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2014-2015《三维设计》高三数学湘教版(文)一轮复习【精品讲义】选修4-4 坐标系与参数方程


选修 4-4 坐标系与参数方程

第一节

坐标系

1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换
?x′=λ· x,?λ>0?, ? φ:? 的作用下,点 P(x,y)对应到点 P′(x′,y′),称 φ 为平面直 ? y,?μ>0? ?y′=μ·

r />角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系与极坐标 (1)极坐标系: 如图所示,在平面内取一个定点 O,叫做极点,自极点 O 引一条射 线 Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其 正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. (2)极坐标: 设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径,记为 ρ;以极轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的极角,记为 θ.有序数对(ρ,θ)叫做点 M 的极 坐标,记为 M(ρ,θ). 一般地,不做特殊说明时,我们认为 ρ≥0,θ 可取任意实数. 3.极坐标与直角坐标的互化 设 M 是坐标系平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ)(ρ≥0),于是 极坐标与直角坐标的互化公式如下表: 点M 互化 公式 直角坐标(x,y)
? ?x=ρcos θ ? ?y=ρsin θ ?

极坐标(ρ,θ) ρ =x +y ? ? ? y tan θ= ?x≠0? ? x ?
2 2 2

4.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程

圆心在极点,半径为 r 的圆

ρ=r(0≤θ<2π) ρ=2rcos_θ

圆心为(r,0),半径为 r 的圆

?-π≤θ≤π? 2? ? 2
ρ=2rsin_θ(0≤θ<π) (1)θ=α(ρ∈R)

π? 圆心为? ?r,2?,半径为 r 的圆

过极点,倾斜角为 α 的直线

或 θ=π+α(ρ∈R) (2)θ=α(ρ≥0)和 θ=π+α(ρ≥0)

过点(a,0),与极轴垂直的直线

π π? ρcos_θ=a? ?-2<θ<2?

π? 过点? ?a,2?,与极轴平行的直线

ρsin_θ=a(0<θ<π)

1.在将直角坐标化为极坐标求极角 θ 时,易忽视判断点所在的象限(即角 θ 的终边的位 置). 2.在极坐标系下,点的极坐标不惟一性易忽视. 注意极坐标(ρ,θ)(ρ,θ+2kπ),(-ρ,π+θ+2kπ)(k∈Z)表示同一点的坐标. [试一试] 1.点 P 的直角坐标为(1,- 3),求点 P 的极坐标. π 解:因为点 P(1,- 3)在第四象限,与原点的距离为 2,且 OP 与 x 轴所成的角为- , 3 π? 所以点 P 的极坐标为? ?2,-3?. 2.求极坐标方程 ρ=sin θ+2cos θ 能表示的曲线的直角坐标方程. 解:由 ρ=sin θ+2cos θ,得 ρ2=ρsin θ+2ρcos θ, ∴x2+y2-2x-y=0.故故极坐标方程 ρ=sin θ+2cos θ 表示的曲线直角坐标方程为 x2+ y2-2x-y=0.

1.确定极坐标方程的四要素 极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向,四者缺一不可. 2.直角坐标(x,y)化为极坐标(ρ,θ)的步骤

y (1)运用 ρ= x2+y2,tan θ= (x≠0) x y (2)在[0,2π)内由 tan θ= (x≠0)求 θ 时,由直角坐标的符号特征判断点所在的象限. x [练一练] 1.在极坐标系中,求圆心在( 2,π)且过极点的圆的方程. 解:如图,O 为极点,OB 为直径,A(ρ,θ),则∠ABO=θ-90° ,OB =2 2= ρ ,化简得 ρ=-2 2cos θ. sin?θ-90° ?

π 2 2.已知直线的极坐标方程为 ρsin (θ+ )= ,求极点到该直线的距离. 4 2

? 2 ? 2 π 2 解:极点的直角坐标为 O(0,0),ρsin(θ+ )=ρ ? 4 ? 2 sin?+ 2 cos? ? ? = 2 ,∴ρsin θ+ ? ?
ρcos θ=1,化为直角坐标方程为 x+y-1=0.∴点 O(0,0)到直线 x+y-1=0 的距离为 d= = π? 2 2 2 ,即极点到直线 ρsin? ?θ+4?= 2 的距离为 2 . 2 1 2

考点一

平面直角坐标系中的伸缩变换

1 ? ?x′=2x, 1.(2014· 佛山模拟 ) 设平面上的伸缩变换的坐标表达式为 ? 求在这一坐标变 ?y′=3y, ? 换下正弦曲线 y=sin x 的方程. 1 x=2x′, ? ? ?x′=2x, ? 解:∵? ∴? 1 ? ? ?y′=3y, ?y=3y′. 代入 y=sin x 得 y′=3sin 2x′. x′=2x, ? ? π 2.求函数 y=sin(2x+ )经伸缩变换? 1 4 y′= y ? 2 ? 1 x′=2x, ? ? ? ?x=2x′, 解:由? 得? ① 1 ?y′=2y, ?y=2y′. ? ? π 1 π 将①代入 y=sin(2x+ ),得 2y′=sin(2·x′+ ), 4 2 4 1 π 即 y′= sin(x′+ ). 2 4

后的解析式.

