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广东省江门市2013年高三调研测试理科数学题目及答案


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试卷类型:A

江门市 2013 年普通高中高三调研测试


参考公式:锥体的体积公式 V ?

学(理科)试



本试卷共 4 页,21 题,满分 150 分,测试用时 120 分钟.

1 Sh ,其中 S

是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3 如果事件 A 、 B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) .

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的.
⒈已知 A ? x | x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 , B ? x | x 2 ? 1 ,则 A ? B ? A. ?1 ? B. ? ? 1 ? C. ?1 , ? 1 , 5 ? D. ?1 , ? 1 , ? 5 ?

?

?

?

?

⒉已知 a ? (?3 , 4) , b ? (5 , 2) ,则 | a ? b |? A. 2 10 ⒊已知命题 p : m ? 2 ; 命题 q :复平面内表示复数 z ? 1 ? (?1 ? m) i ( m ? R , i 是虚数单位)的点位于 直线 y ? x 上。 则命题 p 是命题 q 的 A.充分非必要条件 C.非充分非必要条件 ⒋函数 f ( x ) ? ? sin( 2 x ? A.周期为 ? 的奇函数 C.周期为 ? 的偶函数 格产品的概率 p ? A. B.必要非充分条件 D.充要条件 B. 2 5 C. ? 7 D. 40

3 ? ) 在其定义域上是 2

B.周期为 2? 的奇函数 D.周期为 2? 的偶函数

⒌某种饮料每箱装 6 听,如果其中有 2 听不合格。质检人员从中随机抽出 2 听,检出不合

1 2

B.

1 3

C.

2 3

D. 0 .6

2 ⒍以抛物线 y ? 8x ? 0 的顶点为中心、 焦点为一个顶点且离心率 e ? 2 的双曲线的标准方

程是 A.

x2 y2 ? ?1 4 12

B.

x2 y2 ? ?1 16 48

C.

y2 x2 ? ?1 4 12

D.

x2 y2 ? ?1 16 48

⒎已知一个几何体的三视图及其大小如图 1,这个几何体的体积 V ? A. 12? B. 16? C. 18? D. 64?

⒏输入正整数 n ( n ? 2 )和数据 a1 , a2 ,?, an , 如果执行如图 2 的程序框图,输出的 s 是数据 a1 , a2 ,?, an 的平均数,则框图的处 理框★中应填写的是 A. s ? s ? ai C. s ? B. s ? D. s ?

s ? ai n (i ? 1) ? s ? ai n

(i ? 1) ? s ? ai i

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题)
⒐已知等差数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 ,前三项之和 S 3 ? 9 ,则 ?an ? 的通项 an ? ____.

?0 ? x ? 3 ? ⒑已知 x 、 y 满足约束条件 ?0 ? y ? 4 ,则 z ? x ? y 的最大值是 ?x ? 2 y ? 8 ?
2 3 4 ⒒已知 n 是正整数,若 Cn ? Cn ? Cn ,则 n 的取值范围是



. . .

2 2 ⒓与圆 C : x ? y ? 2x ? 4 y ? 0 关于直线 l : x ? y ? 0 对称的圆的方程是

⒔曲线 y ? ln(2 x) 上任意一点 P 到直线 y ? 2 x 的距离的最小值是

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题)
A
⒕(几何证明选讲选做题)如图 3,圆 O 的割线 PAB 交圆

B

P

O 于 A 、 B 两点,割线 PCD 经过圆心。已知 PA ? 6 ,

C
图3

? O

D

1 AB ? 7 , PO ? 12 。则圆 O 的半径 R ? ____ . 3

⒖(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系 ( ? , ? ) ( 0 ? ? ? 2? )中,直线 ? ?

?
4

被圆

? ? 2 sin ? 截得的弦的长是



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
⒗(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A 、 B 、C 所对的边长分别为 a 、b 、c ,已知 cos A ? cos 2 A ? 0 . ⑴求角 A 的大小; ⑵若 a ? 3 , b ? 2 ,求 sin( B ? ⒘(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, F1 (?4 , 0) , F2 (4 , 0) , P 是平面上一点,使三角形

?
4

) 的值.

