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2005年全国高中数学联赛河南省预赛试卷


2005 年全国高中数学联赛河南省预赛试卷 高中一年级
(2005 年 5 月 15 日上午 8:30---11:00) 考生注意:本试卷共六道大题, 考生注意:本试卷共六道大题,满分 140 分. 选择题:本题满分 30 分,每小题 5 分.本大题共有六个小题,每小题后面给出了 一、选择题 A、B、C、D 四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后

括 号内,选对一个得 5 分,错选、漏选或多选,一律得零分. 1.条件 p : x + 1 > 2 ,条件 q :

1 > 1 ,则 ?p 是 ?q 的 3? x





A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2.一个正整数数表如下(表中下一行 1 第一行 中数的个数是上一行中数的个数的 2 倍),则 2 3 第二行 第 8 行中的第五个数是( ) 4 5 6 7 第三行 A.68 B.132 第四行 …………… C.133 D.260 3.若不等式 ax + bx + 4 >0 的解集为 {x | ?2 <x<1},则二次函数 y = bx 2 + 4 x + a 在
2

区间[0, 3]上的最大值,最小值分别为( ) A.0, -8 B.0, -4 C.4, 0 4.

D.8,

0

f (x) 是定义在区间[-4, 4]的奇函数,如图, 令 g ( x) = af ( x) + b, 则下列关于

g (x ) 的叙述正确的是( ) A.若 a <0,则函数 g (x ) 的图象关于原点对称 B.若 a =-1,-2<b<0,则方程 g (x ) =0 有大于 2 的实数根 C.若 a ≠0,b=2,则方程 g (x ) =0 有 2 个实数根 D.若 a ≥1,b<0,则方程 g (x ) =0 有 3 个实数根
y 2 -2 O -2 5.在ΔABC 中,设 x = cos A + cos B + cos C , y = sin y 的大小关系是( ) A.x =y B.x≥y 2 x

A B C + sin + sin , 则 x , 2 2 2

C.x ≤y

D.不能确定
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2004 年河南省预赛高一数学竞赛试卷

6.甲、乙、丙三人练习传球,设传球 n 次,球从甲手中传出,第 n 次仍传给甲,共 有 an 种不同的传球方法,则数列{an}的通项公式为( ) A.an=

1 n 2 ?2 + . 3 3 1 n 2 ? 2 + (?1) n ? . 3 3

B.an=

1 n 2 ?2 ? . 3 3

C.an=

D.不能确定

二、填空题:本题满分 30 分,每小题 5 分.本题要求直接把结果写在横线上. 1. 若 log4(x+2y)+log4(x-2y)=1,则 |

x | ? | y | 的最小值是____________.


2.函数 f(x)= x2-tx+2 在[1,2]上有反函数,则 t 的一切可取值的范围是

a1 = 2, ? ? 1 + an?1 3.数列{an}中, ?a = (n ≥ 2), 则 a2005 的值为____________. n ? 1 ? an?1 ?
4.设 θ

? π? ∈ ?0, ?, 且 cos 2 θ + 2m cos θ ? 2m ? 2 <0 恒成立,则 m 的取值范 ? 2?

围是____________. 5.在正奇数非减数列{1,3,3,3,5,5,5,5,5,…}中,每个正奇数 k 出现 k 次,已知有整数 b、c、d 存在,对所有的整数 n 满足 an=b [ n + c ]+d,其中[x]表示不超 过 x 的最大整数. 则 b+ c +d 等于____________. 6.若集合 M 满足下列性质的函数

f (x) 的全体,存在非零常数 T,对任意的 x∈R,有
k 的取值范围是

f ( x + T ) = Tf ( x) 成 立 . 若 函 数 f (x) = sin kx ∈ M , 则 实 数
____________. 三、 (本题满分 20 分) 设函数

f (x)

的 定 义 域 是 (0, + ∞ ), 且 对 任 意 的 正 实 数 x, y 都 有

f ( xy) = f ( x) + f ( y ) 恒成立,已知 f (2) = 1, 且 x>1 时, f (x) >0.
(1)求

1 f ( ) 的值; 2
2004 年河南省预赛高一数学竞赛试卷 第 2 页 共 4 页

(2)判断 y=

f (x) 在(0, +∞)上的单调性;

(3)一个各项均为正数的数列{an},满足 sn 是数列{an}的前 n 项和,求 sn 和 an.

f ( sn ) = f (an ) + f (an +1 ) ? 1 (n∈N ),其中
*

四、 (本题满分 20 分) 已 知 锐 角 x= tan α , y

α

,

sin β = m cos(α + β ) ? sin α (m > 0, α + β ≠ π ), 2



= tan β . = f (x) 的表达式;

(1) 求 y

(2)当 α ∈ ?

?π π ? , 时, 求函数 y 的最大值. ?4 2? ?

2004 年河南省预赛高一数学竞赛试卷

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五、 (本题满分 20 分) △ABC 为⊙O 内接三角形,AB>AC>BC. 点D在弧BC上, O 点分别作 AB、AC 的 从 垂线交 AD 于 E、F,射线 BE、CF 交于 P 点,若 PB = PC + PO, ∠BAC = 30 . 则

六、 (本题满分 20 分) 设 a, b 为常数,

M = { f ( x) | f ( x) = a cos x + b sin x
+ b sin x.

} ,F:把平面上任意

一点(a, b)映射为函数 a cos x

(1)证明:不存在两个不同的点对应于同一个函数; (2)证明:当 f 0 ( x) ∈ M时,f1 ( x)

= f(x + t) M,t为常数; ∈

(3)设定值 f 0 ( x) ∈ M时, 1= f 0 ( x + t ), t ∈R,在映射 F 的作用下,M1 作为 M 象,求其原象,并说明它是什么图象?

2004 年河南省预赛高一数学竞赛试卷

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