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【优化方案】2016年高考数学二轮复习 第一部分专题三 数列 第1讲 等差数列、等比数列专题强化精练提能 理


第一部分专题三 数列 第 1 讲 等差数列、等比数列专题强化精练提 能 理
1.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S2=4,S4=20,则该数列的公差 d=( ) A.2 B.3 C.6 D.7 解析:选 B.S2=2a1+d=4,S4=4a1+6d=20,解得 d=3. 2.(2015·江西省质量监测)已知数列{an}满足 a1=15,且 3an+1=3

an-2.若 ak·ak+1<0, 则正整数 k=( ) A.21 B.22 C.23 D.24 2 47 2 解析: 选 C.3an+1=3an-2? an+1=an- ? {an}是等差数列, 则 an= - n.因为 ak+1· ak<0, 3 3 3 2 ? 45 47 ?47 2 ?? 所以? - k??15- k?<0,所以 <k< ,所以 k=23,故选 C. 3 3 3 2 2 ? ?? ? 3. (2015·洛阳市统考)设等比数列{an}的公比为 q, 则“0<q<1”是“{an}是递减数列” 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 n n-1 n-1 解析:选 D.an+1-an=a1q -a1q =a1q (q-1),而 a1 的正负性未定,故无法判断数列 {an}的单调性,因此“0<q<1”是“{an}是递减数列”的既不充分也不必要条件. 2 4.(2015·高考福建卷)若 a,b 是函数 f(x)=x -px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点, 且 a,b,-2 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p+q 的 值等于( ) A.6 B.7 C.8 D.9 ? ?a+b=p>0, 解析:选 D.不妨设 a>b,由题意得? 所以 a>0,b>0, ?ab=q>0, ? 则 a,-2,b 成等比数列,a,b,-2 成等差数列, 2 ?ab=(-2) , ?a=4, ? ? 所以? 所以? 所以 p=5,q=4,所以 p+q=9. ?a-2=2b, ?b=1, ? ? * 5.(2015·洛阳市双基测试)数列{an}满足 an-an+1=an·an+1(n∈N ),数列{bn}满足 bn 1 = ,且 b1+b2+?+b9=90,则 b4·b6( )

an

A.最大值为 99 B.为定值 99 C.最大值为 100 D.最大值为 200 解析:选 B.将 an-an+1=anan+1 两边同时除以 anan+1,可得 1

an+1 an

1 - =1,即 bn+1-bn=1,

9(b1+b9) 所以{bn}是公差为 d=1 的等差数列,其前 9 项和为 =90,所以 b1+b9=20,将 2 b9=b1+8d=b1+8,代入得 b1=6,所以 b4=9,b6=11,所以 b4b6=99,故选 B. 6.已知数列{an},则有( ) 2 n * A.若 an=4 ,n∈N ,则{an}为等比数列 2 * B.若 an·an+2=an+1,n∈N ,则{an}为等比数列
1

C.若 am·an=2 ,m,n∈N ,则{an}为等比数列 * D.若 an·an+3=an+1·an+2,n∈N ,则{an}为等比数列 2 n * 解析:选 C.若 a1=-2,a2=4,a3=8,满足 an=4 ,n∈N ,但{an}不是等比数列,故 A 2 * 错;若 an=0,满足 an·an+2=an+1,n∈N ,但{an}不是等比数列,故 B 错;若 an=0,满足 an·an+3=an+1·an+2,n∈N*,但{an}不是等比数列,故 D 错;若 am·an=2m+n,m,n∈N*,则 am·an+1 an+1 2m+n+1 有 = = m+n =2,则{an}是等比数列. am·an an 2 7.(2015·高考全国卷Ⅰ)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn 为{an}的前 n 项和.若 Sn=126,则 n=________. 解析:因为 a1=2,an+1=2an, 所以数列{an}是首项为 2,公比为 2 的等比数列. n 2(1-2 ) 又因为 Sn=126,所以 =126,所以 n=6. 1-2 答案:6 * 8.(2015·德州模拟)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=-1,Sn=2an+n(n∈N ),则 an=________. 解析:因为 Sn=2an+n,① 所以 Sn+1=2an+1+n+1,② ②-①,可得 an+1=2an-1,即 an+1-1=2(an-1),又因为 a1=-1,所以数列{an-1} 是以-2 为首项,2 为公比的等比数列, n-1 n n 所以 an-1=(-2)·2 =-2 ,所以 an=1-2 . n 答案:1-2 5 9.(2014·高考广东卷)若等比数列{an}的各项均为正数,且 a10a11+a9a12=2e ,则 ln a1 +ln a2+?+ln a20=________. 5 5 解析:因为 a10a11+a9a12=2a10a11=2e ,所以 a10a11=e . 所以 ln a1 + ln a2 +?+ ln a20 = ln(a1a2 ? a20) = ln[(a1a20)·(a2a19)·?·(a10a11)] = 10 5 ln(a10a11) =10ln(a10a11)=10ln e =50ln e=50. 答案:50 10.已知 f(x)是定义在 R 上不恒为零的函数,对于任意的 x,y∈R,都有 f(xy)=xf(y) n * +yf(x)成立.数列{an}满足 an=f(2 )(n∈N ),且 a1=2,则数列{an}的通项公式为 an= ________. 解析:令 x=2,y=2
n-1

