tceic.com
简单学习网 让学习变简单
相关文档
当前位置:首页 >> 数学 >>

2014-2015学年高中数学(北师大版,选修2-1)课时作业 第2章 2 第二章 空间向量与立体几何


§ 2

空间向量的运算

课时目标 1.掌握空间向量的加减运算及其运算律,能借助图形理解空间向量及其运算 的意义.2.掌握空间向量数乘运算的定义和运算律,了解共线向量定理.3.掌握空间向量的 数量积的定义、性质、运算律及计算方法,能用向量的数量积判断向量共线与垂直.

1.空间向量的加法 → → 设 a 和 b 是空间

两个向量,如图,过点 O 作OA=a,OB=b,则平行四边形的对角线 OC 对应的__________就是 a 与 b 的和,记作________. 2.空间向量的减法 a 与 b 的差定义为__________,记作__________,其中-b 是 b 的相反向量. 3.空间向量加减法的运算律 (1)结合律:(a+b)+c=____________. (2)交换律:a+b=__________. 4.数乘的定义 空间向量 a 与实数 λ 的乘积是一个______________,记作________. (1)|λa|=________. (2)当________时,λa 与 a 方向相同;当________时,λa 与 a 方向相反;当________时, λa=0. (3)交换律:λa=________(λ∈R). (4)分配律:λ(a+b)=__________. (λ+μ)a=__________(λ∈R,μ∈R). (5)结合律:(λμ)a=__________(λ∈R,μ∈R). 5.空间两个向量 a 与 b (b≠0)共线的充分必要条件是存在实数 λ,使得____________. 6.空间向量的数量积:空间两个向量 a 和 b 的数量积是________,等于______________, 记作__________. 7.空间向量的数量积的运算律 (1)交换律:a· b=__________; (2)分配律:a· (b+c)=__________; (3)λ(a· b)=____________ (λ∈R). 8.利用空间向量的数量积得到的结论 (1)|a|=____________; (2)a⊥b ? ____________; (3)cos〈a,b〉=____________ (a≠0,b≠0).

一、选择题 → → → 1.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,向量表达式DD1-AB+BC化简后的结果是( )

-1-

→ A.BD1

→ B.D1B

→ C.B1D

→ D.DB1 )

→ 1 → → 2.四面体 ABCD 中,设 M 是 CD 的中点,则AB+ (BD+BC)化简的结果是( 2 → A.AM → B.BM → C.CM → D.DM

→ → → → 3.已知 O 是△ABC 所在平面内一点,D 为 BC 边中点且 2OA+OB+OC=0,则AO等于 ( → A.OB ) → B.OC → C.OD → D.2OD

4.若 a,b 均为非零向量,则 a· b=|a||b|是 a 与 b 共线的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 → → 5.在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中,E,F 分别是 BC,AD 的中点,则AE· CF等于( A.0 6. 1 B. 2 3 C.- 4 1 D.- 2 )

如图,已知 PA⊥平面 ABC,∠ABC=120° ,PA=AB=BC=6,则 PC 等于( A.6 2 C.12 题 答 二、填空题 号 案 B.6 D.144 1 2 3 4 5 6

)

→ → → 7.在正四面体 O—ABC 中,OA=a,OB=b,OC=c,D 为 BC 的中点,E 为 AD 的中点, → 则OE=__________________(用 a,b,c 表示). π 8.若向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2,且 a 与 b 的夹角为 ,则|a+b|=________. 3 9.在△ABC 中,有下列命题: → → → ①AB-AC=BC; → → → ②AB+BC+CA=0; → → → → ③若(AB+AC)· (AB-AC)=0,则△ABC 为等腰三角形; → → ④若AC· AB>0,则△ABC 为锐角三角形.

-2-

其中正确的是________.(填写正确的序号) 三、解答题 10.

→ → → → → → 如图,已知在空间四边形 OABC 中,|OB|=|OC|,|AB|=|AC|.求证:OA⊥BC.

11.

