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必修五 第三章 不等式复习题及答案


期末复习卷(三)

必修五 第三章 不等式复习题
一、选择题: 1.若 a, b, c ? R ,且 a ? b ,则下列不等式一定成立的是 A. a ? c ? b ? c B. ac ? bc ( )

C.

c2 ?0 a ?b

D. (a ? b)c ? 0
2

/>
2.若 a ? b ? 0 ,则下列不等关系中,不能成立的是


1 3



1 1 A. ? a b
2

1 1 B. ? a ?b a

C. a ? b

1 3

D. a ? b

2 3

2 3

3.若关于 x 的不等式 x ? 4 x ? m 对任意 x ? [0,1] 恒成立,则实数 m 的取值范围是( A. m ? ?3 B. m ? ?3 C. ? 3 ? m ? 0 2 2 4.已知实数 x,y 满足 x +y =1,则(1-xy)(1+xy)有 D. m ? ?3或m ? 0 (





1 和最大值 1 2 1 3 C.最小值 和最大值 2 4
A.最小值 5.设 x > 0, y > 0, a ? A.a >b

B.最小值

3 和最大值 1 4

D.最小值 1

x? y x y , b? , a 与 b 的大小关系 ? 1? x ? y 1? x 1? y
B.a <b
2





C .a ? b

D.a ? b )

6.若关于 x 的不等式 2 x ? 8x ? 4 ? a ? 0在1 ? x ? 4 内有解,则实数 a 的取值范围是( A. a ? ?4 B. a ? ?4 C. a ? ?12 D. a ? ?12 ( D. 1 ?| a |?

7.若 x ? (0, ) 时总有 log a 2 ?1 (1 ? 2 x) ? 0, 则实数 a 的取值范围是 A. | a |? 1 B. | a |?

1 2



2

C. | a |?

2

2

8.甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点,甲有一半时间以速度 m 行走,另一半时间 以速度 n 行走;有一半路程乙以速度 m 行走,另一半路程以速度 n 行走,如果 m ? n,甲 乙两人谁先到达指定地点 ( A.甲 B.乙 C.甲乙同时到达 D.无法判断 2 2 9 .二次方程 x + (a + 1)x + a - 2=0, 有一个根比 1 大 , 另一个根比- 1 小 , 则 a 的取值范围是 A.-3<a<1 B.-2<a<0 C.-1<a<0 D.0<a<2

) ( )

10. 不等式

3x ? 1 ≥1 的解集是 2? x

(

)

A.{x|

3 ≤x≤2} 4

B.{x|

3 3 ≤x <2} C.{x|x>2 或 x≤ } 4 4

D.{x|x<2}

-1-

? y?x ? 11.设变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值为( ? y ? 3x ? 6 ?
A. 2 B. 3
2



C. 4

D. 9 )

12. 设 a>b>0 ,则 a ? A.1 B.2

1 1 ? 的最小值是( ab a ? a ? b ?
C.3 D.4

13. 已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是( ) A. 3 二、填空题: 14.已知 ? B. 4 C.

9 2

D.

11 2

?1 ? a ? b ? 2 ,求 t ? 4a ? 2b 的取值范围 ?2 ? a ? b ? 4
x? 1 2



15.已知 0 ? x ? 2,函数y ? 4

? 3 ? 2 x?2 ? 7的最大值是M , 最小值是m, 则M ? m ?




x2 ? x ? 1 16.函数 f ( x) ? 的值域为 x2 ? 1

17.要挖一个面积为 432m2 的矩形鱼池,周围两侧分别留出宽分别为 3m,4m 的堤堰,要想使占地总面积最 小,此时鱼池的长 、宽 . ?x ? y ? 2 ≤ 0 b?2 ? 18. 动点 P(a , b) 在不等式组 ? x ? y ≥ 0 表示的平面区域内部及边界上运动,则 ? ? 的取值范围是 a ?1 ?y≥0 ? _____________. 19.已知两个正实数 x、y 满足 x+y=4,则使不等式
2 2

1 4 + ≥m 恒成立的实数 m 的取值范围是__________. x y

20. 若 f(n)= n ? 1 ? n, g (n) ? n ? n ? 1, ? (n) ? 连结起来为________________.