m+n

*

,则 f(xy)=f(2 )=2f(2

n

n-1

)+2

n-1

an f(2),即 an=2an-1+2n, n=
2

?an? an n-1+1,所以数列? n?是首项为 1,公差为 1 的等差数列,由此可得 n=1+(n-1)×1=n, 2 2 ?2 ?

an-1

即 an=n·2 . n 答案:n·2 11.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,其中 a1=3,S5-S2=27. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 Sn,2 2(an+1+1),Sn+2 成等比数列,求正整数 n 的值. 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d, 则 S5-S2=3a1+9d=27, 又 a1=3,则 d=2,故 an=2n+1. 2 (2)由(1)可得 Sn=n +2n, 2 又 Sn·Sn+2=8(an+1+1) , 2 2 即 n(n+2) (n+4)=8(2n+4) , 2 化简得 n +4n-32=0, 解得 n=4 或 n=-8(舍),所以 n 的值为 4. π? ? 12.已知 α 为锐角,且 tan α = 2-1,函数 f(x)=2x·tan 2α +sin?2α + ?, 4? ?
2

n

数列{an}的首项 a1=1,an+1=f(an). (1)求函数 f(x)的表达式; (2)求数列{an}的通项公式. 2tan α 2( 2-1) 解:(1)tan 2α = = =1, 2 1-tan α 1-( 2-1)2 π 因为 α 是锐角,所以 2α = , 4 π ? ? 所以 sin?2α + ?=1,所以 f(x)=2x+1. 4? ? (2)因为 a1=1,an+1=f(an),所以 an+1=2an+1, an+1+1 所以 an+1+1=2(an+1), =2(常数), an+1 所以{an+1}是首项为 a1+1=2,公比 q=2 的等比数列, n 所以 an=2 -1. 13.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn=3an+2n. (1)求证:数列{an-2}是等比数列; (2)求数列?
?
n?的前 n 项和 Tn. ?2×3 ?

an ?

解:(1)证明:由 Sn=3an+2n, 得 Sn+1=3an+1+2(n+1), 以上两式相减得 an+1=3an+1-3an+2, 3 即 an+1= an-1, 2 3 所以 an+1-2= (an-2). 2 又因为 S1=a1=3a1+2, 所以 a1=-1,a1-2=-3. 3 故数列{an-2}是以-3 为首项, 为公比的等比数列. 2 n-1 ?3? (2)由(1)得 an-2=-3×? ? , ?2? n-1 ?3? 所以 an=2-3×? ? . ?2? an 1 1 所以 n= n- n, 2×3 3 2 1 1 1? 1? 1- n? 1- n? ? ? ? ? 3 2 3? ? 2? ? 1 1 1 所以 Tn= - = n- n- . 1 1 2 2×3 2 1- 1- 3 2 * 14.(2015·日照模拟)若数列{bn}对于 n∈N ,都有 bn+2-bn=d(常数),则称数列{bn} ?4n-1,n为奇数, ? 是公差为 d 的准等差数列,如数列{cn},若 cn=? 则数列{cn}是公差为 8 ?4n-9,n为偶数, ? * 的准等差数列.设数列{an}满足 a1=a,对于 n∈N ,都有 an+an+1=2n. (1)求证:{an}为准等差数列; (2)求{an}的通项公式及前 20 项和 S20. 解:(1)证明:因为 an+1+an=2n,① 所以 an+2+an+1=2n+2.② * 由②-①得 an+2-an=2(n∈N ), 所以{an}是公差为 2 的准等差数列.
3

(2)已知 a1=a,an+1+an=2n(n∈N ), 所以 a1+a2=2,即 a2=2-a. 所以由(1)可知 a1,a3,a5,?,成以 a 为首项,2 为公差的等差数列,a2,a4,a6,?, 成以 2-a 为首项,2 为公差的等差数列.

*

? ? 所以当 n 为偶数时,an=2-a+? -1?×2=n-a, ?2 ? ?n+1-1?×2=n+a-1, 当 n 为奇数时,an=a+? ? ? 2 ? ?n+a-1,n为奇数, ? 所以 an=? ?n-a,n为偶数. ? S20=a1+a2+?+a19+a20 =(a1+a2)+(a3+a4)+?+(a19+a20) (1+19)×10 =2×1+2×3+?+2×19=2× =200. 2
n

4


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