? ?x′=3x, y2 3.求双曲线 C:x2- =1 经过 φ:? 变换后所得曲线 C′的焦点坐标. 64 ?2y′=y ?

1 ? ?x=3x′, y2 解: 设曲线 C′上任意一点 P′(x′,y′),由上述可知,将? 代入 x2- = 64 ?y=2y′, ? x′2 4y′2 x′2 y′2 1得 - =1,化简得 - =1, 9 64 9 16 x2 y2 即 - =1 为曲线 C′的方程,可见仍是双曲线,则焦点 F1(-5,0),F2(5,0)为所求. 9 16 [类题通法]
? x,?λ>0? ?x′=λ· 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示. 在伸缩变换? 下, 直 ? y,?μ>0? ?y′=μ·

线仍然变成直线,抛物线仍然变成抛物线,双曲线仍然变成双曲线,圆可以变成椭圆,椭圆 也可以变成圆.

考点二

极坐标与直角坐标的互化

[典例] (2013· 石家庄模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1 的极坐标方程为 3ρ2=12ρcos θ-10(ρ>0). (1)求曲线 C1 的直角坐标方程; x2 y2 (2)曲线 C2 的方程为 + =1, 设 P, Q 分别为曲线 C1 与曲线 C2 上的任意一点, 求|PQ| 16 4 的最小值. [解] (1)曲线 C1 的方程可化为 3(x2+y2)=12x-10,

2 即(x-2)2+y2= . 3 (2)依题意可设 Q(4cos θ,2sin θ),由(1)知圆 C1 的圆心坐标为 C1(2,0). 故|QC1|= ?4cos θ-2?2+4sin2θ = 12cos2θ-16cos θ+8 =2 2?2 2 3? ?cos θ-3? +3, 2 6 , 3 6 . 3

|QC1|min=

所以|PQ|min= [类题通法]

直角坐标方程与极坐标方程的互化, 关键要掌握好互化公式, 研究极坐标系下图形的性

质,可转化直角坐标系的情境进行. [针对训练] (2013· 安徽模拟)在极坐标系中, 判断直线 ρcos θ-ρsin θ+1=0 与圆 ρ=2sin θ 的位置关 系. 解:直线 ρcos θ-ρsin θ+1=0 可化成 x-y+1=0,圆 ρ=2sin θ 可化为 x2+y2=2y,即 x2+(y-1)2=1.圆心(0,1)到直线 x-y+1=0 的距离 d= 考点三 |0-1+1| =0<1.故直线与圆相交. 2

极坐标方程及应用

[典例] (2013· 郑州模拟)已知在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为
? ?x=2+2cos θ, ? (θ 为参数),在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以 ?y=2sin θ ?

π 原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,直线 l 的方程为 ρsin(θ+ )=2 2. 4 (1)求曲线 C 在极坐标系中的方程; (2)求直线 l 被曲线 C 截得的弦长. [解] (1)由已知得,曲线 C 的普通方程为(x-2)2+y2=4,

即 x2+y2-4x=0,化为极坐标方程是 ρ=4cos θ. (2)由题意知,直线 l 的直角坐标方程为 x+y-4=0,
2 2 ? ?x +y -4x=0, 由? 得直线 l 与曲线 C 的交点坐标为(2,2), (4,0), 所以所求弦长为 2 2. ?x+y=4, ?

π 在本例(1)的条件下,求曲线 C 与曲线 C1:ρcos θ=3(ρ≥0,0≤θ< )交点的极坐标. 2
? ?ρcos θ=3, 解:由曲线 C,C1 极坐标方程联立? ? ρ=4cos θ, ?

3 3 π ∴cos2θ= ,cos θ=± ,又 ρ≥0,θ∈[0, ). 4 2 2 ∴cos θ= π? 3 π ,θ= ,ρ=2 3,故交点极坐标为? ?2 3,6?. 2 6

[类题通法] 求曲线的极坐标方程的步骤 (1)建立适当的极坐标系,设 P(ρ,θ)是曲线上任意一点; (2)由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径 ρ 和极角 θ 之间的关系式; (3)将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线的极坐标方程. [针对训练] (2013· 荆州模拟)在极坐标系中,求过圆 ρ=6cos θ 的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐

标方程. 解:ρ=6cos θ 在直角坐标系中表示圆心为(3,0),半径为 3 的圆.过圆心且垂直于 x 轴 的直线方程为 x=3,其在极坐标系下的方程为 ρcos θ=3.

