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海南省文昌中学2014-2015学年高一数学下学期期末考试试题 理


文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

2014—2015 学年度第二学期高一年级数学(理科)期考试题
(完成时间:120 分钟 满分:150 分) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,答案写在答题卡上 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分.) 1.已知向量 a ? (?1,2) , b ? (2, x) ,若 a ? b ,则实数 x 等于( A.1 最小正周期是 π 的函数是( A. y ? tan 2 x C. y ? sin ? B. -1 ) B. y ? sin x D. y ? cos ? C.-4

?

?

?

?

) D.42.下列函数中是奇函数,且

?π ? ? 2x ? ?2 ?

? 3π ? ? 2x ? ? 2 ?
) D. ?

3.在 ?ABC 中, BD ? A.

??? ?

? ???? 3 ??? BC ,设 AB ? a, AC ? b ,则向量 AD ? ( 4
B.

1? 3? a? b 4 4

3? 1? a? b 4 4

C.

7? 3? a? b 4 4


7? 3? a? b 4 4

4. 已知 sin 2? ?

24 ? (0, ) ,? ? ,则 sin? ? cos ? =( 25 4
B.

A.-

1 5

1 5

第5题

C. ?

7 5

D.

7 5


5. 阅读右面的程序框图,输出结果 s 的值为( A.

1 2
1 16

B.

3 16
1 8

C.

D.

6. 已知 | p |? 2 2 ,| q |? 3 , p, q 的夹角为 点,则 | AD | 为( A.

? ?

?

? ? ?

????

??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ,如图,若 AB ? 5 p ? 2q , AC ? p ? 3q , D 为 BC 的中 4

) B.

15 2

15 2

C.7

D.18

7. 甲乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为 a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字 记为 b,其中 a,b∈{1,2,3,4,5,6},若 a=b 或 a=b-1,就称甲乙“心有灵犀”现在任意找两人玩这个游 戏,则他们“心有灵犀”的概率为( )
1

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com A.

7 36

B.

1 4

C.

11 36

D.

5 12
)

8.若函数 f ( x) ? sin ?x ? 3cos ?x ?? ? 0? 的最小正周期为 ? ,则它的图像的一个对称中心为( A. (

?
2

,0)

B. (

?
3

,0)

C. (

?
6

,0)

D. ( )

?
12

, 0)

9.函数 f ? x ? ? ? x ?

? ?

1? ? cos x ( ?? ? x ? ? 且 x ? 0 )的图象可能( x?

A.

B.

C.

D.

10. 定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x),且在[-3,-2]上是减函数,若 ? , ? 是锐角三角形的两个 内角,则( ) B. f ?sin ? ? ? f ?cos ? ? D. f ?cos? ? ? f ?cos? ? A. f ?sin ? ? ? f ?cos ? ? C. f ?sin ? ? ? f ?sin ? ?

11.由函数 f ( x) ? sin 2 x 的图像得到 g ( x) ? cos(2 x ?

?
3

) 的图像,可将 f ( x) 的图象(



? 个单位 6 ? C.向右平移 个单位 12
A.向左平移
tan ?OPB 的值为(

? 个单位 6 ? D.向左平移 个单位 12
B.向右平移

12.函数 y ? sin ? x ? x ? R ? 的图象如图所示,设 O 为坐标原点,P 是图象的最高点,B 是图象与 x 轴的交点, 则 ) B.8 D.
4 7

A.10 C.
8 7

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分)
2

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 13.如图为 y ? A cos(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0, ? ? 图象的一段,其解析式

?

2
.

)的

14.已知 A(2,3) , B(3, 0) ,且 AC ? ?2CB ,则点 C 的 坐标为 .

??? ?

??? ?

