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2012江苏省数学竞赛《提优教程》第33讲


第 14 讲

周期函数与周期数列

本节主要内容有周期;周期数列、周期函数. 周期性是自然规律的重要体现之一, 例如地球公转的最小正周期就体现为年的单位. 在 数学中,我们就经常遇见各种三角函数,这类特殊的周期函数,特别是正弦、余弦函数与 音乐有着密切的联系:19 世纪法国数 学家傅立叶证明了所有的乐声──不管是器乐还是声 乐都能用数学表

达式来描述,它们一定是一些简单的正弦周期函数的和. 作为认识自然规律的主要手段, 数学在本学科中严格地引进了 “周期” 这个重要概念. 在 中学数学中,我们仅仅讨论定义域是整个实数轴的实值映射的周期性,尽管形式十分简单, 但与之相关的问题仍有待研究.中学数学里称函数的周期,没有特殊说明是指其最小正周 期. 如果函数 y=f(x)对于定义域内任意的 x, 存在一个不等于 0 的常数 T, 使得 f(x+T)=f(x) 恒成立,则称函数 f(x)是周期函数,T 是它的一个周期. 一般情况下,如果 T 是函数 f(x)的周期,则 kT(k∈ N+)也是 f(x)的周期. 1.若 f (x+T)=-f ( x),则 2T 是 f ( x)的周期,即 f(x+2 T)= f ( x) 证明:f(x+2 T)= f(x+T+T)=- f(x+T)= f ( x), 由周期函数的性质可得 f(x+2n T)= f ( x),(n∈Z) 2.若 f (x+T)=± 仅以 f (x+T)= 1 ,则 2T 是 f ( x)的周期,即 f(x+2 T)= f ( x). f ( x)

1 证明如下: f ( x)

1 f(x+2 T)= f(x+T+T)= f ( x+T)= f ( x).由周期函数的性质可得 f(x+2n T)= f ( x),(n∈Z) 3.在数列 ?an ? 中,如果存在非零常数 T ,使得 am ?T ? am 对于任意的非零自然数 m 均成立,那 么就称数列 ?an ? 为周期数列,其中 T 叫数列 ?an ? 的周期.

A 类例题
例1(2001年上海春季 卷) 若数列 {an } 前8项的值各异,且 a n ?8 ? a n 对任意的 n ? N 都成立, 则下列数列中可取遍 {an } 前8项值的数列为 A. {a2k ?1} B. {a3k ?1} C. {a4k ?1}






D. {a6k ?1}

解析 由数列{an}前 8 项的值各异, a n ?8 ? a n 对任意 n∈N 都成立, 得数列{an}的周期 T= 8,则问题转化为 2k+1, 3k+1, 4k+1, 6k+1 中 k= 1,2,3,? 代入 被 8 除若余数能取到 0, 1, 2, 3, 4, 5,6, 7 即为答案. 经检验 3k + 1 可以,故 {a3k ?1} 可取遍{an}的前 8 项值.答案为 B. 说明 本题还可以奇偶性的角度考虑,在 2k+1, 3k+1, 4k+1, 6k+1 中,2k+1, 4k +1, 6k+1 都是奇数,除 8 后仍都是奇数,只有 3k+1 除 8 后余数能取到 0, 1, 2, 3,

4, 5,6, 7. 例 2 定义在 R 上的奇函数且 f ( x+2)=f ( x-2),且 f (1)= 2 则 f ( 2)+f (7)= 解 因为 f ( x+2)=f ( x-2),知 f(x+2T)= f ( x).即 f(x+4)= f ( x). 所以 f(7)= f ( 3+4)= f(-1+4)= f ( -1)=- f ( 1)=-2. f(-2)= f ( -2+4)= f(2) 所以 f(2)= 0. 从而 f ( 2)+f (7)=-2. 链接 若 f (x+T)=±f ( x-T), ①f (x+T)=f ( x-T),2T 是 f ( x)的周期,即 f(x+2 T)= f ( x) 证明:f(x+2 T)= f(x+T+T)=f(x+T-T)= f ( x) ②f (x+T)=-f ( x-T),4T 是 f ( x)的周期,即 f(x+4T)= f ( x) 证明:f(x+2T)= f(x+T+T)=- f[(x+T)- T]=- f ( x) 所以由(一)可得 f(x+4T)= f ( x).