[课堂练通考点] π 1.(2014· 南昌调研)在极坐标系中,求圆 ρ=2cos θ 与直线 θ= (ρ>0)所表示的图形的交 4 点的极坐标. π 解:圆 ρ=2cos θ 可转化为 x2-2x+y2=0,直线 θ= 可转化为 y=x(x>0),两个方程联 4 π 立得交点坐标是(1,1),可得其极坐标是( 2, ). 4 π π 2.(2013· 惠州模拟)在极坐标系中,已知两点 A,B 的极坐标分别为(3, )、(4, ),求 3 6 △AOB(其中 O 为极点)的面积. π π 1 解:由题意知 A,B 的极坐标分别为(3, )、(4, ),则△AOB 的面积 S△AOB= OA· OB· sin 3 6 2 1 π ∠AOB= ×3×4×sin =3. 2 6 3. (2013· 天津高考改编)已知圆的极坐标方程为 ρ=4cos θ, 圆心为 C, 点 P 的极坐标为

?4,π?,求|CP|的值. ? 3?
解:由 ρ=4cos θ 可得圆的直角坐标方程为 x2+y2=4x,圆心 C(2,0).点 P 的直角坐标 为(2,2 3),所以|CP|=2 3. 4.在极坐标系中,求圆:ρ=2 上的点到直线:ρ(cos θ+ 3sin θ)=6 的距离的最小值. 解:由题意可得,圆的直角坐标方程为 x2+y2=4,圆的半径为 r=2,直线的直角坐标 |0+ 3×0-6| 方程为 x+ 3y-6=0,圆心到直线的距离 d= =3,所以圆上的点到直线的距 2 离的最小值为 d-r=3-2=1.
?x=-t, ? π 5.(2013· 银川调研)已知直线 l:? (t 为参数)与圆 C:ρ=4 2cos(θ- ). 4 ? y = 1 + t ?

(1)试判断直线 l 和圆 C 的位置关系; (2)求圆上的点到直线 l 的距离的最大值. 解:(1)直线 l 的参数方程消去参数 t,得 x+y-1=0. π 由圆 C 的极坐标方程,得 ρ2=4 2ρcos(θ- ),化简得 ρ2=4ρcos θ+4ρsin θ,所以圆 C 4 的直角坐标方程为 x2+y2=4x+4y,即(x-2)2+(y-2)2=8,故该圆的圆心为 C(2,2),半径 r

=2 2. |2+2-1| 3 2 从而圆心 C 到直线 l 的距离为 d= = , 2 12+12 3 2 显然 <2 2,所以直线 l 和圆 C 相交. 2 3 2 (2)由(1)知圆心 C 到直线 l 的距离为 d= ,所以圆上的点到直线 l 的距离的最大值为 2 3 2 7 2 +2 2= . 2 2 [课下提升考能] 1.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 C 的 π θ- ?=1,M,N 分别为曲线 C 与 x 轴,y 轴的交点. 极坐标方程为 ρcos? ? 3? (1)写出曲线 C 的直角坐标方程,并求点 M,N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程. π? 3 ?1 ? 解:(1)由 ρcos? ?θ-3?=1 得 ρ?2cos θ+ 2 sin θ?=1, 1 3 从而曲线 C 的直角坐标方程为 x+ y=1,即 x+ 3y=2. 2 2 θ=0 时,ρ=2,所以 M(2,0). π 2 3 2 3 π? θ= 时,ρ= ,所以 N? . 2 3 ? 3 ,2? 2 3? (2)由(1)得点 M 的直角坐标为(2,0),点 N 的直角坐标为?0, . 3 ? ? 所以点 P 的直角坐标为?1,

?

3? 2 3 π? ,则点 P 的极坐标为? , 3? ? 3 ,6?

π 所以直线 OP 的极坐标方程为 θ= ,ρ∈(-∞,+∞). 6 π? 2.在极坐标系中定点 A? ?1,2?,点 B 在直线 l:ρcos θ+ρsin θ=0(0≤θ<2π)上运动,当 线段 AB 最短时,求点 B 的极坐标.

解:∵ρcos θ+ρsin θ=0, ∴cos θ=-sin θ,tan θ=-1. 3π ∴直线的极坐标方程化为 θ= (直线如图). 4

过 A 作直线垂直于 l,垂足为 B,此时 AB 最短. 易得|OB|= 2 . 2

∴B 点的极坐标为?

?. ? 2 ,4?
2 3π

π? 3.(2014· 扬州模拟)已知圆的极坐标方程为:ρ2-4 2ρcos? ?θ-4?+6=0. (1)将极坐标方程化为普通方程; (2)若点 P(x,y)在该圆上,求 x+y 的最大值和最小值. 解:(1)原方程变形为: ρ2-4ρcos θ-4ρsin θ+6=0. x2+y2-4x-4y+6=0.

