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《正弦函数、余弦函数的性质》教学设计


《正弦函数、余弦函数的性质》教学设计
一、教材分析 1. 教材的内容和地位 《正弦函数、余弦函数的性质》是人教 A 版数学必修 4 的第一章三角函数的内容,是学 习了正弦函数、余弦函数的定义和图像之后,进一步学习正弦函数、余弦函数的性质。该内容 共两课时,这里讲的是第一课时,主要是探究正弦、余弦函数的定义域、值域(最值)和周期 性,而对奇偶性、对称性和单调性的探究则放在

第二节课。正弦函数、余弦函数的图象和性质 是三角函数里的重要内容,也是高考热点考察的内容之一。本节课的学习过程中,数形结合的 思想方法贯穿了本节内容的始终, 利用图像研究性质,反过来再根据性质进一步地认识函数的 图象,充分体现了数形结合的数学思想方法。 2. 教学目标 根据《新课标》的具体要求,结合学生现有的认知水平,确定教学目标如下: (1)知识与技能:通过观察正弦、余弦函数图像得到正弦函数、余弦函数的性质,并灵活应 用性质解题; (2)过程与方法:培养学生分析、探索、类比和数形结合等数学思想方法在解决问题中的应 用能力,培养学生自主探究的能力,深化研究函数性质的思想方法; (3)情感、态度与价值观:让学生亲身经历数学的研究过程,感受数学的魅力。 3. 教学重点和难点 重点:通过观察正弦、余弦函数的图像研究正弦、余弦函数的性质; 难点:周期函数、最小正周期的意义。 二、学情分析 本课之前,学生已经学习了《必修一》 ,学习了函数的性质和研究函数的一般方法,学习 了正弦函数、余弦函数的概念、图像以及诱导公式,这些都为本节课的学习打好了基础。函数 的定义域、 (最值)值域、奇偶性、单调性等性质,学生类比指数函数、对数函数、幂函数的 研究方法不难由观察图像得出结论,但对于函数的周期性,学生是第一次接触,对概念的理解 可能会有困难。 三、 教法学法分析

1. 教法分析 本节课以学生为主体,教师引导学生通过观察正弦函数图像,自主探究,总结规律,再类

比正弦函数得到余弦函数的相应结论,并能应用规律分析问题,解决问题。在教学中以引导启 发为主,在学生观察比较的基础上,师生以问答形式共同研究探讨,让学生经历知识再发现、 再创造的过程。 2. 学法分析 教师的“教”不仅要让学生“学会知识”,更重要的是要让学生“学会方法”,而正确的学法指 导是培养学生这种能力的关键。 本节教学中通过观察函数图象, 充分调动学生已有的学习经验, 发现新的知识,把学生的潜意识状态的好奇心变为自觉求知的创新意识。 四、教学过程分析 这节课的流程主要分为五个阶段:复习回顾;探究正弦函数的定义域、值域(最值) ;探 究正弦函数的周期性;探究余弦函数的性质;巩固练习。 (一) 、复习回顾,引入新知 师:回顾前面学习函数时,是如何研究它的性质?研究它的哪些性质? 生: (预计)先画图,通过观察图象得性质,主要研究函数的定义域、值域、最值、单调 性、奇偶性、对称性、定点等 师:本节课我们只研究前三个问题,对其它性质的研究放在下节课。 PPT 展示画正弦函数图像 【设计意图】 :通过复习,建立新旧知识间的联系,为通过观察函数图象研究函数性质做 好准备,让学生对周期性有个直观的印象,为周期性的出现做好铺垫。

(二) 、探究正弦函数的定义域、值域(最值) 师:观察正弦函数的图象,填写下表(学生回答,相互补充,师生一问一答间得出结论)

例1:求下列函数的最大值和最小值,并求出取最大值和最小值时x的集合. (1) y ? sin x ? 1, x ? R; (2) y ? ?3sin 2 x, x ? R.
【设计意图】 :通过观察函数图像,结合已有知识和方法,学生自己归纳总结正弦函数的 性质,培养学生自主探究、研究问题、解决问题的能力。

(三) 、探究正弦函数的周期性 师:从正弦函数的作图过程中,我们发现正弦函数值具有“周而复始”的变化规律,这个规 律是之前所学函数不具有的,我们用“周期性”来刻画这一规律。观察正弦函数的图象,发现将

正弦函数图象向左或向右平移 2π 个单位,图象保持不变,向左或向右平移 4π 个单位,图象也 不变 (给出周期函数、周期的定义) 周期函数定义:一般地,对于函数 f(x),如果存在一个非零常数T,使得当 x 取定义域内 的每一个值时,都有 f(x+T)=f(x),那么函数 f(x)就叫做周期函数。非零常数 T 叫做这个函数 的周期. 师:正弦函数的周期是多少?(2kπ(k∈Z 且 k≠0)) 师:概念中有哪些关键词? (辨析概念)
? ? ? ? 思考:等式 sin( ? ) ? sin 是否成立?如果成立,能不能说 是 y=sinx 的周期? 4 2 4 2

判断下列说法是否正确:

2? 2? (1) x ? ? 时, sin( x ? ) ? sin x , 则 3 一定不是 y ? sin x 的周期 ; ( 3

(3)若 T(T≠0)是 f(x) 的周期,则 kT(k∈ Z且 k≠0)一定是 f(x) 的周期; (
【设计意图】 :引导学生关注定义中的关键词,从而加深对数学概念的理解. 例 2:求下列函数的周期: (1) y=3sinx(x∈R); (2)y=sin2x(x∈R);
1 ? (2)y=2sin ( x ? ) ; (x∈R) 2 6

x3 x x (2)由诱导公式 sin( ? 2?) ? sin ,所以 y ? sin 的周期为 2π; ( 3 3 3

) )



变式练习: y ? A sin(?x ? ?)( A ? 0, ? ? 0)( x ? R) 结论: y ? A sin(?x ? ?),( A ? 0, ? ? 0)的周期是T ?

2? ?

【设计意图】 :进一步加深对周期函数和周期的理解。

(四)、探究余弦函数的性质 PPT 展示正弦函数的性质(表格形式) 师:请画出余弦函数的图像,类比正弦函数的性质,试探究余弦函数的相关性质。 (学生活动:学生合作学习,得到余弦函数性质,完成表格)

(五)、巩固练习:

1.求下列函数的周期
x (2) y ? 3cos , x ? R; 4 ? 1 ? (3) y ? sin(?2 x ? ), x ? R; (4) y ? 3 cos( ? x ? ), x ? R. 10 2 4 (1) y ? sin 3 x, x ? R;

2.已知函数 y ? f ( x ) 的周期是 3,且当 x ? [0, 3] 时, f ( x ) ? x 2 ? 1 . (1)求 f (1), f (5), f (16); (2)求当 x ? [3, 6] 时得解析式

(六) 、总结回顾,提出课后思考 以问题的形式:本节课主要学习了哪些知识?让学生自己概括出所学内容。 正弦函数、余弦函数性质,周期函数、周期、最小正周期概念 【设计意图】 :通过小结,深化学生知识理解、完善学生认知结构。 拓展思考: 1.是不是只有三角函数是周期函数呢?你还能找出其他的周期函数吗? 2.周期函数一定存在最小正周期吗?

?1, 当x是有理数, 3.函数D( x ) ? ? 是周期函数吗 ? ? 0, 当x是无理数.
作业: P46 习题 1.4 A 组 3, 10 B 组 1, 3


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