情景再现
1.已知函数 f(x)对任意实数 x,都有 f(a+x)=f(a-x)且 f(b+x)=f(b-x), 求证:2|a-b|是 f(x)的一个周期.(a≠b) 2. 已知数列{ xn }满足 x1=1,x2=6, xn?1 ? xn ? xn?1 (n≥2),求 x2006 及 S2006.

B 类例题
例 3 定义在 R 上的奇数满足 f (1+x)=f (1-x),当 x ? ?4,5? 时, f ( x)=2x 4,则 x ?[?1,0) 时 f


( x)= 因为 f (1+x)=f (1-x), f (x)=f (-x),知 f(x+4)= f ( x), 故当 x ? (0,1] 时, x+4 ? ?4,5? , f ( x)= f(x+4)= 2x
+4-4

=2x.


又 x ?[?1,0) 时,即- x ? (0,1] ,所以 f ( x)=- f ( -x)=- 2 x( x ?[?1,0) ) 链接:若 f (T +x)=±f (T -x), (1) f (T +x)=f (T -x) ①若 f ( x)是偶函数,则 2T 是 f ( x)的周期,即 f(x+2T)= f ( x) ②若 f ( x)是奇函数,则 4T 是 f ( x)的周期,即 f(x+4T)= f ( x) (2) f (T +x)=-f (T -x) ①若 f ( x)是偶函数,则 4T 是 f ( x)的周期,即 f(x+4T)= f ( x) ②若 f ( x)是奇函数,则 2T 是 f ( x) 的周期,即 f(x+2T)= f ( x) 例 4 设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,其图象关于直线 x=1 对称,对任意 x1、x2∈[0, 都有 f(x1+x2)=f(x1)· f(x2),且 f(1)=a>0. (1)求 f(

1 ] , 2

1 1 )、f( ); 2 4

(2)证明 f(x)是周期函数; (3)记 an=f(2n+ 全国高考题)

1 ),求 lim (ln a n ). n?? 2n

(2001 年

分析 本题主要考查函数概念,图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识,还考查运 算能力和逻辑思维能力. 认真分析处理好各知识的相互联系,抓住条件 f(x1+x2)=f(x1)· f(x2)找 到问题的突破口.由 f(x1+x2)=f(x1)· f(x2)变形为 f ( x) ? f ( ? ) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 是解决问 题的关键. 解 (1) 因为对 x1,x2∈[0, ] ,都有 f(x1+x2)=f(x1)· f(x2),所以 f(x)= f ( ? ) ? f ( ) ≥0,
[来源:学.科.网]

x 2

x 2

x 2

x 2

x 2

1 2

x 2

x 2

x 2

x∈ [0,1]

1 1 1 1 1 + )=f( )· f( )=[f( )]2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 f( )=f( + )=f( )· f( )=[f( ) ]2 2 4 4 4 4 4
又因为 f(1)=f( 又 f(1)=a>0 ∴ f(
1 1 1 )=a 2 ,f( )=a 4 2 4
1

(2)证明:依题意设 y=f(x)关于直线 x=1 对称,故 f(x)=f(1+1-x),即 f(x)=f(2-x),x∈ R. 又由 f(x)是偶函数知 f(-x)=f(x),x∈ R, ∴ f(-x)=f(2-x),x∈ R. 将上式中-x 以 x 代换得 f(x)=f(x+2),这表明 f(x)是 R 上的周期函数,且 2 是它的一个周期. (3)解:由(1)知 f(x)≥0,x∈ [0,1] ∵ f(

1 1 1 1 1 1 )=f(n· )=f( +(n-1) )=f( )· f((n-1)· ) 2 2n 2n 2n 2n 2n

=…… =f(

1 1 1 1 )· f( )·……·f( )=[f( )]n=a 2 2n 2n 2n 2n 1 )=a 2 n . 2n
1

1

∴ f(

又∵ f(x)的一个周期是 2

1 1 ∴ f(2n+ )=f( ),因此 an=a 2 n 2n 2n
∴ lim (ln an ) ? lim (
n?? n??