15. 欧阳修《卖油翁)中写到: “ (翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌漓沥之,自钱孔入,而 钱不湿” ,可见“行行出状元” ,卖油翁的技艺让人叹为观止,若铜钱是直径为 4 cm 的圆,中间有边 长为 l cm 的正方形孔.若随机向铜钱上滴一滴油(设油滴整体落在铜钱上) .则油滴(设油滴是直径 为 0. 2 cm 的球)正好落入孔中(油滴整体落入孔中)的概率是 16.给出下列说法,其中说法正确的序号是 ① 小于 90 的角是第Ⅰ象限角;
o

.

.

②若 ? 是第Ⅰ象限角,则 tan ? ? sin ? ;

③ 若 f ( x) ? cos 2 x , x2 ? x1 ? ? ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ④ 若 f ( x) ? sin 2 x , g ( x) ? cos 2 x , x1 、 x2 是方程 f ( x)=g ( x) 的两个根,则 x2 ? x1 的最小值是

?.

三、解答题 (总分 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 10 分) 已知 a 、 b 、 c 是同一平面内的三个向量,其中 a ? (1, 2) , b ? (?2 , 3) , c ? (?2 , m) (1)若 a ? (b ? c) ,求 c ; (2)若 ka ? b 与 2a ? b 共线,求 k 的值.

?

?

?

?

?

?

?

? ?

?

? ?

?

?

π 18. (本小题满分 12 分) 某同学用“五点法”画函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (? ? 0, | ? |? ) 在某一个周期内的 2
图象时,列表并填入了部分数据,如下表:

?x ??

0

π 2 π 3

π

3π 2 5π 6



x
A sin(? x ? ? )

0

5

?5

0

(Ⅰ)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置 ,并直接写出函数 f ( x) 的解析式; ...........
3

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (Ⅱ)令 g(x)=f (x+ 围.

? ? ? )—1,当 x∈[— , ] 时,若存在 g(x)<a—2 成立,求实数 a 的取值范 3 6 3

19.(本小题满分 12 分)某班同学利用国庆节进行社会实践,对[25,55]岁的人群随机抽取 n 人进行了 一次生活习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族” ,否则称为“非 低碳族” ,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图:

(1)补全频率分布直方图并求 n、a、p 的值; (2)从年龄段在[40,50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取 6 人参加户外低碳体验活动,其中选取 2 人作为领队,求选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在[40,45)岁的概率.

cos ( ( xx + + )) - 3 sin2 x +1 20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) =2 cos - 66
(Ⅰ)求 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)当 x ? (

22

? ?

? ?

, ) 时,若 f ( x) ≥log2 t 恒成立,求 t 的取值范围. 6 2

4

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 21.(本小题满分 12 分) 已知 A、B、C 为 ?ABC 的三个内角,向量 m ? (2 ? 2sin A , sin A ? cos A) 与 n ? (sin A ? cos A , 1 ? sin A) 共线,且 AB · AB ? ? AC AC? ?0 0. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)求函数 y ? 2sin
2

??

?

??? ??? ?? ??? ??? ??

B C?B ? cos 的值域. 2 2

22.(本小题满分 12 分)已知向量 a ? (cos (1)求 a ? b及 | a ? b | ;

?

3 3 ? x x ? x,sin x), b ? (cos , ? sin ), 且x ? [0, ] 2 2 2 2 2

? ?

? ?

(2)若 f ( x) ? a ? b ? 2? | a ? b | 的最小值是 ?

? ?

? ?

3 ,求实数 ? 的值. 2

5

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 2014—2015 学年度第二学期 高一年级数学(理科)期考试题参考答案 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 A 2 D 3 A 4 A 5 C 6 A 7 C 8 B 9 D 10 A 11 D 12 B

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13. y ? cos(2 x ? ? ) 14. (4,-3) 15. 361? 6 16. ②③ (对一个给 2 分,全对给 5 分,含错误选项记 0 分) 三、解答题 (总分 70 分) 17. 解: (1) b ? c ? (?4,3 ? m)

64

? ?