?x=2+ 2cos α, (2)圆的参数方程为? (α 为参数), ?y=2+ 2sin α
π α+ ?. 所以 x+y=4+2sin? ? 4? 那么 x+y 的最大值为 6,最小值为 2.
? ?x′=3x, 4.在同一平面直角坐标系中,已知伸缩变换 φ:? ? 2y′=y. ?

1 ? (1)求点 A? ?3,-2?经过 φ 变换所得的点 A′的坐标; 1? (2)点 B 经过 φ 变换得到点 B′? ?-3,2?,求点 B 的坐标; (3)求直线 l:y=6x 经过 φ 变换后所得到的直线 l′的方程.

? ? ? ?x′=3x, ? 解:(1)设 A′(x′,y′),由伸缩变换 φ: 得到? 1 ? y′=y ? ? y′= y,
x′=3x, 2

?

由于点 A 的

1 ? 坐标为? ?3,-2?, 1 1 于是 x′=3× =1,y′= ×(-2)=-1, 3 2 ∴A′(1,-1)为所求.

? ?x′=3x, ?x= x′, ? (2)设 B(x,y),由伸缩变换 φ:? 得到? 3 ? ? y′=y ?
1? 由于点 B′的坐标为? ?-3,2?, 1 1 于是 x= ×(-3)=-1,y=2× =1, 3 2

1

? y=2y′.

∴B(-1,1)为所求.

? ? ?x= , ?x′=3x, 3 (3)由伸缩变换 φ:? 得? ?2y′=y, ? ?
x′

?y=2y′.

代入直线 l:y=6x,得到经过伸缩变换后的方程 y′=x′, 因此直线 l 的方程为 y=x. 5.(2014· 南京模拟)在极坐标系中,曲线 C1,C2 的极坐标方程分别为 ρ=-2cos θ,ρcos

?θ+π?=1. ? 3?
(1)求曲线 C1 和 C2 的公共点的个数; (2)过极点作动直线与曲线 C2 相交于点 Q,在 OQ 上取一点 P,使|OP|· |OQ|=2,求点 P 的轨迹,并指出轨迹是什么图形. 解:(1)C1 的直角坐标方程为(x+1)2+y2=1,它表示圆心为(-1,0),半径为 1 的圆,C2 3 的直角坐标方程为 x- 3y-2=0,所以曲线 C2 为直线,由于圆心到直线的距离为 d= >1, 2 所以直线与圆相离,即曲线 C1 和 C2 没有公共点.
? ?ρρ0=2, (2)设 Q(ρ0,θ0),P(ρ,θ),则? ?θ=θ0, ?

2 ? ?ρ0=ρ, 即? ① ?θ0=θ. ? 因为点 Q(ρ0,θ0)在曲线 C2 上, π? 所以 ρ0cos? ?θ0+3?=1,② π 2 θ+ ?=1, 将①代入②,得 cos? ρ ? 3? π? 3?2 ? 1?2 ? 即 ρ=2cos? ?θ+3?为点 P 的轨迹方程,化为直角坐标方程为?x-2? +?y+ 2 ? =1,因 1 3 此点 P 的轨迹是以? ,- ?为圆心,1 为半径的圆. 2? ?2 π? 2 6. (2014· 苏州模拟)在极坐标系下, 已知圆 O: ρ=cos θ+sin θ 和直线 l: ρsin? ?θ-4?= 2 . (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程; (2)当 θ∈(0,π)时,求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标. 解:(1)圆 O:ρ=cos θ+sin θ,即 ρ2=ρcos θ+ρsin θ, 圆 O 的直角坐标方程为:x2+y2=x+y, 即 x2+y2-x-y=0,

π? 2 直线 l:ρsin? ?θ-4?= 2 ,即 ρsin θ-ρcos θ=1, 则直线 l 的直角坐标方程为:y-x=1,即 x-y+1=0.
?x2+y2-x-y=0, ?x=0, ? ? π 1, ?. (2)由? 得? 故直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为? 2? ? ? ? ?x-y+1=0 ?y=1,

第二节

参数方程

1.参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地,可以通过消去参数而 从参数方程得到普通方程. (2)如果知道变数 x,y 中的一个与参数 t 的关系,例如 x=f(t),把它代入普通方程,求
?x=f?t?, ? 出另一个变数与参数的关系 y=g(t),那么,? 就是曲线的参数方程. ?y=g?t? ?

2.常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 直线 普通方程 y-y0=tan α(x-x0) 参数方程
? ?x=x0+tcos α ? ?y=y0+tsin α ?

(t 为参数)



x2+y2=r2 x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2

?x=rcos θ ? ? (θ 为参数) ? ? y=rsin θ ? ?x=acos φ ? (φ 为参数) ? y=bsin φ ?

椭圆

?x=x0+tcos α, ? 1. 不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误, 对于直线参数方程? ?y=y0+tsin α. ?