1

1 ln a) ? 0. 2n

例 5 (1997 年全国高中数学联赛)已知数列{ xn }满足 xn?1 ? xn ? xn?1 (n≥2),x1 ? a, x2 ? b, 记 Sn ? x1+x2+?+xn,则下列结论正确的是 ( ) A. x100??a,S100=2b?a B.x100??b,S100?2b?a D .x100??a,S100?b?a

C x100??b,S100=b?a

解 因为 xn?1 ? xn ? xn?1 = ( xn ?1 ? xn ? 2 ) ? xn ?1 ? ? xn ? 2 ,于是得 xn ?6 ? ? xn ?3 ? xn 所以数列{ xn }是周 期数列,

其周期为 6k(k∈Z),且 x1+x2+?+x6=0,x100=x4=-x1 =-a.故 S10 0 ? 16(x1+x2+? +x6)+x97+x98+?+x99+x100= x1+x2+ x3+x4=x2+x3=2b-a. 例 6 设数列 a1 , a2 , a3 , ?, an, 满足 a1 = a2 =1, a3 =2, 且对任意自然数 n 都有 an · an an+2≠1, an · an+1 · an+2 an+3= an +an+1 +an+2+an+3,求 a1 +a2 +a3+?+a100. +1 · 解 由 an · an+1 · an+2 an+3= an +an+1 +an+2+an+3, ① 得 an+1 · an+2 · an+3 an+4= an+1 +an+2 +an+3+an+4, ② 两式相减得:(an -an+4 )· (an+1 +an+2 an+3-1)=0, 由于 an+1 +an+2 an+3≠1,所以 an+4 =an . 又 a1 = a2=1,a3=2,由①得 2a4 =4+a4 ,所以 a4=4. 故 a1 +a2 +a3+a4=8,于是 a1 +a2 +a3+?+a100=25(a1 +a2 +a3+a4)=200.

情景再现
3.设f(x)是定义在区间(-∞,+∞)上以2为周期的函数,对k∈Z,用Ik表示区间(2k-1,2k +1],已知当x∈I0时f(x)=x2. (Ⅰ)求f(x)在Ik上的解析表达式; (Ⅱ)对自然数k,求集合Mk={a│使方程f(x)=ax在Ik上有两个不相等的实根}.
2 3 4. (2005 年上海理科卷)在直角坐标平面中,已知点 P 1 (1, 2) , P 2 (2, 2 ) , P 3 (3, 2 ) ,?,

Pn (n, 2n ) ,其中 n 是正整数.对平面上任一点 A0 ,记 A1 为 A0 关于点 P1 的对称点, A2 为 A1 关
于点 P 2 的对称点,??, An 为 A n?1 关于点 P n 的对称点. (1)求向量 A0 A2 的坐标; (2)当点 A0 在曲线 C 上移动时,点 A2 的轨迹是函数 y ? f ( x) 的图象,其中 f ( x ) 是以 3 为周期的周期函数, 且当 x ? ? 0,3? 时, f ( x) ? lg x , 求以曲线 C 为图象的函数在 ?1, 4? 的 解析式; 对任意偶数 n ,用 n 表示向量 A0 An 的坐标

C 类例题
例7 . (2005 年广东卷 19)设函数 f ( x)在(??, ??)上满足f (2 ? x) ? f (2 ? x), f (7 ? x) ? f (7 ? x) , 且在闭区间[0,7]上,只有 f (1) ? f (3) ? 0. (Ⅰ)试判断函数 y ? f ( x) 的奇偶性; (Ⅱ)试求方程 f ( x) ? 0 在闭区间[-2005,2005]上的根的个数, 并证明你的结论.

? f (2 ? x) ? f (2 ? x) ? f ( x) ? f (4 ? x) 解 (Ⅰ)由 ? ?? ? f (4 ? x) ? f (14 ? x) ? f (7 ? x) ? f (7 ? x) ? f ( x) ? f (14 ? x)