? ? ? ∵ a ? (b ? c) ,


?????????????????????1 分

m ? ?1 ????????????4 分 ? ∴ c = 5 ???????????????????????5 分 ? ? ? ? (2)由已知: ka ? b ? (k ? 2,2k ? 3) , 2a ? b ? (4,1) , ????????6 分 ? ? ? ? 因为 (ka ? b) / /(ka ? b) ,所以: k ? 2 ? 4(2k ? 3) , ???????9 分 ? k ? ?2 ???????????????????10 分
18.解: (Ⅰ)根据表中已知数据可得: A ? 5 ,

? ∴ c ? (?2 , ? 1)

∴ a· ? (b ? c c) ) ? ?4 ? 2(3 ? m) ? 0 a?

?? ? ? ?

??????2 分

?

3 π 解得 ? ? 2, ? ? ? . 数据补全如下表: 6 π ?x ?? 0 2
x
A sin(? x ? ? )

? ?? ?

?
2

,A=-5 ,

5? 3? , ? ?? ? 6 2

π
7π 12
0

3π 2


13 π 12
0

π 12
0

π 3
5

5π 6

?5

??4 分

π 且函数表达式为 f ( x) ? 5sin(2 x ? ) . 6 π (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 5sin(2 x ? ) , 6
∴ g(x)=f (x+ ∵ x∈[— ∴ —

????????????6 分

? , ] 6 3

? ? ? )—1=5 sin[2( x ? ) ? ] —1=5 cos 2 x —1 3 3 6 ? ? 2?
∴ 2x∈[—

????8 分 ??????9 分

3



3

]

1 ≤cos(2x)≤1 2

∵ 存在 g(x)<a—2 成立

7 ≤g(x) ≤4 ??????10 分 2 7 3 ∴a—2> — ∴a>— , 2 2
∴ —
6

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴a 的取值范围是(—

3 ,+∞). 2

???????????12 分

19.解:(1)第二组的频率为 1-(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)×5=0.3,所以高为

0.3 ? 0.06 . 5
频率直方图如下:

??????????????????????1 分

????3 分

120 ? 200 ,频率为 0.04×5=0.2, 第一组的人数为 0.6 200 ? 1 000. 所以 n ? ??????????????????4 分 0.2
由题可知,第二组的频率为 0.3,所以第二组的人数为 1 000×0.3=300, 所以 p ?

195 ? 0.65. 300

??????????????????????5 分

第四组的频率为 0.03×5=0.15, 所以第四组的人数为 1 000×0.15=150,所以 a=150×0.4=60. ????6 分 (2)因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为 60∶30=2∶1, 所以采用分层抽样法抽取 6 人,[40,45)岁中有 4 人,[45,50)岁中有 2 人. ??????????????????????????7 分 设[40,45)岁中的 4 人为 a、b、c、d,[45,50)岁中的 2 人为 m、n,则选取 2 人作为领队的有 (a,b)、(a,c)、(a,d)、(a,m)、(a,n)、(b,c)、(b,d)、(b,m)、(b,n)、(c,d)、(c,m)、(c,n)、 (d,m)、(d,n)、(m,n),共 15 种 ????9 分 其中恰有 1 人年龄在 [40,45)岁的有(a,m)、 (a,n)、 (b,m)、 (b,n)、 (c,m)、 (c,n)、 (d,m)、 (d,n), 共 8 种. ??????????????10 分 所以选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在[40,45)岁的概率为 P ?

8 . ??12 分 15

20.解: (Ⅰ)∵ ????????????????3 分 由 ∴ f(x)的单调递增区间为 (或者:f(x) = cos(2 x ? ,得 ,?5 分 .????6 分

?
3

) — 3 sin 2x +2=

1 3 sin 2 x +2 cos2x— 2 2
7

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com =— sin(2 x ? 令 则

?