(t 为参数) 注意:t 是参数,α 则是直线的倾斜角. 2.参数方程与普通方程互化时,易忽视互化前后的等价性. [试一试]

? ?x=1+2t, 1.若直线的参数方程为? (t 为参数),求直线的斜率. ? y=2-3t ?

y-2 -3t 3 3 3 解:∵ = =- ,∴tan α=- .即直线的斜率为- . 2 2 2 x-1 2t 2.(2013· 辽宁模拟)在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立
?x=t+1 ? π 极坐标系.已知射线 l:θ= 与曲线 C:? 2 (t 为参数)相交于 A,B 两点.求射线 4 ? y=?t-1? ?

l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程. 解:由题意得射线 l 的直角坐标方程为 y=x(x≥0),

?x= 22t, 则射线 l 的参数方程为? 2 ?y= 2 t
曲线 C 的直角坐标方程为 y=(x-2)2.

(t≥0,t 为参数),

1.化参数方程为普通方程的方法 消去参数方程中的参数,就可把参数方程化为普通方程,消去参数的常用方法有:①代 入消元法;②加减消元法;③乘除消元法;④三角恒等式消元法. 2.利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法
? ?x=x0+tcos α, 经过点 P(x0, y0), 倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为? (t 为参数). 若 A, ?y=y0+tsin α ?

B 为直线 l 上两点,其对应的参数分别为 t1,t2,线段 AB 的中点为 M,点 M 所对应的参数 为 t0,则以下结论在解题中经常用到: (1)t0= t1+t2 ; 2

(2)|PM|=|t0|=

t1+t2
2



(3)|AB|=|t2-t1|; (4)|PA|· |PB|=|t1· t2|. [练一练]

?x=1+2t, 1.已知 P ,P 是直线? 3 ?y=-2+ 2 t
1 2

1

(t 为参数)上的两点,它们所对应的参数分别为

t1,t2,求线段 P1P2 的中点到点 P(1,-2)的距离.

t1+t2 解:由 t 的几何意义可知,线段 P1P2 的中点对应的参数为 ,P 对应的参数为 t=0, 2 |t1+t2| ∴线段 P1P2 的中点到点 P 的距离为 . 2

?x=2-2t, 2.已知直线? 1 ?y=-1+2t

1

(t 为参数)与圆 x2+y2=4 相交于 B,C 两点,求|BC|的值.

1 2 t=2- t′, ?x=2-2 2 解: ∵ ? 1 2 ?y=-1+2t=-1+ 2 t′,

?t′= 2t? 代入 x2 + y2 = 4 ,得 ?2- 2t′? 2 + 2 ? 2 ? ? ?

?-1+ 2t′?2=4,t′2-3 2t′+1=0,∴|BC|=|t′ -t′ |= ?t′ +t′ ?2-4t′ t′ = 1 2 1 2 1 2 2 ? ?
?3 2?2-4×1= 14,即|BC|= 14.

考点一

参数方程与普通方程的互化

?x=2 3cos θ 1.求曲线? (θ 为参数)中两焦点间的距离. ?y=3 2sin θ
y2 x2 解:曲线化为普通方程为 + =1,∴c= 6,故焦距为 2 6. 18 12
?x=1+cos θ, ? 2.(2014· 西安质检)若直线 3x+4y+m=0 与圆? (θ 为参数)相切,求实数 ? ?y=-2+sin θ

m 的值.
? ?x=1+cos θ, 解:圆? 消去参数 θ,化为普通方程是(x-1)2+(y+2)2=1.因为直线与圆 ?y=-2+sin θ ?

|3+4×?-2?+m| 相切,所以圆心(1,-2)到直线的距离等于半径,即 =1,解得 m=0 或 m 5 =10. 3.(2014· 武汉调研)在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立

?x=-t, 极坐标系. 已知直线? (t 为参数, t∈R)与曲线 C1: ρ=4sin θ 异于点 O 的交点为 A, ?y= 3t
与曲线 C2:ρ=2sin θ 异于点 O 的交点为 B,求|AB|的值. 解: 由题意可得, 直线 y=- 3x, 曲线 C1: x2+(y-2)2=4, 曲线 C2:x2+(y-1)2=1,

1 画图可得,|AB|=4cos 30° × = 3. 2 [类题通法] 参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程, 是曲线在同一坐标系下的另 一种表示形式,参数方程化为普通方程关键在于消参,消参时要注意参变量的范围.

考点二

参数方程的应用

? ? ?x=1+tcos α, ?x=cos θ, ? ? [典例] (2013· 郑州模拟)已知直线 C1: (t 为参数), 曲线 C2: ?y=tsin α ?y=sin θ ? ?