? f ( x) ? f ( x ? 10) ,从而知函数 y ? f ( x) 的周期为 T ? 10
又 f (3) ? f (1) ? 0, 而f (7) ? 0 ,

f (?3) ? f (?3 ? 10) ? f (7) ? 0 ,所以 f (?3) ? ? f (3)
故函数 y ? f ( x) 是非奇非偶函数; (II) 又 f (3) ? f (1) ? 0, f (11) ? f (13) ? f (?7) ? f (?9) ? 0 故 f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数 y ? f ( x) 在[0,2005]上有 402 个解,在[-2005.0]上有 400 个解,所以函数 y ? f ( x) 在[-2005,2005]上有 802 个解. 链接 若 f (a+x)=±f (a -x),且 f (b+x)=±f (b -x),(a≠b) (1)若 f (a+x)=f (a -x),且 f (b+x)=f (b -x),或 f (a+x)=-f (a -x),且 f (b+x)=-f (b -x), 则 2(b-a)是 f ( x)的周期,即 f[x+2( b-a)]= f ( x) 证明:因为 f (2a+x)=f [a+(a +x)]=f (2a-x)=f (-x), 同理 f (2b+x) =f (-x), 因为 f[x+2( b-a)]= f[2b+(x-2a)]= f[(x-2a)]= f ( x) 或 f (2a+x)=f [a+(a +x)]=-f [a-(a-x)]=-f (-x), 同理 f (2b+x) =-f (-x), 因为 f [x+2(b-a)] = f [2b+(x-2a) =- f [2a+(-x)] = f (x). (2)若 f (a+x)=f (a -x),且 f (b+x)=-f (b -x),或 f (a+x)=-f (a -x),且 f (b+x)=f (b -x), 则 4(b-a)是 f ( x)的周期,即 f[x+4( b-a)]=- f (- x).(证明留给读者完成) 例 8 数列{ an }满足 an = an-1- an-2 (n ≥3).如果它的前 1492 项之和是 1985, 而它的 前 1985 项 之 和 是 1492 . 那 么 前 2 001 项 的 和 是 多 少 ? (1985 年中美数学邀请赛复赛试题) 解 因为 an = an-1- an-2 =( an-2- an-3 )- an-2 =- an-3 同理 an-3=- an-6 所以 an = an-6 故数列{ an }是周期数列.其周期为 6. 且 f( n)=f( 6k+n), (k∈N). Sn= an+an-1+an-2+?+a1, 且 an = an-1- an-2 (n ≥3) 所以 Sn=( an-1- an-2)+( an-2- an-3)+ ( an-3- an-4)+?+ ( a2 –a1) + a2+a1 = an-1+ a2 (n ≥3) 因此 S1492= a1491+ a2= a248×6+3+ a2= a3+ a2=1985, S1985= a1984+ a2= a330×6+4+ a2= a4+ a2= a3=1492. 由以上两式得 a2=493, 所以 S2001= a2000+ a2= a333×6+2+ a2= a2+ a2=986.

情景再现
5.已知 f (x)是定义在 R 上的函数 f (10+ x)= f (10- x), f (20+ x)= f(20- x). 则 f (x) 是( ). A.周期为 20 的奇函数 B.周期为 20 的偶函数

C.周期为 40 的奇函数 D.周期为 40 的偶函数 6.在数列{ an }中. an = 13, an = 56.对所有的正整数 n 都有 an+1 = an+ an+2,求 a1994 . (1994 年第 5 届希望杯”竞赛题)

习题 14

A 类习题
1.定义“等和数列” :在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么 这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列 {a n } 是等和数列,且 a1 ? 2 , 公 和 为 5 , 那 么 (1) a18 的 值 为 _______ , (2) 这 个 数 列 的 前 n 项 和 S n 的 计 算 公 式 为 ________________ (2004 年北京理工卷).

2.若存在常数 p ? 0 ,使得函数 f ( x)满足f ( px) ? f ( px ? 为 .

p )( x ? R), 则f ( x) 的一个正周期 2
(2003 年春季北京卷)

3. 对任意整数 x, 函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ?

1 ? f ( x) , 若 f (1) ? 2 , 则 f (2003 )? 1 ? f ( x)



4. 已知函数 f(x)的定义域为 N, 且对任意正整数 x, 都有 f(x)=f(x-1)+f(x+1). 若 f(0)=2004, 求 f(2004). 5.已知对于任意 a,b∈ R,有 f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b),且 f(x)≠0 ⑴ 求证:f(x)是偶函数; ⑵ 若存在正整数 m 使得 f(m)=0,求满足 f(x+T)=f(x)的一个 T 值(T≠0) 6.记 f(n)为自然数 n 的个位数字,an = f(n2)- f(n).求 a1+a2+a3+?+a2006 的值.

