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2015届高三数学(理)湘教版一轮复习课时跟踪检测32 等比数列及其前n项和]


课时跟踪检测(三十二) 等比数列及其前 n 项和 第Ⅰ组:全员必做题 1.(2013· 新课标全国卷Ⅱ)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=a2+10a1,a5=9, 则 a1=( 1 A. 3 1 C. 9 ) 1 B.- 3 1 D.- 9 )

2.已知数列{an},则“an,an+1,an+2(n∈N*)成等比数列”是“a2 n+1=a

nan+2”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3. (2013· 郑州质量预测)在数列{an}中, an+1=can(c 为非零常数), 前 n 项和为 Sn=3n+k, 则实数 k 为( A.-1 C.1 ) B.0 D.2

4.(2013· 江西省七校联考)设各项都是正数的等比数列{an},Sn 为前 n 项和, 且 S10=10, S30=70,那么 S40=( A.150 C.150 或-200 ) B.-200 D.400 或-50

5.设{an}是各项为正数的无穷数列,Ai 是边长为 ai,ai+1 的矩形的面积(i=1,2,?), 则{An}为等比数列的充要条件是( A.{an}是等比数列 B.a1,a3,?,a2n-1,?或 a2,a4,?,a2n,?是等比数列 C.a1,a3,?,a2n-1,?和 a2,a4,?,a2n,?均是等比数列 D.a1,a3,?,a2n-1,?和 a2,a4,?,a2n,?均是等比数列,且公比相同 6.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,公比不为 1.若 a1=1,且对任意的 n∈N*都有 an+2+ an+1-2an=0,则 S5=________. 2 1 7.(2013· 新课标全国卷Ⅰ)若数列{an}的前 n 项和 Sn= an+ ,则{an}的通项公式是 an 3 3 =________. an+m 8.数列{an}满足 a1=2 且对任意的 m,n∈N*,都有 =an,则 a3=________;{an} am 的前 n 项和 Sn=________. 9.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=4an-3(n∈N*). (1)证明:数列{an}是等比数列; (2)若数列{bn}满足 bn+1=an+bn(n∈N*),且 b1=2,求数列{bn}的通项公式. )

10.(2013· 东北三校联考)已知等比数列{an}的所有项均为正数,首项 a1=1,且 a4,3a3, a5 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)数列{an+1-λan}的前 n 项和为 Sn,若 Sn=2n-1(n∈N*),求实数 λ 的值.

第Ⅱ组:重点选做题 1.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1+a2+a3+a4=1,a5+a6+a7+a8=2,Sn=15, 则项数 n 为( A.12 C.15 ) B.14 D.16

2.设 f(x)是定义在 R 上恒不为零的函数,对任意 x,y∈R,都有 f(x)· f(y)=f(x+y),若 1 a1= ,an=f(n)(n∈N*),则数列{an}的前 n 项和 Sn 的取值范围是________. 2

答 第Ⅰ组:全员必做题



a1?1-q3? 1.选 C 由题知 q≠1,则 S3= =a1q+10a1,得 q2=9,又 a5=a1q4=9,则 a1 1-q 1 = ,故选 C. 9
2 2.选 A 显然,n∈N*,an,an+1,an+2 成等比数列,则 an +1=anan+2,反之,则不一定

成立,举反例,如数列为 1,0,0,0,? 3.选 A 依题意得,数列{an}是等比数列,a1=3+k,a2=S2-S1=6,a3=S3-S2=18, 则 62=18(3+k),由此解得 k=-1,选 A. 4.选 A 依题意,数列 S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30 成等比数列,因此有(S20-S10)2 =S10(S30-S20),即(S20-10)2=10(70-S20),故 S20=-20 或 S20=30;又 S20>0, 因此 S20=30,S20-S10=20,S30-S20=40, 故 S40-S30=80.S40=150.选 A.

