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1.5.1 充分条件、必要条件(含答案)


第一章 集合和命题

1.5.1 充分条件、必要条件
【课堂例题】 例 1.下列“若 p ,则 q ”形式的命题中,哪些命题中的 p 是 q 的充分条件? (1) p : x ? 1 (2) p : x 是无理数 (3) p : ac ? bc (4) p : x ? 11

q : x2 ? 4 x ? 3 ? 0
q

: x 2 是无理数

q:a ?b q : x ? 10

例 2.下列“若 p ,则 q ”形式的命题中,哪些命题中的 p 是 q 的必然条件? (1) p : ( x ? a)( x ? b) ? 0 (2) p : x 是 5 的整数倍 (3) p : ab ? 0 (4) p : x ? 0

q:x ? a

q : x 是 25 的整数倍

q:a ? 0 q : x ? ?1

例 3.指出下列命题中, p 是 q 的什么条件.(在“充分非必要” 、 “必要非充分” 、 “充分必要” 、 与“既非充分又非必要”中选一种) q : ( x ? 1)( x ? 2) ? 0 (1) p : x ? 1 ? 0 (2) p : 四边形为矩形 (3) p : a ? b (4) p : x ? 3

q : 四边形为正方形

q : a 2 ? b2
q:x ? 2

(选用)例 4.写出一个符合要求的语句. (1) x ? 2 是 (2)

成立的充分条件;

是 x ? 1 成立的必要条件; ; ; .

(3)使得“ x 是等腰三角形”成立的一个充分非必要条件是 (4)使得“ x ? y ”成立的一个必要非充分条件是 (5)已知 A ? B ,那么 x ? A 是 x ? B 的

第一章 集合和命题

1.5.1 充分条件、必要条件
【知识再现】 1.以下两种叙述根据你的理解,可以任选一种回答: ①如果命题“若 ? ,则 ? ”满足 ,则条件 ? 叫做结论 ? 成立的充分条件; 满足 同时, q 叫做 p 的 ,则条件 ? 叫做结论 ? 成立的必要条件. ,则 p 叫做 q 的 ; ; . ; . ②如果命题“若 p ,则 q ”为真命题,即 2.如果 p ? q 且 q ? ? p ,那么 p 叫做 q 的 如果 q ? p 且 p ? ? q ,那么 p 叫做 q 的 如果 p ? q 且 q ? p 那么 p 叫做 q 的

【基础训练】 注:填写条件要求判定精确,例如可以区分充分非必要条件与充分必要条件的,不应简单 填写为充分条件. 1.用“ ?, ? ? , ?, ? ? , ? ”中的一个或两个符号填空: (1) P :四边形四条边相等 (2) P : x 是 6 的倍数 (3) P :两个三角形全等 2.若 x, y, z ? R ,填空: (1)“ xy ? 0 ”是“ x ? 0 ”的 (2)“ xy ? yz ”是“ x ? z ”的 (3)“ 条件; 条件; 条件;

Q : 四边形是正方形; Q : x 是 2 的倍数; Q : 两个三角形的两角和一边对应相等.

x y ? ”是“ xz ? y2 ”的 y z

(4)“ | x |?| y | ”是“ x ? y ? 0 ”的 3. 设 a 、 b ? R ,则 ? (A)充分非必要

条件. )条件. (D)不充分不必要 条件. 条件; 条件. 条件; 条件.

?a ? b ? 6 ?a ? 3 是? 成立的( a ? b ? 9 b ? 3 ? ?

(B)必要非充分

(C)充分必要

4.如果 ? 是 ? 的充分非必要条件,那么 ? 是 ? 的 5.(1)“ A ? ? ”是“ A ? B ? B ”的 (2)“ A ? B ? A ”是“ A ? B ”的 6.(1)“ x ? 1 ? 0 ”是“ ( x ? 1)( x ? 3) ? 0 ”的 (2)“ x ? y ? 2 ”是“ x, y 不全为 1 ”的

第一章 集合和命题

7.写出“ ab ? 0 ”的一个(1)充分非必要条件; (2)必要非充分条件;(3)充分必要条件.

【巩固提高】 8.如果 A 是 B 的充分非必要条件, B 是 C 的充分必要条件,

D 是 C 的必要非充分条件,那么 D 是 A 的什么条件?

9.已知 a, b, c ? R, a ? 0 ,判断“ a ? b ? c ? 0 ”是 “二次方程 ax ? bx ? c ? 0 有一根为 1”的什么条件?并说明理由.
2

(选做)10.若 A ? { y | y ? x2 ? 4 x ? 6, x ? R} , B ? {x | 试写出 B ? A 的一个充分非必要条件,并说明理由.

x ? 1} , a

【温故知新】 11.“ a ? 0 ”是“方程 ax ? b ? 0 有唯一解”的

.

第一章 集合和命题

【课堂例题答案】 例 1.是;不是;不是;是 例 2.是;是;不是;不是; 例 3.(1)充分非必要;(2)必要非充分;(3)非充分非必要;(4)必要非充分. 例 4.答案不唯一 (1) x ? 1 ;(2) x ? 2 ;(3) x 是等边三角形;(4) x ? y ? 1 ;(5)充分条件 【知识再现答案】 1. ? ? ? , ? ? ? , p ? q, 充分条件,必要条件. 2.充分非必要条件;必要非充分条件;充分必要条件. 【习题答案】

? ; (2) ? 1.(1) ? ? ? ? ;(3) ?
2.(1)必要非充分;(2)必要非充分;(3)充分非必要;(4)必要非充分. 3.C 4.必要非充分 5.(1)充分非必要;(2)必要非充分. 6.(1)必要非充分;(2)充分非必要. 7.答案不唯一 (1) a ? 0, b ? 0 ;(2) ab ? 0 ;(3)

b ?0 a

8. 必要非充分条件 提示: D 不是 A 的充分条件,否则 D ? A ? B ? C 与 D 不是 C 的充分条件矛盾. 9.充分必要条件 证: 必要性 2 2 二次方程 ax ? bx ? c ? 0 有一个根为 1,则 a ?1 ? b ?1 ? c ? 0 ? a ? b ? c ? 0 充分性

a ? b ? c ? 0 ? ax2 ? bx ? (?a ? b) ? 0 ? ( x ? 1)(ax ? a ? b) ? 0 ? 方程必有一根为 1.
证毕 10.任写一个 a ? 2 的充分非必要条件皆可 提示:A ? { y | y ? 2} , 显然 a ? 0 时,B ? {x | x ? a} ? A ? {y | y ? 2} 的充要条件是 a ? 2 因此充分非必要条件可以是 a ? 2, a ? 3, a ? 2?? 11.充分必要条件


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