B 类习题
7.函数 f 定义在整数集上. 满足: f ? n ? = ?

? ?n ? 3若n ? 1000 , 求 f ?84 ? 的值. f n ? 5 若n<1000 ? ? ? ? ? ? ??
2006

8. 已知数列{ an }满足 a1=1, a2=2, anan+1an+2=an+ an+1+an+2, 且 an+1an+2≠1, 求 的值. 9. 设函数 f(x)的定义域关于原点对称且满足:(i)f(x1-x2)=

?a
i ?1

i

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 1 ; f ( x 2 ) ? f ( x1 )

(ii)存在正常数 a 使 f(a)=1.求证: (1)f(x)是奇函数. (2)f(x)是周期函数,且有一个周期是 4a. 10. 已知集合 M 是满足下列性质的函数 f(x)的全体:存在非零常数 T,对任意 x∈R,有 f(x +T)=T f(x)成立.

(1)函数 f(x)= x 是否属于集合 M?说明理由; (2)设函数 f(x)=ax(a>0,且 a≠1)的图象与 y=x 的图象有公共点,证明: f(x)=ax∈M; (3)若函数 f(x)=sinkx∈M ,求实数 k 的取值范围. (2003 年上海卷)

C 类习题
11.整数数列 {an } ,时对于每个 n≥3 都有 an= an-1 -an-2,若前 2003 项的和为 a,(a≠0) 则 S5=( A.a ) B. a 5 C. 5 a D. 5 a

( 2003 年希望杯) 12. 设 f(x)是一个从实数集 R 到 R 的一个映射,对于任意的实数 x,都有|f(x)|≤1,并且 f(x) + f ( x + 13 ) = f ( x + 1 ) + f ( x + 1 ) ,求证:f(x)是周期函数.
42 6 7

本节“情景再现”解答: 1. 不妨设 a>b, 于是 f(x+2(a-b))=f(a+(x+a-2b))=f(a-(x+a-2b))=f(2b-x)=f(b -(x-b))=f(b+(x-b))=f(x) ∴ 2(a-b)是 f(x)的一个周期当 a<b 时同理可得. 所以,2|a -b|是 f(x)的周期 2.解法一:由 x1=1,x2=6,及 xn?1 ? xn ? xn?1 得 x3=5,x4=-1, x5=-6,x6=-5, x7=1, x8=6, 所以数列{ xn }是周期数列, 其周期为 6k(k∈Z), 且 x1+x2+?+x6=0, 所以 x2006= x6×334
+2

= x2=6. S2006=7

解法二:因为 xn?1 ? xn ? xn?1 = ( xn ?1 ? xn ? 2 ) ? xn ?1 ? ? xn ? 2 ,于是得 xn ?6 ? ? xn ?3 ? xn 所以数列{ xn } 是周期数列, 其周期为 6k(k∈Z),且 x1+x2+?+x6=0,所以 x2006= x6×334+2= x2=6. S2006=7 3. ⑴ 证明:令 a=b=0 得,f(0)=1(f(0)=0 舍去)又令 a=0,得 f(b)=f(-b), 即f(x)=f(-x) , 所以,f(x)为偶函数 ⑵ 令a=x+m,b=m 得f(x+2m)+f(x)=2f(x+m)f(m)=0 所以f(x+2m)=-f(x) 于是f(x+4m)=f[(x+2m)+2m] =-f(x+2m) =f(x) 即T=4m(周期函数) 4. (Ⅰ ):∵f(x)是以2为周期的函数,∴ 当k∈Z时,2k是f(x)的周期.又∵ 当x∈Ik时, (x 2 2 -2k)∈I0,∴ f(x)=f(x-2k)=(x-2k) .即对 k∈Z,当x∈Ik时,f(x)=(x-2k) . (Ⅱ)解:当k∈N且x∈Ik时,利用(Ⅰ)的结论可得方程(x-2k)2=ax, 整理得 x2-(4k+a)x+4k2=0. 它的判别式是 △=(4k+a)2-16k2=a(a+8k). 上述方程在区间Ik上恰有两个不相等的实根的充要条件是a满足

? ?a ( a ? k ) ? 0 ?a(a ? 8k ) ? 0 ? ? 1 ? ? ?2k ? 1 ? [4k ? a ? a (a ? 8k ) ] , 化简 ? a(a ? 8k ) ? 2 ? a 2 ? ? ? 1 ? ? a(a ? 8k ) ? 2 ? a 2 k ? 1 ? [ 4 k ? a ? a ( a ? 8 k ) ] ? 2 ?