1 (n ? N ) ,用不等号 2n

3( x ?1) ? ? ? ? ? ? ?1? x 2 ? 2 x ?3 2 21. 已知集合 A= ? x | 2 ?? ? ?, B ? ? x | log 1 (9 ? x ) ? log 1 (6 ? 2 x)? , ? ? ?2? 3 3 ? ? ? ?

又 A∩B={x|x2+ax+b<0},求 a+b 等于_______________________ 三、解答题: 22.已知 a, b 都是正数,并且 a ? b,求证:a5 + b5 > a2b3 + a3b2

-2-

1 23.已知 a,b,c∈(0,1).求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不能同时大于 . 4

24.设 x ? R ? 且 x 2 ?

y2 ? 1 ,求 x 1 ? y 2 的最大值. 2

25. 一变压器的铁芯截面为正十字型,为保证所需的磁通量,要求十字应具有 4 5cm

2

的面积, 问应如何设计十

字型宽 x 及长 y ,才能使其外接圆的周长最短,这样可使绕在铁芯上的铜线最节省.

-3-

26.

解关于 x 的不等式 ax ? (a ? 1) x ? 1 ? 0
2

27.某学校办工厂有毁坏的房屋一座,留有一面 14m 的旧墙,现准备利用这面墙的一段为面墙,建造平面图形 为矩形且面积为 126 m
2

的厂房(不管墙高) ,工程的造价是:

(1)修 1m 旧墙的费用是造 1m 新墙费用的 25%; (2)拆去 1m 旧墙用所得的材料来建 1m 新墙的费用是建 1m 新墙费用的 50%. 问如何利用旧墙才能使建墙的费用最低?

-4-

期末复习卷(三)

必修五 第三章 不等式复习题

答案

一、DBABB 解析 12

ADCCB

BDB

a2 ?

1 1 1 1 2 ? ? w= a ? ab ? ab ? ab a ? a ? b ? ab a(a ? b)

= ab ?

1 1 ? a ( a ? b) ? ≥2+2=4 ab a ( a ? b)
2 满足条件。故选择答案 D 2
18。 (??,?2] ? [2,??)

当且仅当 ab=1,a(a-b)=1 时等号成立,如取 a= 2 ,b=

二、14. [5,10] ; 15.8; 16.

?1 3? ?2, ?; ? 2?

17.长 24 米,宽为 18 米

19. m ?

9 4
5 5

20.
2 3

f (n) ? ? (n) ? g (n)
3 2 5 3 2

21. -3
5 2 3

三、22.证:(a + b ) ? (a b + a b ) = ( a ? a b ) + (b ? a b )

= a3 (a2 ? b2 ) ? b3 (a2 ? b2) = (a2 ? b2 ) (a3 ? b3) = (a + b)(a ? b)2(a2 + ab + b2) ∵a, b 都是正数,∴a + b, a2 + ab + b2 > 0 又∵a ? b,∴(a ? b)2 > 0 即:a5 + b5 > a2b3 + a3b2 1 23.[证明] 证法 1:假设(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a 都大于 .∵a、b、c 都是小于 1 的正数,∴1-a、1-b、1 4 (1-a)+b -c 都是正数. ≥ (1-a)b> 2 (1-b)+c 1 (1-c)+a 1 同理 > , > . 2 2 2 2 三式相加,得 (1-a)+b (1-b)+c (1-c)+a 3 + + > , 2 2 2 2 3 3 即 > ,矛盾. 2 2 1 所以(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a 不能都大于 . 4 1 1 1 1 证法 2:假设三个式子同时大于 ,即(1-a)b> ,(1-b)c> ,(1-c)a> ,三式相乘得 4 4 4 4 1?3 (1-a)b(1-b)c(1-c)a>? ?4? ① 因为 0<a<1,所以 0<a(1-a)≤? 1-a+a?2 1 ? 2 ? = 4.
-5-