PF1 F2 的周长为 18 .
⑴求点 P 的轨迹方程; ⑵在 P 点的轨迹上是否存在点 P1 、 P2 ,使得顺次连接点 F1 、 P1 、 F2 、 P2 所得到的 四边形 F1 P F2 P2 是矩形?若存在,请求出点 P1 、 P2 的坐标;若不存在,请简要说明理由. 1 ⒙(本小题满分 14 分) 如图 4, 四棱锥 P ? ABCD 中,PA ? 底面 ABCD ,ABCD 是直角梯形,E 为 BC 的
0 中点, ?BAD ? ?ADC ? 90 , AB ? 3 , CD ? 1 , PA ? AD ? 2 .

⑴求证: DE ? 平面 PAC ; ⑵求 PA 与平面 PDE 所成角的正弦值.

图4

⒚(本小题满分 14 分) 如图 5 所示,有两个独立的转盘(A)(B) 、 ,其中三个扇形区域的圆心角分别为 60 、
0

1200 、 1800 。用这两个转盘玩游戏,规则是:依次随机转动两个转盘再随机停下(指针
固定不动,当指针恰好落在分界线时,则这次转动无效,重新开始)为一次游戏,记转盘 (A)指针所对的数为 x ,转盘(B)指针对的数为 y 。设 x ? y 的值为 ? ,每次游戏得到 的奖励分为 ? 分. ⑴求 x ? 2 且 y ? 1 的概率; ⑵某人玩 12 次游戏,求他平均可以得到多少奖励分?

1

3
2 1

3

2
(A) (A)

(B) 图5

⒛(本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 ,且对任意正整数 n ,点 (an?1 , S n ) 在直线

2 x ? y ? 2 ? 0 上.
⑴求数列 ?an ? 的通项公式; ⑵若 bn ? nan ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和.
2

21(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? bx ? c 在 (?? , 0) 上是减函数,在 (0 , 1) 上是增函数.
3 2

⑴求 b 的值,并求 a 的取值范围; ⑵判断 f (x) 在其定义域 R 上的零点的个数.

理科数学评分参考
一、选择题: BADC DABC 二、填空题:
? ⒐ 2n ? 1 ; ⒑ 7 ; ⒒ n ? 9 且 n ? N ( n ? 9 ”或“ n ? “

9 ? 73 ”4 分) ; 2

⒓ ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 5 ;



5 ; 5

⒕8 ; ⒖ 2 .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
2 ⒗解:⑴由 cos A ? cos 2 A ? 0 得 2 cos A ? cos A ? 1 ? 0 ??2 分,

解得 cos A ? ?1 或 cos A ?

1 ??4 分, 2

因为 A 是三角形的内角, 0 ? A ? ? ,所以 A ? ⑵由正弦定理

?
3

??6 分

a b ? 得 sin A sin B

3 sin

?
3

?

2 3 ??8 分, 解得 sin B ? ??9 分, sin B 3

6 ??10 分, 3 3 ? ? ? 6?2 3 所以 sin(B ? ) ? sin B cos ? cos B sin ? ??12 分. 4 4 4 6 ⒘解:⑴依题意, | PF | ? | PF2 | ? | F1 F2 |? 18??1 分, 1
因为 b ? a ,所以 0 ? B ? A ? , cos B ?

?

| F1 F2 |? 8 ,所以 | PF1 | ? | PF2 |? 10 ,点 P 的轨迹是椭圆??2 分,
2a ? 10 , 2c ? 8 ? ? 3 分 , 所 以 a ? 5 , c ? 4 , b ? 3 , 椭 圆 的 方 程 为

x2 y2 ? ? 1 ??4 分,因为 PF1 F2 是三角形,点 P 不在直线 F1 F2 上(即不在 x 轴上) , 25 9
所以点 P 的轨迹方程为

x2 y2 ? ? 1 ( y ? 0 )??5 分. 25 9
1 | F1 F2 |? 4 (或 k P1F1 ? k P1F2 ? ?1)??7 分, 2

⑵根据椭圆的对称性, 1 P F2 P2 是矩形当且仅当直线 P P2 经过原点 O , ?F1 P F2 是 且 F 1 1 1 直角??6 分,此时 | OP1 |?

? 2 175 ? 5 7 ? x2 y2 ? x ? 16 ? x ? ? ?1 ? ? ? ? 4 ??10 分,所 设 P ( x , y ) ,则 ? 25 ??9 分,解得 ? ,? 9 1 81 ?y2 ? ?y ? ? 9 ? x 2 ? y 2 ? 16 ? ? ? 16 ? 4 ?