① ② ③

由①知a>0,或a<-8k. 当a>0时:因2+a>2-a,故从②,③可得 a(a+8k) ≤2-a,即 . ?a(a+8k)≤(2-a)2, ?(2k+1)a≤1, 1 ? 即? 所以 0 ? a ? ?2-a>0. ?a<2. 2k ? 1 当a<-8k时:2+a<2-8k<0,易知 a(a+8k) <2+a无解. 综上所述,a应满足 0 ? a ?

1 1 , 故所求集合(1)K>0 时 M K ? {a 0 ? a ? } 2k ? 1 2k ? 1

(2)K=0 , {a|-1<a<0, 或0<a<1} 4. (1)设点 A0 ( x, y) ,A0 关于点 P1 的对称点 A1 的坐标为 A1 (2 ? x,4 ? y), A1 关于点 P2 的对称点 A2 的坐标为 A2 (2 ? x,4 ? y) ,所以, A0 A2 ? {2,4}. (2)[解法一]? A0 A2 ? {2,4},? f ( x) 的图象由曲线 C 向右平移 2 个单位,再向上平移 4 个单位得到. 因此,基线 C 是函数 y ? g ( x) 的图象,其中 g ( x) 是以 3 为周期的周期函数,且当

x ? (?2,1]时, g ( x) ? lg( x ? 2) ? 4, 于是,当x ? (1,4]时, g ( x) ? lg( x ? 1) ? 4.
[解法二]设 A0 ( x, y), A2 ( x2 , y 2 ),于是?

? x2 ? x ? 2 ? y2 ? y ? 4

若 3 ? x2 ? 6, 则0 ? x2 ? 3 ? 3, 于是f ( x2 ) ? f ( x2 ? 3) ? lg( x2 ? 3). 当 1 ? x ? 4时, 则3 ? x2 ? 6. y ? 4 ? lg( x ? 1), (3) A0 An ? A0 A2 ? A2 A4 ? ? ? An?2 An 由于 A2k ?2 A2k ? 2P2 k ?1 P2 k , 得 A0 An ? 2( P 1P 2 ?P 3P 4 ??? P n ?1 P n),

?当x ?{1,4]时, g ( x) ? l g ( x ? 1) ? 4.

n 2(2 n ? 1) 4(2 n ? 1) ? 2({1,2} ? {1,2 3 } ? ? ? {1,2 n?1}) ? 2{ , } ? {n, }. 2 3 3
5.解析:f (20+ x)= f[10+ (10+ x)]=f (10- (10+ x))= f (-x), 类似地 f (20- x)= f (x), 所以 f (x)=-f (-x), 故 f (x)是奇函数且 f (x)的周期为 40.故选 C. 6.解 因为 an+1 = an+ an+2 , 所以 an+2 = an+1+ an+3, 以上两式相减得 an+3 =- an , 所以 an+6 = an 所 以数列{ an }是以 6 周期的周期数列.所以 a1994= a332×6+2= a2=56.
[来源:学*科*网]

本节“习题 14”解答: 1. 答案:(1) 3 解:(1)由题可得 5= a1 +a2 = a2+a3 =a3 +a4=?= a2n-1+a2n =a2n +a2n+ 1 得 a2n+1=a2n+3 ,a2n =a2n+2,故得为周期数列 T=2, a18 =a2 ,又因为 a1=2,所以 a2=3, 故 a18 =a2 =3.(2) 当 n 为偶数时, S n ? 2. 答案:

5 5 1 n ;当 n 为奇数时, S n ? n ? . 2 2 2

p p 注:填 的正整数倍中的任何一个都正确. 2 2

p p p 解:设 u= px-2·所以 px= u+2则 f(u) = f(u+2)对于任意的实数 u 都成立,根据周期函数的 p p 定义,f( x)的一个正周期为 ,所以 f(x)的一个正周期为 . 2 2 3. 解 由 f ( x ? 1) ?