(θ 为参数). π (1)当 α= 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; 3 (2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 的中点,当 α 变化时,求点 P 轨迹 的参数方程,并指出它是什么曲线. [解] π (1)当 α= 时,C1 的普通方程为 y= 3(x-1),C2 的普通方程为 x2+y2=1, 3

?y= 3?x-1?, 1 3 联立方程? 2 2 解得 C1 与 C2 的交点坐标分别为(1,0),? ,- ?. 2 2 ? ? ?x +y =1,
(2)依题意, C1 的普通方程为 xsin α-ycos α-sin α=0, 则 A 点的坐标为(sin2α, -sin αcos α), 故当 α 变化时,P 点轨迹的参数方程为

?x=2sin α, ? 1 ?y=-2sin αcos α
2

1

(α 为参数),

1 1 ∴点 P 轨迹的普通方程为(x- )2+y2= . 4 16 1 1 故点 P 的轨迹是圆心为( ,0),半径为 的圆. 4 4
? ? ?x=1+tcos α ?x=s, ? 在本例(1)条件下, 若直线 C1: (t 为参数), 与直线 C2? ?y=tsin α, ?y=1-as ? ?

(s 为参数)垂直,求 a. 解:由(1)知 C1 的普通方程为 y= 3(x-1),C2 的普通方程为 y=1-ax,由两线垂直得 -a× 3=-1,故 a= [类题通法] 1.解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位 3 . 3

置关系来解决问题.
? ?x=x0+at, 2.对于形如? (t 为参数) ? y=y0+bt ?

当 a2+b2≠1 时,应先化为标准形式后才能利用 t 的几何意义解题. [针对训练]
? ?x=2cos t, (2013· 新课标卷Ⅱ)已知动点 P,Q 在曲线 C:? (t 为参数)上,对应参数分别 ? y=2sin t ?

为 t=α 与 t=2α 为(0<α<2π),M 为 PQ 的中点. (1)求 M 的轨迹的参数方程; (2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点. 解:(1)依题意有 P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α), 因此 M(cos α+cos 2α,sin α +sin 2α).

? ?x=cos α+cos 2α, M 的轨迹的参数方程为? (α 为参数,0<α<2π). ?y=sin α+sin 2α ?

(2)M 点到坐标原点的距离 d= x2+y2= 2+2cos α(0<α<2π). 当 α=π 时,d=0,故 M 的轨迹过坐标原点. 考点三 极坐标、参数方程的综合应用

[典例] (2013· 福建高考)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为 π? ? π? 极轴建立极坐标系.已知点 A 的极坐标为? ? 2,4?,直线 l 的极坐标方程为 ρcos?θ-4?=a, 且点 A 在直线 l 上. (1)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程;
?x=1+cos α, ? (2)圆 C 的参数方程为? (α 为参数),试判断直线 l 与圆 C 的位置关系. ?y=sin α ?

[解]

π π 2, ?在直线 ρcos?θ- ?=a 上, (1)由点 A? 4? ? ? 4?

可得 a= 2. 所以直线 l 的方程可化为 ρcos θ+ρsin θ=2, 从而直线 l 的直角坐标方程为 x+y-2=0. (2)由已知得圆 C 的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1, 所以圆 C 的圆心为(1,0),半径 r=1, 因为圆心 C 到直线 l 的距离 d= 1 2 = <1, 2 2

所以直线 l 与圆 C 相交. [类题通法] 涉及参数方程和极坐标方程的综合题, 求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标 方程后求解.当然,还要结合题目本身特点,确定选择何种方程. [针对训练]
? ?x=cos θ, (2013· 石家庄质检)已知 P 为半圆 C:? (θ 为参数,0≤θ≤π)上的点,点 A 的 ?y=sin θ ?

π 坐标为(1,0),O 为坐标原点,点 M 在射线 OP 上,线段 OM 与半圆 C 的弧 AP 的长度均为 . 3 (1)以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点 M 的极坐标; (2)求直线 AM 的参数方程. π π π π 解:(1)由已知,点 M 的极角为 ,且|OM|= ,故点 M 的极坐标为( , ). 3 3 3 3 π 3π (2) 由 (1) 可 得 点 M 的 直 角 坐 标 为 ( , ) , A(1,0) , 故 直 线 AM 的 参 数 方 程 为 6 6

?x=1+?6-1?t, ? 3π ?y= 6 t

π

(t 为参数).

[课堂练通考点] 1.(2013· 重庆高考改编)在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴
?x=t2, ? 建立极坐标系.若极坐标方程为 ρcos θ=4 的直线与曲线? (t 为参数)相交于 A,B 两 3 ?y=t ?

点,求|AB|的值. 解:ρcos θ=4 化为直角坐标方程为 x=4
2 ? ?x=t , ? 化为普通方程为 y2=x3 3 ?y=t , ?

①,

②,

①②联立得 A(4,8),B(4,-8),故|AB|=16.
?x=t, ? 2.(2013· 江西高考改编)设曲线 C 的参数方程为? (t 为参数),若以直角坐标系的 2 ?y=t ?

