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四川省绵阳市高中2013届第三次诊断性考试数学文试题(word版)


绵阳市高中 2010 级第三次诊断性考试 数学(文科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。第 I 卷 l 至 2 页,第 II 卷 3 至 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1. 答题前,考生务必将自己的姓名、 考号用 0.5 毫米的黑色签字笔填写在答题卡上, 并将 条形码粘贴在答题卡的指定位置。 2. 选择题使

用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上,非选择题用 0.5 毫米的 黑 色签字笔书写在答题卡的对应框内,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷 上答 题无效。 3. 考试结束后,将答题卡收回。 第 I 卷(选择题,共 50 分) 一、 选择题: 本大题共 10 小题, 每小题 5 分, 50 分.在每小题给出的四个选项中, 有 共 只 一项是符合题目要求的. 1. 设 集 合 U={l,2, 3, 4}, M={l, 2, 3}, N={2, 3, 4},则 CU (M ? N ) 等 于 A. {1, 2} C.{2, 4} 2.抛物线 x2=-4y 的准线方程是 A. x=-1 C.y=1 B. x=2 D. y=-2 B. {2, 3} D. {1, 4}

3. 若 复 数 z 满 足 z*i=1+i (i 为 虚 数 单 位 ),则 复 数 z= A. 1+i C. 1-i B. -1-i D. -1+i

4. 设数列{an}是等比数列,则“a1<a2 广是“数列{an}是递增数列”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件

5. 平 面 向 量 a 与 b 的 夹 角 为 600,a=(2, 0), b =(cosa, sina),则 |a+2b|= A. C. 4

3

B.2 3 D. 12

第1页

6. 函 数 f(x)=

1 x-sinx 的 大 致 图 象 可 能 是 2

7. 执行如图所示的程序框图,若输出结果为 26,则 M 处的条件为 A. k ? 31 C. k>3l B. k ? 15 D. k>l5

8. 己知函数. f ( x) ? 2 sin(2 x ? ? )(|? |? ? ) ,若函数 f(x)在区间

? 5? ( , ) 上单调递增,则 0 的取值范围是 6 8 ? 7? A[ , ] 3 8 5? 3? ,? B [? ] 6 4 2? ? C ( ? ? ,? ] ? [ ? ,? ) 3 8 ? 7? ,? ) D (??, ]? [ 3 8
9. 已知椭圆
x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与离心率为 2 的双曲线 2 ? 2 ? 1(m ? 0, n ? 0) 的公共 a2 b m n

1 焦点 是 F1 F2,点 P 是两曲线的一个公共点,若 cos ?F1 PF2 ? ,则椭圆的离心率为 3

A.

2 4 10 10

B.

2 2 10 5

C.

D.

10. 已知函数 f (x)=ln(ex+a)(e 是自然对数的底数,a 为常数)是实数集 R 上的奇函数,若 函数 f (x)=lnx- f (x) (x2-2ex+m)在(0, +∞)上有两个零点,则实数 m 的取值范围是
1 2 1 A. ( , e ? ) e e 1 2 C. (e ? ,?? ) e 1 2 B. (0, e ? ) e 1 2 D. ( ?? , e ? ) e

第 II 卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
第2页

11. 若直线 x+(a-1)y=4 与直线 x=1 平行,则实数 a 的值是____ 12. 如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 4 的正方形,俯视图是一个直径为 4 的圆,则这个几何体的侧 面积是 ____
?y ? x ? 13. 设变量 x、y 满足约束条件: ? x ? y ? 1 ,则目标函数 z=2x+y ? y ? ?1 ?

的最大值是_______ 14. 己知 sin(a ?

?
3

) ? sin a ? ?

? ? 4 3 ,且 ? ? a ? ? 则 cosa=______ 2 3 5

15. 定义在区间[a,

b]上的函数 y=f(x), f ?(x) 是函数 f(x)的导数,如果 ?? ? [a, b] ,使得

f(b)-f(a)= f ?(? )(b ? a) ,则称 ? 为[a,b]上的“中值点”.下列函数: ① f(x)=2x+l, ③ f(x)=lnx+l, ② f(x)=x2-x+l,
1 3 ④ f ( x) ? ( x ? ) , 2

其中在区间[0, 1]上的“中值点”多于一个的函数是______(请写出你认为正确的所有结论 的序号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 从高三学生中抽取 n 名学生参加数学竞赛, 成绩 (单位:分)的分组及各数据绘制的频 率分布直方 图如图所示,已知成绩的范围是 区间[40, 100),且成 绩在区间[70, 90)的学 生人数是 27 人. (I) 求 n 的 值 ; (II)试估计这 n 名学生的平均成绩; (III)若从数学成绩(单位:分)在[40,60)的学生 中随机选取 2 人进行成绩分析,求至少有 1 人成绩在[40, 50)内的概率.

第3页

17. (本小题满分 12 分) 已知{an}是等差数列,a1=3, Sn 是其前 n 项和,在各项均为正数的等比数列{bn}中, b1=1 且 b2+S2=1O, S5 =5b3+3a2. (I )求数列{an}, {bn}的通项公式; (II)设 c n ?
2 3 ,数列{cn}的前 n 项和为 Tn,求证: Tn ? Sn 2

18. (本小题满分 12 分) 如图,ABCD 是边长为 2 的正方形,ED 丄平面 ABCD,ED=1, EF//BD (I)求 证 : BF//平 面 ACE (II)求 证 : 平 面 EAC 丄 平 面 BDEF; (III)求几何体 ABCDEF 的体积. 且 EF= BD.