1 ? f ( x) 得 f ( x ? 2) ? ? 1 ,故 f ( x ? 4) ? f ( x) , 1 ? f ( x) f ( x)

1 f (2003 ) ? f (4 ? 50 ? 3) ? f (3) ? ? . 2

4. 解 因为 f(x)=f(x-1)+f(x+1) 所以 f(x+1)=f(x)+f(x+2), 两式相加得 0=f(x-1) +f(x+2) 即:f(x+3)=-f(x) ∴ f(x+6)=f(x), f(x)是以 6 为周期的周期函数,2004=6×334 ,∴ f(2004)=f(0)=2004. 5. ⑴ 证明: 令 a=b=0 得, f(0)=1(f(0)=0 舍去)又令 a=0, 得 f(b)=f(-b), 即 f(x)=f(-x) , 所以,f(x)为偶函数 ⑵ 令 a=x+m,b=m 得 f(x+2m)+f(x)=2f(x+m)f(m)=0 所以 f(x+2m)=-f(x) 于是 f(x+4m)=f[(x+2m)+2m] =-f(x+2m) =f(x),即 T=4m(周 期函数) 6. 解易知 f(n+10)=f(n), f[(n+10)2]=f(n2) 所以 an+10 = an 即 an 是以 10 为周期的数列 又易知 a1=0,a2=2,a3=6, a4=2,a5=0,a6=0,a7=2,a8=-4,a9=-8, a10=0. 所以 a1+a2+a3+?+a10=0. 故 a1+a2+a3+?+a2005= a1+a2+a3+?+a6=10. 7. 解 先考虑 n=999(近 1000 时) 情况:

ffff ? 999? ? ffff ? ? f ?1004 ? ? ? = ffff ?1001? ? fff ?998? ? fff ? ? f ?1003?? ?
= fff ?1000? ? ff ? 997 ? ? ff ? ? f ?1002 ? ? ? = ff ? 999 ? . (有规律 ffff ? 999? ? ff ? 999 ? ).

∴ f ?84 ? = f ? ? f ? 84 ? 5 ? ? ? = ff ? ? f ? 84 ? 2 ? 5?? ? = fff ? ? f ? 84 ? 3 ? 5? ? ? = ff
184

f ? 84 ? 183 ? 5 ? = ff
184

f ? 999 ? = ff
182

f ? 999 ? =??

= ff ? 999 ? = fff ?1004 ? = ff ?1001? = f ? 998? = ff ?1003? = f ?1000? =997. 8. 解 易知 a3=3,a4=1,a5=2,

由 anan+1an+2=an+ an+1+an+2, ① 得 an+1an+2an+3=an+1+ an+2+an+3, ② ②-①得:(an+3-an)( an+1an+2-1)=0, 又 an+1an+2≠1,所以 an+3-an=0, 即 an 是以 3 为周期的数列,又 a1+ a2+a3=6,
2006

[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

所以

?a
i ?1

i

=6×668+1+2=4011.

9. 证明: (1)不妨令 x=x1-x2,则 f(-x)=f(x2-x1)=

f ( x 2 ) f ( x1 ) ? 1 f ( x1 ) f ( x 2 ) ? 1 ?? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) f ( x 2 ) ? f ( x1 )

[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

=-f(x1-x2)=-f(x).∴ f(x)是奇函数. (2)要证 f(x+4a)=f(x),可先计算 f(x+a),f(x+2a). ∵ f(x+a)=f[x-(-a)]=

[来源:学|科|网]

f ( ? a ) f ( x) ? 1 ? f ( a ) f ( x) ? 1 f ( x) ? 1 ? ? ( f (a) ? 1) . f ( ? a ) ? f ( ? x) ? f ( a ) ? f ( x) f ( x) ? 1

f ( x) ? 1 ?1 f ( x ? a) ? 1 f ( x) ? 1 1 ? f ( x ? 2a ) ? f [( x ? a ) ? a ] ? ? ?? f ( x ) ? 1 f ( x ? a) ? 1 f ( x ). ?1 f ( x) ? 1
∴ f(x+4a)=f[(x+2a)+2a]=