An+1 an+1an+2 an+2 A 2 a3 5.选 D ∵Ai=aiai+1,若{An}为等比数列,则 = = 为常数,即 = , An a A 1 a1 anan+1 n A3 a4 = ,?.∴a1,a3,a5,?,a2n-1,?和 a2,a4,?,a2n,?成等比数列.且公比相等.反 A2 a2 An+1 an+2 之,若奇数项和偶数项分别成等比数列,且公比相等,设为 q,则 = =q,从而{An} An an 为等比数列. 6.解析:由 an+2+an+1-2an=0,得 anq2+anq-2an=0,显然 an≠0,所以 q2+q-2= 0.又 q≠1,解得 q=-2.又 a1=1, 1×[1-?-2?5] 所以 S5= =11. 1-?-2? 答案:11 2 1 2 1 7.解析:当 n=1 时,由已知 Sn= an+ ,得 a1= a1+ ,即 a1=1;当 n≥2 时,由已 3 3 3 3 2 1? ?2 1? 2 2 1 2 知得到 Sn-1= an-1+ ,所以 an=Sn-Sn-1=? ?3an+3?-?3an-1+3?=3an-3an-1, 所以 an=- 3 3 2an-1,所以数列{an}为以 1 为首项,以-2 为公比的等比数列, 所以 an=(-2)n 1.


答案:(-2)n

-1

an+m 8.解析:∵ =an,∴an+m=an· am, am ∴a3=a1+2=a1· a2=a1· a1· a1=23=8; 令 m=1,则有 an+1=an· a1=2an, ∴数列{an}是首项为 a1=2,公比 q=2 的等比数列, 2?1-2n? n+1 ∴Sn= =2 -2. 1-2 答案:8 2n 1-2


9.解:(1)证明:依题意 Sn=4an-3(n∈N*), n=1 时,a1=4a1-3,解得 a1=1. 因为 Sn=4an-3,则 Sn-1=4an-1-3(n≥2), 所以当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=4an-4an-1, 4 整理得 an= an-1. 3 又 a1=1≠0,所以{an}是首项为 1, 4 公比为 的等比数列. 3 4?n-1 (2)因为 an=? ?3? ,

由 bn+1=an+bn(n∈N*), 4?n-1 得 bn+1-bn=? ?3? . 4?n-1 1-? ?3? ?4?n-1-1(n≥2), 可得 bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+?+(bn-bn-1)=2+ =3· 当 ?3? 4 1- 3

?4?n-1-1. n=1 时也满足,所以数列{bn}的通项公式为 bn=3· ?3?
10.解:(1)设数列{an}的公比为 q, 由条件可知 q3,3q2,q4 成等差数列, ∴6q2=q3+q4,解得 q=-3 或 q=2, ∵q>0,∴q=2. ∴数列{an}的通项公式为 an=2n 1(n∈N*).


(2)记 bn=an+1-λan, 则 bn=2n-λ· 2n 1=(2-λ)2n 1,
- -

若 λ=2,则 bn=0,Sn=0,不符合条件; bn+1 若 λ≠2,则 =2,数列{bn}为首项为 2-λ,公比为 2 的等比数列, bn ?2-λ? 此时 Sn= (1-2n)=(2-λ)(2n-1), 1-2 ∵Sn=2n-1(n∈N*),∴λ=1. 第Ⅱ组:重点选做题 1.选 D a5+a6+a7+a8 4 =q =2, a1+a2+a3+a4

由 a1+a2+a3+a4=1, 1-q4 得 a1· =1,∴a1=q-1, 1-q a1?1-qn? 又 Sn=15,即 =15, 1-q ∴qn=16,又∵q4=2,∴n=16.故选 D. 1 2.解析:由条件得:f(n)· f(1)=f(n+1),即 an+1=an·,所以数列{an}是首项与公比均为 2 1?n 1 1 的等比数列,求和得 Sn=1-? ?2? ,所以2≤Sn<1. 2 1 ? 答案:? ?2,1?


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