如图所示,已知平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形,且∠C1CB=∠C1CD =∠BCD. → → 求证:C1C⊥BD.

-3-

能力提升 → → 12.平面上 O,A,B 三点不共线,设OA=a,OB=b,则△OAB 的面积等于( A. |a|2|b|2-?a· b?2 B. |a|2|b|2+?a· b?2 1 C. |a|2|b|2-?a· b?2 2 1 D. |a|2|b|2+?a· b?2 2 13. )

已知在平行六面体 ABCD—A′B′C′D′中,AB=4,AD=3,AA′=5,∠BAD=90° , ∠BAA′=∠DAA′=60° . (1)求 AC′的长(如图所示); → → (2)求AC′与AC的夹角的余弦值.

-4-

1.空间向量的加减法运算及加减法的几何意义和平面向量的是相同的. 2.空间两个向量 a,b 的数量积,仍旧保留平面向量中数量积的形式,即:a· b=|a||b|· cos 〈a,b〉 ,这里〈a,b〉表示空间两向量所组成的角(0≤〈a,b〉≤π).空间向量的数量 积具有平面向量数量积的运算性质.应用数量积可以判断空间两直线的垂直问题,可以 求两直线夹角问题和线段长度问题.即(1)利用 a⊥b ? a· b=0 证线线垂直(a,b 为非零向 a· b 量).(2)利用 a· b=|a|· |b|cos〈a,b〉 ,cos θ= ,求两直线的夹角.(3)利用|a|2=a· a,求 |a|· |b| 解有关线段的长度问题.

§ 2
知识梳理 → 1.向量OC a+b

空间向量的运算

2.a+(-b) a-b 3.(1)a+(b+c) (2)b+a 4.向量 λa (1)|λ||a| (2)λ>0 λ<0 λ=0 5.a=λb 6.一个数 |a||b|cos〈a,b〉 a· b 7.(1)b· a (2)a· b+a· c (3)(λa)· b 8.(1) a· a (2)a· b=0 作业设计 1.A a· b (3) |a||b|

(3)aλ (4)λa+λb λa+μa

(5)λ(μa)

[如图所示, → → → → ∵DD1=AA1,DD1-AB → → → =AA1-AB=BA1, → → → BA1+BC=BD1, → → → → ∴DD1-AB+BC=BD1.] 2.A

-5-

[如图所示, 1 → → → 因 (BD+BC)=BM, 2 → 1 → → 所以AB+ (BD+BC) 2 → → → =AB+BM=AM.] → → → 3.C [∵D 为 BC 边中点,∴OB+OC=2OD, → → → → ∴OA+OD=0,∴AO=OD.] 4.A [a· b=|a||b|cos〈a,b〉=|a||b 不能成立.] 5.D → → 1 → → ?1 → → ? [AE· CF= (AB+AC)· ?2AD-AC? 2 〈a,b〉= 〈a,b〉=0,当 a 与 b 反向时,

1→ → 1 → → 1→ → 1 → 2 = AB· AD+ AC· AD- AB· AC- |AC| 4 4 2 2 1 1 1 1 1 = cos 60° + cos 60° - cos 60° - =- .] 4 4 2 2 2 → → → → 6.C [∵PC=PA+AB+BC, → → → → ∴|PC|2=(PA+AB+BC)2 1 → → → →→ → → → → =PA2+AB2+BC2+2PA· AB+2PA· BC+2AB· BC=108+2×6×6× =144, 2 → ∴|PC|=12.] 1 1 1 7. a+ b+ c 2 4 4 解析