1 =f(x),故 f(x)是以 4a 为周期的周期函数. ? f ( x ? 2a )

10. 解(1)对于非零常数 T,f(x+T)=x+T, Tf(x)=Tx. 因为对任意 x∈R,x+T= Tx 不 能恒成立,所以 f(x)= x ? M . (2)因为函数 f(x)=ax(a>0 且 a≠1)的图象与函数 y=x 的图象 有公共点,

?y ? ax 所以方程组: ? 有解,消去 y 得 ax=x, ?y ? x
显然 x=0 不是方程 ax=x 的解,所以存在非零常数 T,使 aT=T. 于是对于 f(x)=ax 有 f ( x ? T ) ? a
x ?T

? aT ? a x ? T ? a x ? Tf ( x) 故 f(x)=ax∈M.

(3)当 k=0 时,f(x)=0,显然 f(x)=0∈M. 当 k≠0 时,因为 f(x)=sinkx∈M,所以存在非零常数 T,对任意 x∈R,有 f(x+T)=T f(x)成立,即 sin(kx+kT)=Tsinkx . 因为 k≠0,且 x∈R,所以 kx∈R,kx+kT∈R, 于是 sinkx ∈[-1,1],sin(kx+kT) ∈[-1,1], 故要使 sin(kx+kT)=Tsinkx .成立, 只有 T= ? 1 ,当 T=1 时,sin(kx+k)=sinkx 成立,则 k=2mπ , m∈Z .

当 T=-1 时,sin(kx-k)=-sinkx 成立, 即 sin(kx-k+π )= sinkx 成立, 则-k+π =2mπ , m∈Z ,即 k=-2(m-1) π , m∈Z . 综合得,实数 k 的取值 范围是{k|k= mπ , m∈Z} 11. 解 因为 an = an-1- an-2 =( an-2- an-3 )- an-2 =- an-3,同理 an-3=- an-6 所以 an = an-6,故数列{ an }是周期数列.其周期为 6. 因此 Sn= an+an-1+an-2+?+a1, 且 an = an-1- an-2 (n ≥3).所以 Sn=( an-1- an-2)+( an-2- an-3)+ ( an-3- an-4)+?+ ( a2 –a1) + a2+a1= an-1+ a2 (n ≥3). 因此 S2003= a2002+ a2= a333×6+4+ a2= a4+ a2=S5, 故选 A.

13 7 16 ) ? f (x ? ) ? f (x ? ) 42 42 42 7 13 6 ) ? f (x) ? f (x ? ) ? f (x ? ) 所以 f ( x ? 42 42 42 19 12 49 42 ? f ( x ? ) ? f ( x ? ) ? ...... ? f ( x ? ) ? f ( x ? ) 42 42 42 42 42 49 7 f (x ? ) ? f (x) ? f (x ? ) ? f (x ? ) 即 ① 42 42 42 7 1 49 43 ) ? f (x ? ) ? f (x ? ) ? f (x ? ) 同理有 f ( x ? 42 42 42 42 49 7 43 1 f (x ? ) ? f (x ? ) ? f (x ? ) ? f (x ? ) 即 ② 42 42 42 42
12. 证明:由已知 f(x)+ f ( x ? 由①② f ( x ? 42 ) ? f ( x ) ? f ( x ? 49 ) ? f ( x ? 7 )
42 42 42

? f (x ?

43 1 44 2 84 42 ) ? f ( x ? ) ? f ( x ? ) ? f ( x ? ) ? ...... ? f ( x ? ) ? f ( x ? ) 42 42 42 42 42 42

于是 f(x+1)-f(x)=f(x+2)-f(x+1),记这个差为 d 同理 f(x+3)-f(x+2)=f(x+2)-f(x+1)=d …… f(x+n+1)-f(x+n)=f(x+n)-f(x+n-1) =…… =f(x+1)-f(x)=d 即是说数列{f(x+n)}是一个以 f(x)为首项,d 为公差的等差数列 因此 f(x+n)=f(x)+nd=f(x)+n[f(x+1)-f(x)]对所有的自然数 n 成立, 而对于 x∈R,|f(x)|≤1,即 f(x)有界,故只有 f(x+1)-f(x)=0 即 f(x+1)=f(x) x∈R 所以 f(x)是周期为 1 的周期函数.


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