以有 2 个这样的矩形 F1 P F2 P2 ,对应的点 P1 、 P2 分别为 ( 1

5 7 9 5 7 9 , ) 、 (? , ? )或 4 4 4 4

5 7 9 5 7 9 , ? ) ??12 分. , )、( 4 4 4 4 ⒙证明与求解:⑴因为 PA ? ABCD , DE ? ABCD ,所以 PA ? DE ??1 分, 取 AD 的中点 F ,连接 EF ,则 EF 是梯形 ABCD 的中位线,所以 EF // AB 且 AB ? CD EF ? ? 2 ??3 分,在 Rt?ADC 和 Rt?DEF 中, ?EFD ? ?ADC ? 900 , 2 EF AD ? ? 2 ,所以 ?EFD ∽ ?ADC ??5 分, ?FED ? ?DAC ,所以 AC ? DE DF DC ??6 分,因为 PA ? AC ? A ,所以 DE ? 平面 PAC ??7 分. ⑵(方法一)由⑴知平面 PDE ? 平面 PAC ??8 分, 设 DE ? AC ? G ,连接 PG ,在 Rt?PAG 中作 AH ? PG ,垂足为 H ,则 AH ? 平面 PDE ??10 分,所以 ?APH 是 PA 与平面 PDE 所成的角??11 分, CD 1 ? 由 ⑴ 知 , 在 Rt?ADG 中 , AD ? 2 , tan ?CAD ? , 所 以 AD 2 4 6 AG ? AD ? c o ?C A D s ? ??12 分, 因为 PA ? ABCD , 所以 PG ? ??13 分, 5 5 AG 2 sin ?APH ? sin ?APG ? ? ,即为 PA 与平面 PDE 所成角的正弦值??14 分. PG 3 (方法二)依题意,以 A 为原点, AD 、 AB 、 AP 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 (?

z 轴建立空间直角坐标系??8 分,则直线 PA 的方向向量为 AP ? (0 , 0 , 1) ??9 分,
P D B C E 依题意, (0 , 0 , 2) 、 (2 , 0 , 0) 、 (0 , 3 , 0) 、 (2 , 1 , 0) 、 (1 , 2 , 0) ??
10 分,从而 DP ? (?2 , 0 , 2) , DE ? (?1 , 2 , 0) ??11 分,设平面 PDE 的一个法向 量为 n ? (a , b , c) ,则 ?

?n ? DP ? ?2a ? 2c ? 0 ? ? n ? DE ? ?a ? 2b ? 0 ?

??12 分,所以 a ? c ? 2b ,可选取平

面 PDE 的一个法向量为 n ? (2 , 1 , 2) ??13 分, 所以 PA 与平面 PDE 所成角的正弦值 为 cos n , AP ?

n ? AP n ? AP

?

2 ??14 分. 3
1 1 1 1 , P( x ? 2) ? , P( x ? 3) ? , P( y ? 1) ? , 6 3 2 3

⒚解: ⑴由几何概型知 P ( x ? 1) ?

P ( y ? 2) ?

1 1 , P ( y ? 3) ? ??3 分, (对 1-2 个给 1 分,3-4 个给 2 分,??) 2 6 1 2 所以 P( x ? 2) ? P( x ? 1) ? , P ( y ? 1) ? P ( y ? 2) ? P ( y ? 3) ? ??5 分, 6 3

P( x ? 2且y ? 1) ? P( x ? 2) ? P( y ? 1) ?

1 ??7 分. 9
4 5 6

⑵ ? 的取值为 2、3、4、5、6??8 分,其分布列为

?
P

2

3

1 18

7 36

13 36

11 36

1 12
??11 分

他平均每次可得到的奖励分为

1 7 13 11 1 25 ? 3? ? 4? ? 5? ? 6 ? ??12 分, ? ??13 分, 18 36 36 36 12 6 所以,他玩 12 次平均可以得到的奖励分为 12 ? E? ? 50 ??14 分. E? ? 2 ?
(第二问,若学生直接求出转盘A的期望和转盘B的期望再相加,则求转盘A的期望 给 3 分,求转盘 B 的期望给 3 分,相加 1 分) ⒛解:⑴因为点 (an?1 , S n ) 在直线 2 x ? y ? 2 ? 0 上,所以 2an ?1 ? Sn ? 2 ? 0 ??1 分, 当 n ? 1 时, 2an ? S n?1 ? 2 ? 0 ??2 分,两式相减得

2an?1 ? 2an ? S n ? S n?1 ? 0 ,即 2an?1 ? 2an ? an ? 0 , a n ?1 ?
又当 n ? 1 时, 2a2 ? S1 ? 2 ? 2a2 ? a1 ? 2 ? 0 , a 2 ? 所以 ?an ? 是首项 a1 ? 1 ,公比 q ?