原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求曲线 C 的极坐标方程. 解:消去曲线 C 中的参数 t 得 y=x2,将 x=ρcos θ,y=ρsin θ 代入 y=x2 中,得 ρ2cos2θ =ρsin θ,即 ρcos2θ-sin θ=0.

?x=2t, 3.(2014· 合肥模拟)在平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程为? 2 3 ?y= 2 + 2 t

1

(t 为参

数),若以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴非负半轴为极轴,且长度单位相同,建立极坐 π? 标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2cos? ?θ-4?.若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,求|AB|的 值. 解:首先消去参数 t,可得直线方程为 3x-y+ 为?x- 2 =0,极坐标方程化为直角坐标方程 2 1-? 10 6?2 = . 2 ?4?

?

2?2 ? 2 + y- ?2=1,根据直线与圆的相交弦长公式可得|AB|=2 2? ? 2?

4.(2013· 石家庄模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极 轴建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标方程为:ρsin2θ=cos θ. (1)求曲线 C 的直角坐标方程;

?x=2- 22t, (2)若直线 l 的参数方程为? 2 ?y= 2 t
点,求|AB|的值.

(t 为参数),直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两

解:(1)将 y=ρsin θ,x=ρcos θ 代入 ρ2sin2θ=ρcos θ 中,得 y2=x, ∴曲线 C 的直角坐标方程为:y2=x.

?x=2- 22t, (2)把? 2 ?y= 2 t,

代入 y2=x 整理得,

t2+ 2t-4=0,Δ>0 总成立. 设 A,B 两点对应的参数分别为 t1,t2, ∵t1+t2=- 2,t1t2=-4, ∴|AB|=|t1-t2|= ?- 2?2-4×?-4?=3 2. [课下提升考能]
?x=t+1, ? 1.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为? (t 为参数),曲线 C 的 ?y=2t ? ?x=2tan2θ, ? 参数方程为? (θ 为参数).试求直线 l 和曲线 C 的普通方程,并求出它们的公共 ? ?y=2tan θ

点的坐标.

? ?x=t+1, 解:因为直线 l 的参数方程为? (t 为参数),由 x=t+1 得 t=x-1,代入 y= ?y=2t ?

2t,得到直线 l 的普通方程为 2x-y-2=0. 同理得到曲线 C 的普通方程为 y2=2x.
?y=2?x-1?, ? 1 解方程组? 2 得公共点的坐标为(2,2),( ,-1). 2 ? y = 2 x , ?

2.(2014· 长春模拟)已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4cos θ,以极点为原点,极轴为 x 轴

?x=5+ 23t, 正半轴建立平面直角坐标系,设直线 l 的参数方程为? 1 ?y=2t
(1)求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程;

(t 为参数).

(2)设曲线 C 与直线 l 相交于 P,Q 两点,以 PQ 为一条边作曲线 C 的内接矩形,求该矩 形的面积. 解:(1)由 ρ=4cos θ,得 ρ2=4ρcos θ,即曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2=4x;

?x=5+ 23t, 由? 1 ?y=2t

(t 为参数),得 y=

1 (x-5),即直线 l 的普通方程为 x- 3y-5=0. 3

|2- 3×0-5| 3 (2)由(1)可知 C 为圆,且圆心坐标为(2,0),半径为 2,则弦心距 d= = , 2 1+3 弦长|PQ|=2 3 22-? ?2= 7, 因此以 PQ 为一条边的圆 C 的内接矩形面积 S=2d· |PQ|=3 7. 2

?x=2+2cos φ, ? 3.在直角坐标系 xOy 中,圆 C1 和 C2 的参数方程分别是? (φ 为参数)和 ?y=2sin φ ? ?x=cos φ, ? ? (φ 为参数).以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. ? ?y=1+sin φ

(1)求圆 C1 和 C2 的极坐标方程; (2)射线 OM:θ=α 与圆 C1 的交点为 O,P,与圆 C2 的交点为 O,Q,求|OP|· |OQ|的最 大值. 解:(1)圆 C1 和圆 C2 的普通方程分别是(x-2)2+y2=4 和 x2+(y-1)2=1, 所以圆 C1 和 C2 的极坐标方程分别是 ρ=4cos θ 和 ρ=2sin θ. (2)依题意得,点 P,Q 的极坐标分别为 P(4cos α,α), Q(2sin α,α),所以|OP|=|4cos α|,|OQ|=|2sin α|.从而|OP|· |OQ|=|4sin 2α|≤4,当且仅当 sin 2α=± 1 时,上式取“=”,

即|OP|· |OQ|的最大值是 4. 4.(2013· 福建模拟)如图,在极坐标系中,圆 C 的圆心坐标为(1,0),半径为 1. (1)求圆 C 的极坐标方程; (2)若以极点 O 为原点,极轴所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系.已知直线 l

?x=-1+tcos 6, 的参数方程为? π ?y=tsin 6
OM,BM,在 Rt△OBM 中, |OM|=|OB|cos ∠BOM, 所以 ρ=2cos θ.

