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1993年—2011年上海市初中数学竞赛(新知杯试题含答案)


2011 年(新知杯)上海市初中数学竞赛试卷
题号 得分 评卷 复核 解答本试卷可以使用科学计算器
一、 填空题(每题 10 分,共 80 分) 1. 已知关于 x 的两个方程: x ? x ? 3m ? 0??①, x ? x ? m ? 0?? ②,其中 m ? 0 。若方程①中有一个根是
2 2

L

一 (1~8)

(2011 年 12 月 4 日 上午 9:00~11:00) 二 9 10 11 12

总分

D

S M O

C

A

B

方程②的某个根的 3 倍,则实数 m 的值是___________。 2. 已知梯形 ABCD 中, AB // CD , ?ABC ? 90? , BD ? AD , BC ? 5 , BD ? 13 ,则梯形 ABCD 的面积为 _______________。 3. 从编号分别为 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 的 6 张卡片中任意抽取 3 张,则抽出卡片的编号都大于等于 2 的概率为 ______________。 4. 将 8 个 数 ? 7 , ? 5 , ? 3 , ? 2 , 2 , 4 , 6 , 13 排 列 为 a , b , c , d , e , f , g , h , 使 得 10. 对 于 正 整 数 n , 记 n! ? 1? 2 ??? n 。 求 所 有 的 正 整 数 组 ?a , b, c, d , e, f ? , 使 得 a! ? b!? c!? d !? e!? f ! , 且

a?b?c?d ?e? f 。


?a ? b ? c ? d ?2 ? ?e ?
5.

f ? g ? h? 的值最小,则这个最小值为____________。
2

已知正方形 ABCD 的边长为 4 , E , F 分别是边 AB , BC 上的点,使得 AE ? 3 , BF ? 2 ,线段 AF 与 DE 相 交于点 G ,则四边形 DGFC 的面积为_____________。

6.

在等腰直角三角形 ABC 中, ?ACB ? 90? , P 是 ?ABC 内一点,使得 PA ? 11 , PB ? 7 , PC ? 6 ,则边 AC 的长为______________。

7.

有 10 名象棋选手进行单循环赛(即每两名选手比赛一场) ,规定获胜得 2 分,平局得 1 分,负得 0 分。比赛结束后, 发现每名选手的得分各不相同,且第 2 名的得分是最后五名选手的得分和的

4 ,则第 2 名选手的得分是_________。 5

8.

已知 a , b , c , d 都是质数(质数即素数,允许 a , b , c , d 有相同的情况) ,且 abcd 是 35 个连续正整数的和, 则 a ? b ? c ? d 的最小值为_________。 11. (1)证明:存在整数 x , y ,满足 x ? 4 xy ? y ? 2022;
2 2

(2)问:是否存在整数 x , y ,满足 x ? 4 xy ? y ? 2011? 证明你的结论。
2 2

二、 解答题(第 9 , 10 题,每题 15 分,第 11 , 12 题,每题 20 分,共 70 分) 9. 如图, 矩形 ABCD 的对角线交点为 O , 已知 ?DAC ? 60? , 角 DAC 的平分线与边 DC 交于点 S , 直线 OS 与 AD 相交于点 L ,直线 BL 与 AC 相交于点 M。求证: SM // LC 。 解



12. 对每一个大于 1 的整数 n ,设它的所有不同的质因数为 p1 , p2 , ... , pk ,对于每个 pi ?1 ? i ? k ? ,存在正整数 a i , 使得 pi i ? n ? pi
a ai ?1



记 p?n ? ? p1

a1

? p2

a2

? ? ? pk k 例如, p?100? ? 2 6 ? 5 2 ? 89 。
a

(1)试找出一个正整数 n ,使得 p?n? ? n ; (2)证明:存在无穷多个正整数 n ,使得 p?n? ? 1.1n 。 解

附:历届新知杯试题下载地址:

2011 新知杯:http://d.119g.com/f/C6A4BAE07E032710.html

2010 新知杯:http://d.119g.com/f/A72661A9E0960E2B.html

2009 新知杯:http://d.119g.com/f/9A46DDC3AA577D24.html

2008 新知杯:http://d.119g.com/f/094C6F16E3569838.html

2007 新知杯:http://d.119g.com/f/18CE5437C5D312A0.html

2006 宇振杯:http://d.119g.com/f/DE8E85CC3C1172A6.html

2005 宇振杯:http://d.119g.com/f/C97334FD7707A073.html

2004 宇振杯:http://d.119g.com/f/64B93120035D8A04.html

2003 宇振杯:http://d.119g.com/f/9BF6FD4B04AE152A.html

2002 宇振杯:http://d.119g.com/f/F35E1E88D311C472.html

2001 暂缺

2000 弘晟杯:http://d.119g.com/f/5E4214F3651285D3.html

以下合一 1993-2004 年合集:http://d.119g.com/f/FFB5B74D136DC029.html


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