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安徽省太湖中学2016届高三复读班第一次月考数学理试题


太湖中学 2016 届复读班第一次月考数学(理)试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给同的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.
1、已知集合 A ? x x ? 0 ,且 A ? B ? A ,则集合 B 不可能是 A、 ? B、 x x ? 0
2

?

?

/>(



?

?

C、 ??2?

D、 x x ? 1

?

?

2、设全集 U 是实数集 R,M={x|x >4},N={x|1<x<3},则图中阴影部分表示的集合是 A、{x|-2≤x<1} B、{x|1<x≤2} C、{x|-2≤x≤2} D、{x|x<2}

3 、 设 A 、 B 是 两 个 非 空 集 合 , 定 义 A ? B ? {x | x ? A ? B 且 x ? A ? B} , 已 知

A ? {x | y ? 2 x ? x } , B ? {y | y ? 2 , x ? 0},则 A ? B ?
A、 [0,1] ? (2, ??) B、 [0,1) ? (2, ??) C、 [0,1] D、 [0, 2]

2

x





4、已知命题 p : ?x ? R, ax2 ? ax ? 1 ? 0 ,使得命题 p 为真命题的一个充分不必要条件是 A、 a ? ?1 B、 a ? 2 C、 a ? 4 D、 a ? 6 2 2 5、原命题:“设 a、b、c∈R,若 ac >bc ,则 a>b”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题 共有 A、3 个 B、2 个 C、1 个 D、0 个 ( )

6、设 f ( x ) , g ( x) 是定义在 R 上的函数, h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,则“ f ( x ) , g ( x) 均为偶 函数”是“ h( x) 为偶函数”的 A、充要条件 C、必要而不充分的条件 7、已知函数 f ( x) ? ? A、 ?2 B、充分而不必要的条件 D、既不充分也不必要的条件 ( )

? x+1, ?

x ? 0,

? ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0 B、2 C、 1

,则 f (3) 的值等于 D、-1





8、若非空集合 A, B, C 满足 A ? B ? C ,且 B 不是 A 的子集,则 A、 “ x ? C ”是“ x ? A ”的必要条件但不是充分条件 B、 “ x ? C ”是“ x ? A ”的充分条件但不是必要条件 C、 “ x ? C ”是“ x ? A ”的充要条件 D、 “ x ? C ”既不是“ x ? A ”的充分条件也不是“ x ? A ”必要条件

(

)

1] 上单调递增,设 a ? f (3) , 9、定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x) , 且在 [0,

b ? f ( 2 ) , c ? f (2) ,则 a, b, c 大小关系是
A、 b ? c ? a B、 a ? c ? b C、 a ? b ? c

( D、 c ? b ? a

)

10、 给定 k ? N ? ,设函数 f : N? ? N? 满足: 对于任意大于 k 的正整数 n , f (n) ? n ? k . 设 k ? 3 ,且当 n ? 3 时, 1 ? f (n) ? 3 ,则不同的函数 f 的个数是 A、27 11、对于函数 B、16 C、9 D、1 ( )

f ( x) ?

(n ? N *,且n ? 2) ,令集合 M ? ? x f 2015 ( x) ? - x, x ? R? ,则集合 M 为
A、空集 B、实数集 C、单元素集

x ?1 ,设 f 2 ( x) ? f [ f ( x)], f 3 ( x) ? f [ f 2 ( x)], ?? , f n ?1 ( x) ? f [ f n ( x)] x ?1
( )

D、二元素集

12、若函数 f ( x ) 为定义域 D 上的单调函数,且存在区间 [a, b] ? D (其中 a ? b ) ,使得当

x ? [ a, b] , f ( x ) 的 取 值 范 围 恰 为 [ a , b ] , 则 称 函 数 f ( x ) 是 D 上 的 正 函 数 。 若 函 数

g ( x) ? x2 ? m 是 (??, 0) 上的正函数,则实数 m 的取值范围为
5 A、 ( ? , -1) 4 5 3 B、 (? , - ) 4 4 3 C、 ( ?1, - ) 4





3 D、 (? , 0) 4

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.
13、若函数 f(x)=x +3x 对任意的 m∈[-2,2],f(mx-2)+f(x)<0 恒成立,则 x∈ ________. 14、满足 ?0,1, 2?
3

A ? {0,1, 2,3, 4,5} 的集合 A 的个数是_______个.

