? 2 ,故MN= . 1 10 5
30 6 . ,故 cos∠CNM= 5 4 6 所以二面角 C-PB-A 的余弦值为 4 。
又在 RtΔ CNM 中,CN= 19. (本小题满分 12 分)现有 10 道题,其中 6 道甲类题,4 道乙类题,张同学从中任取 3 道题解答。 (I)求张同学至少取到 1 道乙类题的概率; (II)已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题,1 道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是 每道乙类题的概率都是

3 ,答对 5

4 ,且各题答对与否相互独立.用 X 表示张同学答对题的个数,求 X 的分布列 5

和数学期望. 解: (I)设事件 A=“张同学所取的 3 道题至少有 1 道乙类题,则有 A =”张同学所取的 3 道题都是甲类 题“.

因为P ( A) ?

3 C10 1 ? ,所以 3 C10 6 5 P( A)? 1? P ( A ) ? . 6

(II)X 所有的可能取值为 0、1、2、3.

3 0 2 2 1 4 0 P( X ? 0 )? C ) ? ( )? ? ; 2 ? ( 5 5 5 125 3 2 11 3 02 4 28 1 P( X ? 1) ? C2 ? ( ) 1? ( ) ? ? C2 (0 ) ? ( ) ? 2? ; 5 5 5 5 5 5 125 3 2 1 3 2 14 57 2 P( X ? 2) ? C2 ? ( ) 2? ( ) 0 ? ? C2 (1 ) ? (1 ) ? 1 ? ; 5 5 5 5 5 5 125

6

3 2 2 0 4 2 P( X ? 3 )? C ) ? ( )? 2 ? ( 5 5 5
X 0

36 ? . 125
1 2 3

14 28 P 125 125 4 28 57 136 ? 3? ?2 125 所以 E(X)=0× 125 +1× 125 +2× 125 。
2 2

57 125

36 125

20. (本小题满分 12 分)如图,抛物线 C1 : x ? 4 y, C2 : x ? ?2 py ? p ? 0 ? ,点 M ? x0 , y0 ? 在抛物线

C2 上,过 M 作 C1 的切线,切点为 A, B ( M 为原点 O 时, A, B 重合于 O ) x0 ? 1 ? 2 ,切 1 线 MA. 的斜率为 - 。 2 (I)求 p 的值;
(II)当 M 在 C2 上运动时,求线段 AB 中点 N 的轨迹方程。 ? A, B重合于O时,中点为O ? .
1 解:因为抛物线 C1:x ? 4 y 上任意一点(x,y)的切线斜率为 y ?
2

x 1 ,且切线 MA 的斜率为- ,所以 2 2

1 ) 。故切线 MA 的方程为 4 1 1 y ? ? ( x ? 1) ? . 2 4 因为点 M (1 ? 2, y0 ) 在切线 MA 及抛物线 C2 上,于是
A 点坐标为(-1,

1 1 y0 ? ? ( 2 ? 2 ) ? 2 4

3 ? 2 2 , ? ? 4



y0 ? ?

( 1? 22 ) ? 3 2 2 . ?? 2p 2p



由①②得 p=2. (II)设 N(x,y),A ( x1、1 ), B( x2

x?

x1 ? x2 . 2 x 2 ? x2 2 . y? 1 8
y?

x2 4

x2 2 ), x1 ? x2 , 由 N 为线 AB 中点知 4
③ ④

切线 MA、MB 的方程为

x1 x2 ( x ? x1 ) ? 1 2 4



7

x2 x2 2 y ? ( x ? x2 ) ? 2 4
由⑤⑥得 MA,MB 的交点 M ( x0 , y0 ) 的坐标为



x1 ? x 2 xx 2 , y0 ? 1 . 2 4 2 原 M( x0 , y0 )在C2上,即x0 ? ?4 y0 , 所以 x0 ?
x12 ? x2 2 . x1 x2 ? ? 6
由③④⑦得 ⑦

x2 ?

4 y , x ? 0. 3
中点 N 为 O,坐标满足 x ?
2

当 x1 ? x2 时,A,B 重合与原点 O,AB 因此 AB 中点 N 的轨迹方程为

4 y. 3

x2 ?

4 y. 3

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ?1 ? x ?
e?2 x

, g ? x ? ? ax ?

x3 ? 1 ? 2 x cos x.当x ? ? 0,1?时, 2

(I)求证: 1-x ? f ? x ? ?