→ 1 → → 如图,OE= (OA+OD) 2 1→ 1 1 → → = OA+ × (OB+OC) 2 2 2

-6-

1 1 1 = a+ b+ c. 2 4 4 8. 7 解析 = |a+b|= a2+2a· b+b2 1 1+2×2× +4= 7. 2

9.②③ → → → → → 解析 ①错,AB-AC=CB;②正确;③正确,|AB|=|AC|;④错,△ABC 不一定是锐角 三角形. → → → → 10.证明 ∵|OB|=|OC|,|AB|=|AC|, → → |OA|=|OA|,∴△OAC≌△OAB. ∴∠AOC=∠AOB. → → → → → ∵OA· BC=OA· (OC-OB) → → → → =OA· OC-OA· OB → → → → =|OA||OC|cos∠AOC-|OA||OB|· cos∠AOB=0, → → ∴OA⊥BC. → → 11.证明 设CD=a,CB=b, → CC1=c, 依题意,|a|=|b|, → → → 又设CD,CB,CC1中两两所成夹角为 θ, → → → 于是BD=CD-CB=a-b, → → CC1· BD=c· (a-b)=c· a-c· b =|c||a|cos θ-|c||b|cos θ=0, → → 所以C1C⊥BD. 12.

C

[如图所示,

-7-

1 S△OAB= |a||b|· sin〈a,b〉 2 1 = |a||b| 1-?cos〈a,b〉?2 2 1 = |a||b| 2 1 = |a||b| 2 = a· b 2 1-? ? |a||b| |a|2|b|2-?a· b?2 2 2 |a| |b|

1 |a|2|b|2-?a· b?2.] 2

→ → → → 13.解 (1)∵AC′=AB+AD+AA′, → → → → ∴|AC′|2=(AB+AD+AA′)2 → → → → → → → → → =|AB|2+|AD|2+|AA′|2+2(AB· AD+AB· AA′+AD· AA′) =42+32+52+2(0+10+7.5)=85. → ∴|AC′|= 85. → → (2)设AC′与AC的夹角为 θ, ∵ABCD 是矩形, → ∴|AC|= 32+42=5. ∴由余弦定理可得 → → → |AC′|2+|AC|2-|CC′|2 cos θ= → → 2|AC′|· |AC| = 85+25-25 85 = . 10 2· 85·5

-8-


推荐相关:

【2014-2015学年高中数学(北师大版,选修2-1)课时作业 第2章 1 第二章 空间向量与立体几何

2014-2015学年高中数学(北师大版,选修2-1)课时作业 第2章 1 第二章 空间向量与立体几何_数学_高中教育_教育专区。【2014-2015学年高中数学(北师大版,选修...


【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中人教B版数学选修2-1课时作业:第三章 空间向量与立体几何(A)]

【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中人教B版数学选修2-1课时作业:第三章 空间向量与立体几何(A)]_数学_高中教育_教育专区。【步步高 学案导学设计】2014-...


【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中人教B版数学选修2-1课时作业:第三章 空间向量与立体几何(B)]

【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中人教B版数学选修2-1课时作业:第三章 空间向量与立体几何(B)]_数学_高中教育_教育专区。【步步高 学案导学设计】2014-...


【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何单元质量评估课时作业 新人教A版选修2-1

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何单元质量评估课时作业 新人教A版选修2-1_高二数学_数学_高中教育_教育专区。"【全程复习方略】...


2015-2016学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何单元检测(B卷)新人教A版选修2-1

2015-2016学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何单元检测(B卷)新人教A版选修2-1_数学_高中教育_教育专区。第三章 空间向量与立体几何(B) (时间:120 分钟 ...


【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何单元检测(A卷)苏教版选修2-1

【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何单元检测(A卷)苏教版选修2-1_高一数学_数学_高中教育_教育专区。第 3 章 单元检测(...


【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 3.2.1空间向量与平行关系课时作业 新人教A版选修2-1

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 3.2.1空间向量与平行关系课时作业 新人教A版选修2-1_高二数学_数学_高中教育_教育专区。空间向量与平行关系 (30 分钟 ...


【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何单元检测(B卷)苏教版选修2-1

【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何单元检测(B卷)苏教版选修2-1_数学_高中教育_教育专区。第 3 章 单元检测(B 卷) (...


【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 3.2.4空间向量与空间距离课时作业 新人教A版选修2-1

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 3.2.4空间向量与空间距离课时作业 新人教A版选修2-1_高二数学_数学_高中教育_教育专区。空间向量与空间距离 (30 分钟 ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com