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用解析法巧解三角形


2 0 1 0年 第 8期 

中 学数 学研 究 

2 9  

用 解 析 法 巧 解 三 角 形 
广东省澄 海 中学( 5 1 5 8 0 0 )   陈东生  蔡玲玲 
我们所熟知的解三角形重要工具余弦定理 : 在 
AA B C中 , a  :b  +C  一 b c c o s A . 高 中数学 老教 材里 ,   该 定理 的证 法如下 :   证明: 如图 1 , 建 立 平 面 

晰, 解题过程简洁. 下面例说解析法在解三角形中的  另外 三类 典 型应用.   1   求 顶点 坐标 , 解各 要素 
通 过建 立直 角坐 标 系 , 求 解 三角 形 三 个顶 点 的 

直角坐标系, 则得 ( 0 , 0 ) ,r  ‘ l   B ( c , 0 ) , 由三角函数的定义   \  
知C ( b c o s A, b s i n A ) . 由两点距 
离公 式 得


坐标, 便能快捷解得该三角形的各个要素.   例1  ( 0 4 全国) 在三角形A B C 中, A B= 3 , B c  
:、 / /  , A C=4 , 则边 A C上的高为(  
…  一 ~’   ’   一。 …  

_—— 

) .  

: a

b c o s A) A  2+ f


+ f三   b ;  ‘ 1  
- -

2  





6 s i n 4)   =  

A . 三 2  B . 三 2  c . 三 2   。 . 3  
解 析: 如图 2 , 以 AA B C
、 ,

+ C2

2 b c c o s A  

图1  

}  

余弦定理 的证 明方 法有 

的顶点 A为原点 , 边A C所在  l  

很多种, 明显上述证法最为简单, 优美. 区别于其它   证法, 该证法是通过建立平面直角坐标系, 利用代数  
方法来解决几何 问题 , 即解析法. 该证法给我们一个  启发 , 解三 角形 时适 当地 建立 平 面直角 坐标 系 , 往 往  能使解 题思 路 明确 、 清 

的直线为  轴建立直角坐标  I/ \   系, 则点 A 、 C的坐标分别为   l /   \ 
( 0 , 0 ) 、 ( 4 , 0 ) , 设点 B的坐标 OI A   为(  , Y ) ( Y >0 ) , 则 Y为 边  4 c上 的高 .则  网,  
8 特 征是  ̄ J l


C.  

u △ 优  
A  



 

c 。  

黄金 删

缘 

1 叮   肚 l   H J   U   I 从 J 工 一 J   不 几  口   土 刀 l   昔 U   蔷 l   H J  
问题 的
1 2 3 2o  

1 2

( 2 )因为 三角 形 的 中线 将三 角形 分成 面积 相 等 

情 境为 考生 提供 了 自主探 索 与研 究 的 空 间 , 能 有效 

的 两  此 肘 5 。  =  

≠   3 2 删三 角翟  
捕 捉到更 多 有用信 息 ; 只有 具备 良好 的思 维 品质 , 才  能 有效地 整 合运用 所 得信息 。 学 生通 过猜 想推理 、 类 
比联 想 、 画 图操作 、 反思探究 , 并 与 相 关 数学 知识 衔 

形 的中线不 可能 是该 三 角形 的黄金 分割 线.   ( 3 )因为 DF/ /C E, 所以A D E C  A F C E的公 共 
边 C E上 的高 也相 等 , 所 以有 S   。   c= S   , c   .  

设 直线 E F与 c D交 于点 G, 则S  

=S mc , 于 

接 运用 , 将试 题 中新概 念 、 新 规 则 的内涵 充分揭 露 和  释放 , 在 按 照指令 完成 规定 要求 的同时 , 真正体 验 了 

是S a A D C=S  ̄ , t a r G O+S A , F G C   5 口 边  脚 +S a A  ̄ r , S a e  ̄ c  

S   P q    ̄


c ,又 因 为 

u  
A BC  



所 以 

 ̄ AA DC

u △  
AB C 

鬈 导   笔 l   l /   l 盲   士   略 的 重 要 性 , “ 悟 性 ” 和 学  
“ 人人学 有价值 的数学 ; 人 人都 能 获得 必需 的数 
学; 不 同的人在数学 上得到不 同的发展 ”是 中考 数学 

BEF C


因此 , 直线 E F也是 S  


的黄 金分 割线 .  