15、已知函数 f ( x ) 为 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x( x ? 1) .若 f (a) ? ?2 ,则实数

a?

.

16、已知 f ( x) ? ?

?(3a ?1) x ? 4 a, x ? 1 是 R 上的减函数,那么 a 的取值范围是 x ?1 ?log a x ,

.

太湖中学 2016 届复读班第一次月考数学(理)试卷 答题卡
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给同的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 题号 答案 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13、 ; 14、 ; 15、 ; 16、 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17、 (本小题满分 12 分) 1 x- ?是偶函数. 已知二次函数 y=f(x)=x2+bx+c 的图象过点(1,13),且函数 y=f? ? 2? (1)求 f(x)的解析式; (2)已知 t<2,g(x)=[f(x)-x2-13]· |x|,求函数 g(x)在[t,2]上的最大值和最小值.

18、 (本小题满分 12 分) 已知命题 p : f ( x) ? x2 ? ax ? 1在 ??1,1? 上不具有单调性; 命题 q : ?x0 ? R ,使得 x02 ? 2ax0 ? 4a ? 0 . (1)若 p ? q 为真,求 a 的范围; (2)若 p ? q 为真,求 a 的范围.

19、 (本小题满分 12 分) 函数 f ( x ) ? 2 x ?

a 的定义域为 ( 0 , 1 ] ( a 为实数). x

(1)当 a ? 1 时,求函数 y ? f ( x ) 的值域; (2)若函数 y ? f ( x ) 在定义域上是减函数,求 a 的取值范围.

20、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) 的定义域是(0,+∞),且满足 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) , f ( ) ? 1 ,如果对于

1 2

0 ? x ? y ,都有 f ( x) ? f ( y ) .
(1)求 f (1) 的值; (2)解不等式 f (? x) ? f (3 ? x) ? ?2 .

21、 (本小题满分 12 分) 对定义在 [0, 1] 上,并且同时满足以下两个条件的函数 f ( x ) 称为 G 函数. ① 对任意的 x ? [0, 1] ,总有 f ( x) ? 0 ; ② 当 x1 ? 0 , x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 1 时,总有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立.
2 x 已知函数 g ( x) ? x 与 h( x) ? 2 ? b 是定义在 [0, 1] 上的函数.

(1)试问函数 g ( x) 是否为 G 函数?并说明理由; (2)若函数 h( x) 是 G 函数,求实数 b 组成的集合.

22、 (本小题满分 10 分) 1 已知函数 f(x)对任意的实数满足:f(x+3)=- ,且当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2)2, f?x? 当-1≤x<3 时,f(x)=x. (1)求 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2 014); 1? (2)确定 y=f(x)的图象与 y=lg? ?x?的图象的交点个数.

太湖中学 2016 届复读班第一次月考数学(理)试卷 参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给同的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 题 号 答 案 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13 、
1 1 ?a? 7 3

1 D

2 B

3 A

4 B

5 C

6 B

7 D

8 A

9 0 C

1 1 A

1 2 D

1 C

?-2,2? 3? ? ;



14 、

7

; 15 、

-1

; 16 、

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17、 (本小题满分 12 分) 1? 2 解:(1)因为函数 y=f? ?x-2?是偶函数,所以二次函数 f(x)=x +bx+c 的对称轴方程为 x 1 =- ,故 b=1.又因为二次函数 f(x)=x2+bx+c 的图象过点(1,13),所以 1+b+c=13,故 c 2 =11,因此,f(x)的解析式为 f(x)=x2+x+11. (2)g(x)=(x-2)· |x|,当 x≤0 时,g(x)=-(x-1)2+1,当 x>0 时,g(x)=(x-1)2-1, 由此可知 g(x)max=0,当 1≤t<2,g(x)min=t2-2t; 当 1- 2≤t<1,g(x)min=-1; 当 t<1- 2,g(x)min=-t2+2t.

18、 (本小题满分 12 分)

解:命题 p 为真时:对称抽 x ?
记集合 A ? a ?2 ? a ? 2

a a 有 ? 1 ? ? 1 ? ?2 ? a ? 2 ; 2 2

?

?

2 命题 q 为真时: ? ? 4a ? 16a ? 0 ? a ? 4 或 a ? 0 ,记集合 B ? a a ? 4或a ? 0

?

?

