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2015-2016学年高中数学 2.2.1椭圆的参数方程练习 新人教A版选修4-4


2015-2016 学年高中数学 2.2.1 椭圆的参数方程练习 新人教 A 版选 修 4-4
?预习梳理 1.平面上点 P 到定点 F1、F2 距离之和等于|F1F2|,则点 P 的轨迹是____________;到定 点 F1、 F2 距离之和大于|F1F2|, 则点 P 的轨迹是__________; 到定点 F1、 F2 距离之和小于|F1F2|, 则点 P 的

轨迹________. 2.椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的参数方程为________________________(θ 为参数).规 定 θ 的范围为 θ ∈[0,2π ).这是中心在________、焦点在________上的椭圆参数方程. ?预习思考 椭圆 + =1 的参数方程为 9 4 ______________________________., 预习梳理 1.线段 F1F2 2.? 椭圆 不存在 原点 O x 轴

x2 y2 a b

x2 y2

?x=acos θ , ? ? ?y=bsin θ

预习思考
? ?x=3cos θ , ? (θ 为参数) ?y=2sin θ ?

一 层 练 习
?x=acos θ , ? ?y=bsin θ ?

1.椭圆? θ =( A.π C.2π )

(θ 为参数),若 θ ∈[0,2π ),则椭圆上的点(-a,0)对应的

π B. 2 3π D. 2
1

1.A 2.椭圆?
?x=4+2cos θ , ? ? ?y=1+5sin θ

(θ 为参数)的焦距为(

)

A. 21 B.2 21 C. 29 D.2 29 2.B 3.当参数 θ 变化时,动点 P(2cos θ ,3sin θ )所确定的曲线必过( A.点(2,3) C.点(1,3) 3.B 4.二次曲线? 4.(-4,0) 5.点 P(x,y)在椭圆 4x +y =4 上,则 x+y 的最大值为______,最小值为________. 5. 5 - 5
2 2

)

B.点(2,0)

? π? D.点?0, ? 2? ?

? ?x=5cos θ , ?y=3sin θ ?

(θ 为参数)的左焦点的坐标是________.

二 层 练 习
? ?x=4cos θ , ?y=6sin θ ?

6.点(2,3 3)对应曲线?

(θ 为参数)中参数 θ 的值为(

)

π π A.kπ + (k∈Z) B.kπ + (k∈Z) 6 3 π C.2kπ + (k∈Z) 6 6.D 7.设 O 是椭圆? 直线 OP 的斜率为( A. 3 3 B. 3
?x=3cos φ , ? ?y=2sin φ ?

π D.2kπ + (k∈Z) 3

π (φ 为参数)的中心,P 是椭圆上对应于φ = 的点,那么 6

) 3 3 C. 2 2 3 D. 9

7.D 8.椭圆 + =1 的点到直线 x+2y-4=0 的距离的最小值为( 9 4

x2 y2

)

2

A.

5 5

B. 5

6 5 C. 5

D.0

8.A 9.曲线? ________. 9.8 三 层 练 习
?x=t, ? ?x=3cos φ , ? ? ?y=2sin φ

?x=4cos θ , (θ 为参数)上一点 P 到点 A(-2,0),B(2,0)的距离之和为 ?y=2 3sin θ

10.在平面直角坐标系 xOy 中,若 l:?

? ?y=t-a

(t 为参数)过椭圆 C:?



为参数)的右顶点,则常数 a 的值为________. 10.3 11.直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1:?
? ?x=t+1, ?y=1-2t ?

(t 为参数)与曲线 C2:?

? ?x=asin θ , ?y=3cos θ ?

(θ 为参数,a>0)有一个公共点在 x 轴上,则 a=________. 3 11. 2 12.在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的参数方程为?
?x=acos φ , ? ?y=bsin φ ?

(φ 为参数,a>b>0).在

极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位, 且以原点 O 为极点, 以 x 轴正半轴为极轴) π? 2 ? 中,直线 l 与圆 O 的极坐标方程分别为 ρ sin?θ + ?= m(m 为非零常数)与 ρ =b.若直 4 2 ? ? 线 l 经过椭圆 C 的焦点,且与圆 O 相切,则椭圆 C 的离心率为________. 12. 6 3

13 .在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x - y + 4 = 0 ,曲线 C 的参数方程为

?x= 3 cos α , (α 为参数). ? ?y=sin α
(1)已知在极坐标(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位, 且以原点 O 为极点, 以 x 轴正

? π? 半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为?4, ?,判断点 P 与直线 l 的位置关系; 2? ?

(2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值.
3

? π? 13.解析:(1)把极坐标系下的点 P?4, ?化为直角坐标,得 P(0,4). 2? ?
因为点 P 的直角坐标(0,4)满足直线 l 的方程 x-y+4=0,所以点 P 在直线 l 上. (2)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 的坐标为( 3cos α ,sin α ), 从而点 Q 到直线 l 的距离 | 3cos α -sin α +4| 2 π? ? 2cos?α + ?+4 6? ? 2 π? ? = 2cos ?α + ? + 2 2. 由此得,当 6? ?

d=



π? ? cos ?α + ?=-1 时,d 取得最小值,且最小值为 2. 6? ? 14.(2014·辽宁卷)将圆 x +y =1 上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C. (1)写出 C 的参数方程; (2)设直线 l:2x+y-2=0 与 C 的交点为 P1,P2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系,求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程. 14.解析:(1)设(x1,y1)为圆上的点,经变换为 C 上点(x,y),依题意,得? 2 ?y? 2 2 x2 1+y1=1 得 x +? ? =1, 2
? ?x=x1,
2 2

?y=2y1, ?



? ?

即曲线 C 的方程为 x + =1. 4 故 C 的参数方程为?
2

2

y2

? ?x=cos

t, t

?y=2sin ?

(t 为参数).

y ? ?x=1, ? ?x=0, ?x2+ =1, ? 4 (2)由? 解得? 或? ? ? ?y=0 ?y=2. ? ?2x+y-2=0
1 ?1 ? 不妨设 P1(1,0),P2(0,2),则线段 P1P2 的中点坐标为? ,1?,所求直线斜率为 k= , 2 ?2 ? 1? 1? 于是所求直线方程为 y-1= ?x- ?, 2? 2? 3 化为极坐标方程并整理得 2ρ cos θ -4ρ sin θ =-3,即 ρ = . 4sin θ -2cos θ

4

x2 y2 1.对椭圆的普通方程 2+ 2 = 1(a>b> 0)(焦点在 x 轴上)在解题时可利用参数方程 a b
?x=acos φ , ? ? (φ 为参数)来寻求解决方案. ? ?y=bsin φ

2.可利用椭圆的参数方程来解决最值、有关轨迹等问题. 3.要针对解题时的不同情况合理选择椭圆的方程形式.

5


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