1 a n ??3 分 2

1 1 ? a1 ??4 分 2 2

1 的等比数列??5 分, 2

1 ? ( ) n ?1 ??6 分. 2 n 2 ⑵由⑴知, bn ? na n ? n ?1 ??7 分,记数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,则 4 2 3 n ?1 n Tn ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ? 2 ? n ?1 ??8 分, 4 4 4 4 3 n ?1 n 4Tn ? 4 ? 2 ? ? ? ? n ?3 ? n ? 2 ??9 分,两式相减得 4 4 4 1 1 1 n 16 3n ? 4 3Tn ? 5 ? ? ? ? n ?3 ? n ? 2 ? n ?1 ??11 分, ? ??13 分, 4 3 3 ? 4 n ?1 4 4 4 16 3n ? 4 ? 所以,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ? ??14 分. 9 9 ? 4 n ?1
21.解:⑴由已知得 f ( x) ? ?3x ? 2ax ? b ??1 分,
/ 2

?an ?的通项公式为 an

因为 f (x) 在 (?? , 0) 上是减函数,在 (0 , 1) 上是增函数,所以 f (x) 在 x ? 0 处取得
/ 极小值, f (0) ? 0 ??2 分,解得 b ? 0 ??3 分,

又因为 f (x) 在 (0 , 1) 上是增函数, 所以 f / ( x) ? ?3x 2 ? 2ax ? 0 ,a ? 当 x ? (0 , 1) 时, 0 ?

3 x ??4 分, 2

3 3 3 x ? ,所以 a 的取值范围是 a ? ??5 分, 2 2 2 2a 2a / ) ,解 f / ( x) ? 0 得 x ? 0 或 x ? ( ? 0) ??6 分, ⑵由⑴得 f ( x ) ? ?3 x ( x ? 3 3 2a 2a 2a (?? , 0) (0 , ) ( , ? ?) 0 x 3 3 3

f / ( x)
f (x)
??9 分

- 递减

0
极小值

+ 递增

0
极大值

- 递减

2a , f ( x) ? 0 , x 取某个充分大的实数(例 3 2a , x1 ) 如 x1 ?| a | ? | 3 c | )时, f ( x1 ) ? 0 , f (x) 在定义域上连续,所以 f (x) 在区间 ( 3 上有一个零点,从而 f (x) 在其定义域 R 上有 1 个零点??10 分;
①当 f (0) ? c ? 0 时,由上表知 ?x ? ②当 f (0) ? c ? 0 时, f (x) 在区间 (

2a , x1 ) 上有一个零点,从而 f (x) 在其定义域 3

R 上有 2 个零点??11 分;

4 3 2a 4 3 a ,则 f ( ) ? a ? c ? 0 , x 取某个 27 3 27 充分小的实数(例如 x2 ? ? | a | )时, f ( x2 ) ? 0 ,所以 f (x) 在区间 ( x2 , 0) 上有一个零 点,从而 f (x) 在其定义域 R 上有 2 个零点??12 分;
③当 f (0) ? c ? 0 时, (ⅰ)若 c ? ?

4 3 2a 4 3 a ,则 f ( ) ? a ? c ? 0 时,由上表知 ?x ? 0 , f ( x) ? 0 , 27 3 27 f (x) 在区间 ( x2 , 0) 上有一个零点,从而 f (x) 在其定义域 R 上有 1 个零点??13 分;
(ⅱ)若 c ? ? (ⅲ)若 ?

4 3 2a 4 3 a ? c ? 0 ,则 f ( ) ? a ? c ? 0 时, f (x) 在区间 ( x2 , 0) 、 27 3 27

2a 2a ) 、 ( , x1 ) 上各有一个零点,从而 f (x) 在其定义域 R 上有 3 个零点??14 分; 3 3 4 3 a 时, f (x) 在其定义域 R 上有 1 个零点;当 c ? 0 或 综上所述, c ? 0 或 c ? ? 当 27 4 4 3 c ? ? a 3 时, f (x) 在其定义域 R 上有 2 个零点;当 ? a ? c ? 0 时, f (x) 在其定 27 27 义域 R 上有 3 个零点. (0 ,
(说明:讨论不分顺序,合理有效即相应给分)


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