……………4 分

(1)若 p ? q 为真 ? A ? B ? a ?2 ? a ? 2 ? a a ? 4或a ? 0 ? a ?2 ? a ? 0

?

? ?

? ?

?

……………8 分 (2)若 p ? q 为真 ? A ? B ? a ?2 ? a ? 2 ? a a ? 4或a ? 0 ? a a ? 2或a ? 4 …………12 分 19、 (本小题满分 12 分)

?

? ?

? ?

?

(-?, 1] 解: (1)由单调性知函数 y ? f ( x ) 的值域是

…………5 分

( 2 )若函数 y ? f ( x ) 在定义域上是减函数,则任取 x1 , x 2

? ( 0.1] 且 x1 ? x2 都有

)?0 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 成立, 即 ( x1 ? x2 )(2 ? x a 1 x2
只要 a ? ?2 x1 x 2 即可, 由 x1 , x 2 ? ( 0.1] ,故 ?2 x1 x 2 ? ( ?2,0) ,所以 a ? ?2 , 故 a 的取值范围是 ( ?? ,?2] . 20、 (本小题满分 12 分) 解:(1)令 x=y=1, 则 f(1)=f(1)+f(1),f(1)=0. ……4 分 (2)由题意知 f(x)为(0,+∞)上的减函数, 且 ∴x<0, …………12 分

∵f(xy)=f(x)+f(y),x、y∈(0,+∞) 且 f ∴f(-x)+f(3-x)≥-2, 可化为 f(-x)+ f(3-x)≥-2f ,

=1.

f(-x)+f

+f(3 -x)+f

≥0=f(1),

f

+f

≥f(1),f

≥f(1),

则 ……12 分

解得-1≤x<0. ∴不等式的解集为[-1,0). 21、 (本小题满分 12 分)
2

解: (1)当 x ??0,1? 时,总有 g( x ) ? x ? 0 ,满足①, 当 x1 ? 0 , x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 1 时,

g(x1 ? x2 ) ? (x1 ? x 2 )2 ? x12 ? x 22 ? 2x1x 2 ? x12 ? x 22 ? g(x1 ) ? g(x 2 ) ,满足②
所以函数 g ( x) 为 G 函数. (2) h( x) ? 2x ? b ……6 分

( x ?[0,1]) 为增函数, h( x ) ? h(0) ? 1 ? b ? 0
x1 ? x 2

?b ?1

由 h( x1 ? x 2 ) ? h( x1 ) ? h( x 2 ) ,得 2 即 b ? 1 ? (2 1 ?1)(2 1 ?1)
x x

? b ? 2x1 ? b ? 2x 2 ? b ,

因为 x1 ? 0 , x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 1 所以 0 ? 2 1 ? 1 ? 1
x

0 ? 2x 2 ? 1 ? 1

x1 与 x 2 不同时等于 1
?0 ? 1 ? (2x1 ?1)(2x1 ?1) ? 1

?0 ? (2x1 ?1)(2x1 ?1) ? 1 ;

x x 当 x1 ? x 2 ? 0 时, (1 ? (2 1 ?1)(2 1 ?1))max ? 1 ; ? b ? 1

综合上述: b ? {1}

……12 分

22、 (本小题满分 10 分) 1 (1)∵对任意 x∈R,都有 f(x+3)=- , f?x? ∴f(x+6)=f(x+3+3) 1 1 =- =- =f(x), 1 f?x+3? - f?x? ∴f(x)是以 6 为周期的周期函数, ∵当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2)2, 当-1≤x<3 时,f(x)=x, ∴f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1, f(4)=f(-2)=0, f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0. ∴f(1)+f(2)+?+f(6)=1, ∴f(1)+f(2)+?+f(6)=f(7)+f(8)+?+f(12)=?=f(2 005)+f(2 006)+?+f(2 010)= 1, 2 010 ∴f(1)+f(2)+?+f(2 010)=1× =335, 6 而 f(2 011)+f(2 012)+f(2 014)+f(2 014)= f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1+2-1+0=2,

∴f(1)+f(2)+?+f(2 014)=335+2=337. 1? 1 (2)y=lg? ?x?=lg|x|=-lg|x|,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)且为偶函数,在同一坐标系 1? 中作出函数 y=f(x)及 y=lg? ?x?的大致图象如图所示.

1? 因此结合图象知函数 y=f(x)与 y=lg? ?x?的图象的交点共有 10 个.


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