π

(t 为参数),试判断直线 l 与圆 C 的位置关系.

解:(1)如图,设 M(ρ,θ)为圆 C 上除点 O,B 外的任意一点,连接

π 可以验证点 O(0, ),B(2,0)也满足 ρ=2cos θ, 2 故 ρ=2cos θ 为所求圆的极坐标方程.

?x=-1+tcos 6, (2)由? π ?y=tsin 6

π

(t 为参数),得直线 l 的普通方程为 y=

3 (x+1), 3

即直线 l 的普通方程为 x- 3y+1=0. 由 ρ=2cos θ,得圆 C 的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1. |1×1- 3×0+1| 因为圆心 C 到直线 l 的距离 d= =1, 2 所以直线 l 与圆 C 相切. 5.(2014· 郑州模拟)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 经过点 P(-1,0),其倾斜角为 α.以原 点 O 为极点,以 x 轴非负半轴为极轴,与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,建立极坐标 系.设曲线 C 的极坐标方程为 ρ2-6ρcos θ+5=0. (1)若直线 l 与曲线 C 有公共点,求 α 的取值范围; (2)设 M(x,y)为曲线 C 上任意一点,求 x+y 的取值范围. 解:(1)将曲线 C 的极坐标方程 ρ2-6ρcos θ+5=0 化为直角坐标方程为 x2+y2-6x+5 =0.
?x=-1+tcos α, ? 直线 l 的参数方程为? (t 为参数). ? ?y=tsin α ? ?x=-1+tcos α, 将? (t 为参数)代入 x2+y2-6x+5=0 整理得,t2-8tcos α+12=0. ?y=tsin α ?

∵直线 l 与曲线 C 有公共点,∴Δ=64cos2α-48≥0,

∴cos α≥

3 3 或 cos α≤- . 2 2

π? ? 5? ? ∵α∈[0,π),∴α 的取值范围是? ?0,6?∪ ? ,? ? .

?6

?

(2)曲线 C 的方程 x2+y2-6x+5=0 可化为(x-3)2+y2=4,
? ?x=3+2cos θ, 其参数方程为? (θ 为参数). ?y=2sin θ ?

∵M(x,y)为曲线 C 上任意一点, π ∴x+y=3+2cos θ+2sin θ=3+2 2sin(θ+ ), 4 ∴x+y 的取值范围是[3-2 2,3+2 2].

?x=acos φ, 6.(2014· 昆明模拟)已知曲线 C 的参数方程是? (φ 为参数,a>0),直线 l 的 ?y= 3sin φ
?x=3+t, ? 参数方程是? (t 为参数),曲线 C 与直线 l 有一个公共点在 x 轴上,以坐标原点为 ?y=-1-t ?

极点,x 轴的正半轴为极轴建立坐标系. (1)求曲线 C 的普通方程; (2)若点 A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+ 2π 4π 1 1 1 ),C(ρ3,θ+ )在曲线 C 上,求 + + 的值. 3 3 |OA|2 |OB|2 |OC|2

x2 解: (1)直线 l 的普通方程为 x+y=2, 与 x 轴的交点为(2,0). 又曲线 C 的普通方程为 2+ a y2 x2 y2 =1,所以 a=2,故所求曲线 C 的普通方程是 + =1. 3 4 3 2π? ? 4π? (2)因为点 A(ρ1,θ),B? ?ρ2,θ+ 3 ?,C?ρ3,θ+ 3 ?在曲线 C 上,即点 A(ρ1cos θ,ρ1sin θ), 2π? 2π ? 4π? ? 4π? Bρ2cos? ?θ+ 3 ?,ρ2sin(θ+ 3 ,Cρ3cos?θ+ 3 ?,ρ3sin?θ+ 3 ?在曲线 C 上. 故 1 1 1 1 1 1 + + = 2+ 2+ 2 |OA|2 |OB|2 |OC|2 ρ1 ρ2 ρ3

2? ? 4? ?? 1 1? ? 2? = ?cos 2?+cos 2 ? ?+ ?+cos ? ?+ ? ? +3 4 3 3 ? ? ? ? ?? ? 2 2? ? 4? ?? 2? 2? ?sin ?+sin ??+ 3 ?+sin ??+ 3 ?? ? ? ? ?? ?
? 4? ? 8? ? ? ? ? 1+cos ? 2?+ ? 1+cos ? 2?+ ? ? ? +cos2? 1 1 3 ? 3 ? ? ? ?+ + + = ? 4 2 2 2 ? ? ? ? ? ?

? 4? ? 8? ? ? ? ? 1-cos ? 2?+ ? 1-cos ? 2?+ ? ? ? -cos2? 1 1 1 3 1 3 7 3 ? 3 ? ? ? ? ? =4×2+3×2=8. + + 3 2 2 2 ? ? ? ? ? ?


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