(II)若 f ? x ? ? g ? x ? 恒成立,求实数 a 取值范围。 (I)证明:要证 x ? [0,1]时, (1 ? x)e?2 x ≧1- x ,需证明 (1 ? x)e? x ≧ (1 ? x)e x . 当 x∈(0,1)时 记h( x) ? (1 ? x)e? x ? (1 ? x)e x , 则h1 ( x) ? x(e x ? e? x ),

1 ; 1? x

h1 (x)>0,因此 h(x)在【0,1】上市增函数,故 h(x)≧h(0)=0.所以 f ( x) ? 1 ? x, x ? [0,1]

1 ,只需证明e x ? x ? 1. 1? x x 1 x 1 记 K ( x) ? e ? x ? 1, 则K ( x) ? e ? 1, 当x ? (0,1)时,K ( x) >0,因此 要证x ?[0,1]时,(1+x)e-2 x ?
K(x)在[0,1]上试增函数,故 K(x)≥K(0)=0.所以

1 , x ? [0,1] . 1? x 1 , x ? [0,1] . 综上, 1 ? x ? f ( x) ? 1? x f ( x) ?
(II) (解法一)

x3 f ( x) ? g ( x) ? (1 ? x)e ? (ax ? ? 1 ? 2 x cos x) 2 3 x ? 1 ? x ? ax ? 1 ? ? 2 x cos x 2
?2 x

8

x2 ? 1 ? x(a ? 1 ? ? 2 cos x) 2
设G ( x) ?



x2 ? 2 cos x, 则G1 ( x) ? x ? 2sin x . 2 (x) <0,于是 G(x)在[0,1]上试减函数, 记 H(x)=x-2sin x,则 H 1 (x)=1-2cos x,当 x x ? (0,1)时,H 1 1 从而当 x?(0,1)时, G ( x) < G (0)=0,故 G ( x) 在[0,1]上是减函数,于是 G( x) ? G(0) ? 2, ,从而
A+1+G(x)≤a+3, 所以,当 a ? ?3时,f ( x) ? g ( x)在[0,1]上恒成立, 下面证明,当 a>-3 时, f ( x) ? g ( x) 在[0,1]上不恒成立.

f ( x )? g x ( ? )

1 x3 ? ?1ax ? ? x 2 c xo s 1? x 2

?

?x x3 ? ax ? ? 2 x cos x 1? x 2 1 x2 ? ? x( ? a ? ? 2 cos x) 1? x 2

记I( x) ?

1 x2 1 ? a ? ? 2 cos x = ? a ? G ( x), 则 1? x 2 1+x ?1 I 1 ( x) ? ? G1 ( x), 当x ? (0,1 )时,I 1 ( x) <0,故 I ( x ) 上试减函数,于是 I ( x ) 在[0,1]上的值域 2 (1 ? x)

为[a+1+2cos 1,a+3]. 因为当 a>-3 时,a+3>0,所以存在 x0 ? (0,1) ,使得 I ( x0 ) >0,此时 f ( x0 ) <g ( x0 ) 即 f ( x) ? g ( x) 在[0,1] 上不恒成立. 综上,实数 a 的取值范围是 ( ??, ? 3? .

(解法二)先证当 x?[0,1]时, 1 ?

1 2 1 x ? cos x ? 1 ? x 2 . 2 4

1 2 x , 则F 1 ( x) ? ? sin x ? x 2 记 G( x) ? ? sin x ? x, 则G1 ( x) ? cos x ? 1,当x ? (0,1)时,G1 ( x) >0 ,于是 G ( x) 在[0,1]上试增函数, 记F ( x) ? cos x ? 1 ?
因此当 x?(0,1)时,G(x)>G(0)=0,从而 F(x)在[0,1]上是增函数,因此 F(x)≥F(0)=0,所以 当 x?[0,1]时, 1 ?

1 2 x ? cos x 2 1 2 x 4

cos x ? 1 ? 同理可证,当 x ? [0,1]时,
所以 x ? [0,1]时,1 ? 因为当 x?[0,1]时,
x f ( x)? g ( x) ? (? 1 x?2) e ?

1 2 1 x ? cos x ? 1 ? x 2 . 2 4
x3 ( a? x 2 ? 1 ? 2x c o x s )

9

? ( 1? x ) ? ax ?