? ? 3? +2kπ ≤ 2 x ? ≤ +2kπ k∈Z 6 2 2 ? 5?
3
+kπ ≤x≤

6

) +2

???????????????????3 分

? 5? +kπ , +kπ ] k∈Z ????6 分) 6 3 ? ? 2? ? 4? ? 2x ? ? (Ⅱ) ∵ x ? ( , ) , ∴ , ????????????7 分 3 6 2 3 3 ? 1 ∴ —1≤cos( 2 x ? )≤— , , ????8 分 3 2 ? ? ? ? 5? (或者:∵ x ? ( , ) ,∴ ? 2 x ? ? ??????????????7 分 6 2 6 6 6 1 ? ? 3 ∴ ≤ sin(2 x ? ) ≤1 ∴ 1≤— sin(2 x ? ) +2 ≤ ????8 分) 2 2 6 6
∴ f(x)的单调递增区间为:[ ∴ . ????????????????9 分 ∴0<t≤2, ???11 分 ????12 分 若 f(x)≥log2t 恒成立, 则 ∴log2t ≤1 即 t 的取值范围为(0,2].

6

+kπ

k∈Z

??????????????5 分

21.解: (Ⅰ)由题设知: (2 ? 2sin A) (1 ? sin A) ? (cos A ? sin A)(sin A ? cos A ) ?1 分 得 2(1 ? sin 2 A) ? sin 2 A ? cos2 A ? 2sin 2 A ?1 又 A 为三角形内角,所以: ???????2 分 ???????3 分 ???????????4 分 ?????????????5 分

sin A ?

由 AB · AB ?AC ?AC ?? 00 ,知 A 为锐角, 所以 A ?

??? ??? ? ???? ??? ??

3 2

?

3

(Ⅱ)由(Ⅰ)及题设知: B ? C ? 所以: y ? 2sin
2

B ? ? ? cos( ? B) ? 1 ? cos B ? cos( ? B) 2 3 3 3 1 ? ,???????9 分 ? 1? sin B ? cos B ? 1 ? sin( B ? ) 2 2 6 2? ? ? ? ?? ? B ? ? 又: 0 ? B ? ?????????10 分 3 6 6 2 1 ? 1 y ? ( , 2) ∴ ? ? sin( B ? ) ? 1 ????11 分 ∴ 2 6 2 B C ? B 1 2 ? cos 因此函数 y ? 2sin 的值域为 ( , 2) ??????12 分 2 2 2 ? ? 3 x 3 x 22.解: (1) a ? b = cos x ? cos ? sin x ? sin ? cos 2 x, ?????2 分 2 2 2 2 ? ? 3 x 2 3 x 2 ? 2 ? 2 cos2 x ? 2 cos2 x | a ? b | = (cos x ? cos ) ? (sin x ? sin ) , 2 2 2 2
????????????3 分
8

2? , 3

??????????????6 分

3 x 3 x x ? cos ) 2 ? (sin x ? sin ) 2 ? 2 ? 2 cos2 x ? 2 cos2 x 2 2 2 2

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? ?? , ∴ cos x ? 0, ? 2? ? ? ? ∴ | a ? b | =2cosx. (2)由(Ⅰ)得 f ( x) ? cos2 x ? 4? cos x,
∵ x ? ?0, 即 f ( x) ? 2(cosx ? ? ) ? 1 ? 2? .
2 2

????????????4 分 ?????????????5 分 ?????????6 分 ?????????7 分

? ?? , ∴ 0≤cosx≤1 ?????????8 分 ? 2? ? ①当? ? 0 时,当且仅当 cos x ? 0时, f ( x) 取得最小值-1,
∵ x ? ?0, 这与已知矛盾. ???????????????9 分
2 ②当0 ? ? ? 1 时,当且仅当 cos x ? ?时, f ( x) 取最小值 ? 1 ? 2? . 3 1 2 由已知得 ?1 ? 2? ? ? ,解得 ? = ?????????10 分 2 2

③当λ >1 时,当且仅当 cosx=1 时,f(x)取得最小值 1—4λ 由已知得 1—4λ = ? 综上所述λ =

3 5 ,解得λ = ,这与 ? ? 1 相矛盾. ???11 分 2 8
??????????12 分

1 ,为所求. 2

9



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