 ̄ A , E F  

3 0  

中学 数 学 研 究 

2 0 t 0年 第 8 期 

2  

1  



r 【  
Y  

故 

=—  
6  



s i   =  

.  

例2 ( 0 7四川 ) 如图 3 ,  、   , 、  

点评: 上 述 三个 例 子 , 三 角形 各要 素 是 确定 的 ,   通 过建 立直角 坐标 系 , 根 据 已知 条 件列 方 程 或方 程 
组 求得 各顶点 的坐标 , 解得该 三 角形 的各 个要 素. 思  路 明确 , 过程简 化 , 轻松 求解.  
( 1  

f  是 同一 平 面 内 的三 条 平 行  直线 , f   与f : 间的距 离是 1 , Z  
与  间 的距 离 是 2 , 正 三角 形 

A B C的三顶 点 分别 在 , 。 、  、 f ]   三2   2   上 , 则  A B C 的 边 长 是 
(   ) .  砂
 

2   求 顶点轨 迹 , 求最 值 

图3  

有些 解三 角 形最 值 问题 , 三角 形 各要 素 是不 确  定的, 只要 建立 直角 坐标 系 , 根 据 已知条 件 , 求 出顶 
点 的轨迹 方程 , 然后利 用轨迹 的几 何性质 , 便 能简洁  有效 、 新颖 省时地 求得 最值.  

A . 2   1 选  3  B .  
8 

c .   4  

D .  

解析: 如图4 , 以点 B为原点 , l   为 轴 建立 平面  直 角坐标 系. 则 可设 A ( m, 1 ) 、 C (  ,一2 ) , 由A B=  

例4   ( 0 8 江苏) 满足条件A B=2 , A C= √ 2   c  
的三 角形 A B C的面积 的最大 值为—
解析 : 如 图 6, 以A B 的 中  点为坐标原点 , A B所 在 直线  为  轴 , 建立 直 角 坐 标 系. 则  A、 B点 的 坐 标 分 别 为 ( 一1 ,  


) ’   1  

.  

解 

/  
A  D  B 



 



{  , 故 三 角 形 的 边  
=   澈选D .   +1 =  

0 ) 、 ( 1 , 0 ) .设 点 C (  , Y ) ( Y  
≠ 0).  

图4  

?A C:  
. .

C,  

图6  

长为 

?
. .

(   +1 )   +Y  =2 [ (   一1 )  +Y   ] ,  
=   1  B   l   yI =l   y l=   ≤  

化简得 ( X一3 )  +Y  =8 ( Y≠0 ) ,  
则s 删


6 例3  ( 0 5 湖北 ) 在A A B C  , 已知A B =4 _ _ j ]

_

,  

2 , / 2 ,  
当且仅 当  =3时 等 号成 立 , 所 以三 角形 A BC   的面 积的最大 值为 2 √  
例5   已知 AA B C的边 。 , b , c 和面积 S满足关 

c 。   :   , A C边 上 的中线 B D:   , 求s i   的值 
0  

解: 建立如 图 5所 示 的平  面 直 角 坐 标 系,   则 

V 
-  

A (  。 s B , 筝i n  即  


一  

系式 : S =a  一( b—C )  , 且 b+c=8 . 求 2 h A B C面 

积 的最 大值.  
解: ’ . ‘ b+C=8 , 即A B+  

Y 

O 曰 

C 

A C =8 , 如 图 7, 以B C的 中点 

为坐标 原点 , B C所 在直线 为 
图5  

/ 。  
( )  

/ / 7  
( 、  

轴, 建立直角坐标 系, 则点 / 4  
在 以 B、 C为焦 点 的一 系列 椭 



解 得 l=2 ,  

圆上 ( 除 与  轴 的两交点外 ) .  

图7  

可知 , 长半轴长 为 4 , 半 
焦距 刀  a 则短半 轴长 为 




一  

( 舍去) ,所 以 B C =2 .从 而 A C =  

.  

√ c   + c 竽  竽  n B =  ,  点所 构成 的所有 三角 形 中 ,只有 该点 在 短轴 端点 处 

由椭 圆 的几 何性 质 可得 , 椭 圆上 一点 与其 两 焦 

2 0 1 0年 第 8期 

中 学 数 学研 究 

3 1  

时, 三角 形 的面 积最 大 , 即 AA B C面积 的最 大值 为 
× 

所 以两 船 出发 4小 时后相 距最 近.   点评 : 显然 , 建 立 适 当 的直 角 坐 标 系 , 赋 予 了三  角形 中各 顶点 以坐标 , 这样 就 能进 行 相 应 的 代数 运  算, 从 而解 决 问题. 这种 解题 的方 法具 有一 定 的普遍 
性, 可 以灵 活运 用 到解题 中去.  
练 习 

!  