∴(a + b)(a ? b)2(a2 + ab + b2) > 0

1 1 = , 4 2

1 1 同理,0<b(1-b)≤ ,0<c(1-c)≤ . 4 4 1?3 所以(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤? ?4? .②

因为①与②矛盾,所以假设不成立,故原命题成立.
2

24.解:∵ x

?0

∴x

1 y 1? y2 ? 2 ? x2 ( ? ) ? 2 2
∴x

1 y2 2[ x 2 ? ( ? )] 2 2 2
1 3 3 2 1 ? y 2 ? 2( ? ) ? 2 2 4

1 y2 y2 1 3 2 又x ?( ? ) ? (x ? ) ? ? 2 2 2 2 2
2

即 (x

1 ? y 2 ) max ?

3 2 4

25.解:设

y ? x ? 2h, 由条件知:
4 5 ? x2 , 4x

x 2 ? 4 xh ? 4 5 , 即 h ?

设外接圆的半径为 R,即求 R 的最小值,

? 4 R 2 ? x 2 ? (2h ? x) 2 ? 2( x 2 ? 2hx ? 2h 2 ), ? 2 R 2 ? f ( x) ? x 2 ? ? 5? 4 5 ? x 2 80 ? 8 5 x 2 ? x 4 ? 4x 8x 2

5 2 10 25 x ? 2 (0 ? x ? 2 R ),? 2 R 2 ? 5 ? 2 ? 5 ? 5, 8 4 x 5 2 10 等号成立时, x ? 2 ? x ? 2, 8 x ∴当 x ? 2 时 R2 最小,即 R 最小,从而周长 l 最小,
此时 x ? 2cm, y ? 2h ? x ? 25.解:设 y ? x ? 2h, 由条件知:

5 ? 1cm.

x 2 ? 4 xh ? 4 5 , 即 h ?

4 5 ? x2 , 4x

设外接圆的半径为 R,即求 R 的最小值,

? 4 R 2 ? x 2 ? (2h ? x) 2 ? 2( x 2 ? 2hx ? 2h 2 ), ? 2 R 2 ? f ( x) ? x 2 ? ? 5? 4 5 ? x 2 80 ? 8 5 x 2 ? x 4 ? 4x 8x 2

5 2 10 25 x ? 2 (0 ? x ? 2 R ),? 2 R 2 ? 5 ? 2 ? 5 ? 5, 8 4 x 5 2 10 等号成立时, x ? 2 ? x ? 2, 8 x
-6-

∴当 x ? 2 时 R2 最小,即 R 最小,从而周长 l 最小, 此时 x ? 2cm, y ? 2h ? x ?

5 ? 1cm.

26. 解:就 a 的范围进行讨论: 1)当 a=0 时,原不等式可化为:-x+1 ? 0 得不等式的解集 { x x ? 1} 2)当 a>0 时,原不等式可化为:(x-1)(x当 a>1 时,不等式的解集为: {x

1 )<0 a

1 ? x ? 1} a 1 当 0<a<1 时,不等式的解集为: {x 1 ? x ? } a
当 a=1 时,不等式的解集为: ? (3)当 a<0 时,原不等式可化为:(x-1)(x综上。 。 。 。 。 。 。 27.解: 设保留旧墙 x m,即拆去旧墙 (14-x) m 修新墙, 设建 1m 新墙费用为 a 元, 则修旧墙的费用为 y 1 =25% ? ax= 拆旧墙建新墙的费用为 y 2 =(14-x) ? 50 %a=

1 )>0 a

解之得: {x x ? 1或x ? }

1 a

1 ax; 4

1 252 a(14-x);建新墙的费用为:y 3 =( +2x-14)a. 2 x

于是,所需的总费用为:y=y 1 + y 2 + y 3 =[( 当且仅当

7 252 7 252 x? ? 7 ]a=35a, x? ) ? 7] a ? [2 4 x 4 x

7 252 ,即 x=12 时上式的“=”成立; x? 4 x

故保留 12 m 的旧墙时总费用为最低。

-7-


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