? ?(a ? 3 x ). 所以当 a≤-3 时, f ( x) ? g ( x) 在[0,1]上不恒成立.因为
x f ( x)? g ( x) ? (? 1 x?2) e ?

x3 1 ? ? 1 x2 ?( 1 x 2 2 4

)

x3 ( a? x 2

? 1 ? 2x c o x s )

1 x3 1 ? 1 ? ax ? ? 2 x(1 ? x 2 ) 1? x 2 2 2 2 x x ? ? ? (a ? 3) x 1? x 2 3 2 ? x[ x ? (a ? 3)] 2 3 ?
所以存在 x0 ? (0,1) (例如 x0取

a?3 1 和 中的较小值)满足 f ( x0 ) <g ( x0 ) ,即 f ( x) ? g ( x) 在 [0,1] 3 2

上不恒成立. 综上,实数 a 的取值范围是 (??, ?3]

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。 作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。
22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, AB为? O直径,直线CD与 ? O相切于E. AD垂直于CD于D, BC 垂直于 CD 于

C,EF ,垂直于 F ,连接 AE , BE 。证明:
(I) ?FEB ? ?CEB; (II) EF ? AD?BC.
2

证明:由直线 CD 与⊙O 相切,得 ?CEB ? ?EAB.

由AB为 ? O的直径,得AE ? EB, 从而?EAB +?EBF = ; 2 又EF ? AB, 得?FEB ? ?EBF ?

?

?

故 ? FEB= ? CEB. (II) 由BC ? CE, EF ? AB, ?FEB ? ?CEB, BE是公共边,

2

, 从而?FEB =?EAB.

得Rt ?BCE≌Rt ?BFE , 所以BC ? BF . 类似可证Rt ?ADE≌Rt ?AFE , 得AD ? AF

10

又在Rt ?AEB中,EF ? AB, 故EF 2 =AF ? BF , 所以 EF 2 ? AD ? BC.
23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆 C1 ,直线 C2 的极坐标方程 分别为 ? ? 4sin ? , ? ? cos ? ? ?

? ?

??

? ? 2 2. . 4?

(I)求 C1 与 C2 交点的极坐标; (II)设 P 为 C1 的圆心, Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点。已知直线 PQ 的参数方程为

?x ? t3 ? a ? ? b 3 ? t ? R为参数 ? ,求 a, b 的值。 ? y ? t ?1 ? 2
圆 C 1 的直角坐标方程为 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4, 直线 C 2 的直角坐标方程为 x+y-4=0.

? x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 解? ?x ? y ? 4 ? 0

? x1 ? 0, 得? ? y1 ? 4,

? x2 ? 2. ? ? y2 ? 2.

(4, ) 所以 C1与C2 交点的极坐标为 , (2 2, 2

?

?
4

).

注:极坐标系下点的表示不唯一. 由(I)可得,P 点与 Q 点的直角坐标分别为(0,2) , (1,3). 故直线 PQ 的直角坐标方程为 x-y+2=0. 由参数方程可得 y=

b ab x ? ? 1. 2 2
解得 a ? ?1, b ? 2

?b ? 1, ? ?2 所以 ? ? ? ab ? 1 ? 2, ? ? 2

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

已知函数 f ? x ? ? x ? a ,其中 a ? 1 。

(I)当 a =2 时,求不等式 f ? x ? ? 4 ? x ? 4 的解集; (II)已知关于 x 的不等式 f ? 2 x ? a ? ? 2 f ? x ? ? 2 的解集为 ? x |1 ? x ? 2? ,求 a 的值。

?

?

? ?2 x ? 6, x ? 2, ? 解: (I)当 a=2 时, f ( x) ? x ? 4 ? ?2, 2<x<4, ? 2 x ? 6, x ? 4. ? 当 x ? 2时,由f ( x) ? 4 ? x ? 4 得-2x+6 ? 4,解得x ? 1;
当2<x<4时,f ( x) ? 4 ? x ? 4 无解; 当x ? 4时,由f ( x) ? 4 ? x ? 4 得2 x ? 6 ? 4, 解得x ? 5;

所以f ( x) ? 4 ? x ? 4 的解集为 ? x x ? 1或 x ? 5? .

11

??2a, x ? 0, ? (II)记 h( x) ? f (2 x ? a ) ? 2 f ( x), 则h( x) ? ?4 x ? 2a, 0<x<a, ?2a, x ? a. ?

由 h( x) ? 2, 解得

a ?1 a ?1 ?x? . 2 2 又已知 h( x) ? 2的解集为? x 1 ? x ? 2? ,

? a ?1 ? 1, ? ? 2 所以 ? ? a ? 1 ? 2, ? ? 2 于是 a ? 3 。

12


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