此 时 b:c , 所以 , 由 已知 S: 2 一( b   :o 2 解得 2:  



。 )  得 S:  2 , 所 以  ×  
?

, .



△A B c面 积 的最大 值 为  , 此时 6 =c=4 .  

1 . ( 0 8湖南 理 ) 在 一个 特定 时段 内 , 以点  为 中  心 的 7海 里 以内海 域被设 为警戒 水 域. 点 E正 北 5 5  
海里处 有 一个 雷 达 观测 站 A . 某 时 刻测 得 一 艘 匀 速 

点评 : 由上 述例 子 可见 , 通过 建立 直角 坐标 系避  开 了正 弦定理 与余 弦定 理 , 过程极 为 简洁. 使 用 时应  注意 的是 坐标 系 的选 取要 适 当 , 这 样才 能简 化计 算 ,  
达到 快速 解题 的 目的.   3   解 斜三 角形应 用题 

直线行 驶 的船 只位 于点 A北偏 东 4 5 。 且 与点 A相 距  4 0   海里 的位 置 曰, 经过 4 0分钟 又测 得该 船 已行驶  到点 A北偏 东 4 5 。+0 ( 其中 s i n O=  
o 

解 斜 三角形 应用 问题 时 , 通 常都要 根据 题 意 , 从  实际 问题 中抽象 出一 个或 几 个三 角形 , 然后 求解 , 但  实际运 算相 当繁 杂. 如果 建立适 当的直 角坐 标 系 , 那 
么 问题 就 简化 了.   例6   如图 8 , 已知 甲船 由   岛 出发 向东 北方 向 以 l 5√ 2海 里 

, 0 。<0 <  

9 0 。 ) , 且 与点 A相距 l 0   1 3海 里 的位 置 C .  

( , )求 该 船 的行 驶 速 度 ( 单 位 : 扎 
海里 /小 时 ) ;  

( , , )若 该船 不 改变 航行 方 向继  续 行驶 . 判 断 它 是 否 会 进 入 警 戒 水  域, 并 说 明理 由.  
2 . 在 AA B C中 , 内角  、 B、 C对  边 的边 长分 别是 工 口 、 b 、 C , 已知 6 1 ,  十  
图 1 0  

/小 时 作 匀 速 直 线 航 行 , 同 一 时  刻, 乙船从  岛正南 方 向 4 0海 里  H  
的  岛 出发 , 朝 北偏 东 0 ( s i n O=  
叵 

东 

) 的方 向以 1 0   海里 /小时作 
J 

c  =2 b ,且 b = 2则 AA B C 面 积 的 最 大 值 是 
● 
r , _ _ ^ , . . _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 一

匀 速直 线航 行. 问 两 船 出发 多 久 
后 相距 最近 ?  
’  

3 . ( 0 5全 国 )已 知在 AA B C中 , ZA C B =9 0 。 ,  
r   ,  

B C :3 , A C =4, P是 A B上 的点 , 则点 P到 A C , B C的  距 离乘 积 的最大 值是 
练 习答 案 

解: 如图9 , 以/ 4 为原 点建 
立 直 角 坐 标 系 ,则  ( 0 , 0 ) ,  
B( 0, 一4 0 ) , A   ( 1 5 t , 1 5 t ) ,   日   ( 1 0 , / 5 t s i n O , 1 ( 1 / 5 c o s O一  

4 0 ) , 即B   ( 1 O t , 2 0 t 一4 0 ) ,  
‘ . .

D   7  
B 

1 . ( I ) 1 5 、 / 5 海里 / 小时 ( I I ) 船会进入警戒水域 
2 .  1   3 .  3  

A   B  =  

参 考 文 献 

v / 2 5   +( 5 t 一4 0 )  
=  

图9  

[ 1 ]刘 修 龙 . 对一道解 三 角形 题常 规解 法 的新 思考 [ J ] . 中 学 教 研  ( 数学 ) , 2 0 0 6 . 7  

 ̄ / ( t 一 4 )  +1 6 , t ≥  
所以当 t :4时 , A   B   有最小值 2 0 √ 2   .

0  


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