19. (本 小 题 满 分 12 分 ) 函数 f ( x) ? sin(?x ? ? )(? ? 0, | ? |? 单位后得到函数 y=f (x)的 图象. (I )求函数 y=g(x)的解析式; (II)已知 ΔABC 中三个内角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b,c,且 满 足
g( A ? B ? ? ? ) + g ( ? ) =2 6 sinAsinaB,且 C= ,c=3, 求 ΔABC 的 2 12 2 12 3

?
2

) 的部分图象如图示,将 y=f(x)的图象向右平移

? 个 4

面积.

第4页

20. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C:
x2 y2 3 ,以原点 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 2

为圆心,椭圆 c 的短半轴长为半径的圆与直线 x ? y ? 2 ? 0 相 切 A、B 是椭圆的左右顶点, 直线 l 过 B 点且与 x 轴垂直,如图. (I )求椭圆的标准方程; (II)设 G 是椭圆上异于 A、B 的任意一点,GH 丄 x 轴,H 为 垂足,延长 HG 到点 Q 使得 HG=GQ,连接 AQ 并延长交直线 l 于点 M,点 N 为 MB 的中点, 判定直线 QN 与以 AB 为直径的圆 O 的位置关系,并证明你的结论.

21. (本小题满分 14 分) 已 知 函 数 f (x)=ex-ax(e 为 自 然 对 数 的 底 数 ). (I )求函数 f (x)的单调区间; (II)如果对任意 x ? [2,??] ,都有不等式 f (x)> x + x2 成立,求实数 a 的取值范围;
1 n 2 n 3 n n n e (III)设 n ? N * ,证 明 : ( ) + ( ) + ( ) +…+ ( ) < e ?1 n n n n

绵阳市高中 2010 级第三次诊断性考试 数学(文)参考解答及评分标准 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. DCCBB AABDD
第5页

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.1 12.16π 13.3 14.
3 3?4 10

15.①④

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.解: (Ⅰ)成绩在区间 ?70, ? 的频率是: 90 1 ? (0.02+0.016+0.006+0.004)× 10=0.54,∴ n ? (Ⅱ)成绩在区间 ?80, ? 的频率是: 90
27 ? 50 人.………………3 分 0.54

1 ? (0.02+0.016+0.006+0.004+0.03) ? 10=0.24, 利用组中值估计这 50 名学生的数学平均成绩是: 45× 0.04+55× 0.06+65× 0.2+75× 0.3+85× 0.24+95× 0.16=76.2. ……………3 分 (Ⅲ)成绩在区间 ?40, ? 的学生人数是:50× 0.04=2 人, 50 设成绩在区间 ?40, ? 的学生分别是 A1,A2,成绩在区间 ?50, ? 的学生分别是 B1,B2, 50 60 B3, 从成绩在 ?40, ? 的学生中随机选取 2 人的所有结果有:(A1,A2),(A1,B1), 60 (A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3)共 10 种情况. 至少有 1 人成绩在 ?40, ? 内的结果有:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1), 50 (A2,B2),(A2,B3)共 7 种情况. ∴ 至少有 1 人成绩在 ?40, ? 内的概率 P= 50
7 . ……………………………6 分 10

成绩在区间 ?50, ? 的学生人数是:50× 0.06=3 人, 60

17.解: (Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q,
? b1 ? q ? 2a1 ? d ? 10, ? 5? 4 2 ?5a1 ? 2 ? d ? 5b1q ? 3(a1 ? d ), ? 17 解得 q=2 或 q= ? (舍),d=2. 5

由题意可得: ?

∴ 数列{an}的通项公式是 an=2n+1,数列{bn}的通项公式是 bn ? 2n?1 . …7 分
2 1 1 n(3 ? 2n ? 1) ? ? , ? n2 ? 2n ,于是 cn ? Sn n n ? 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ Tn ? 1 ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?1? ? ? 3 2 4 3 5 n n?2 2 n ?1 n ? 2 3 1 1 3 < . …………12 分 ? ? ? 2 n ?1 n ? 2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 Sn ?

18.解: (Ⅰ)如图,记 AC 与 BD 的交点为 O,连接 EO,于是 DO=OB. ∵ EF∥BD 且 EF= BD, ∴ EF OB, ∴ 四边形 EFBO 是平行四边形, ∴ BF∥EO. 而 BF ? 平面 ACE,EO ? 平面 ACE, ∴ BF∥平面 ACE.…………………………4 分 A (Ⅱ)∵ ED⊥平面 ABCD,AC ? 平面 ABCD, ∴ ED⊥AC. ∵ ABCD 是正方形,
E F

1 2

D O B

C

第6页

∴ BD⊥AC, ∴ AC⊥平面 BDEF. 又 AC?平面 EAC,故平面 EAC⊥平面 BDEF. ……………………………8 分 (Ⅲ)连结 FO,∵ EF DO, ∴ 四边形 EFOD 是平行四边形. 由 ED⊥平面 ABCD 可得 ED⊥DO, ∴ 四边形 EFOD 是矩形. ∵ 平面 EAC⊥平面 BDEF. ∴ 点 F 到平面 ACE 的距离等于就是 Rt△EFO 斜边 EO 上的高,
6 EF ? FO 1 ? 2 ? = . 3 OE 3 ∴几何体 ABCDEF 的体积 V ? V三棱锥E ? ACD ? V三棱锥F ? ACE ? V三棱锥F ? ABC

且高 h=

= ? ? 2 ? 2 ?1+ ? ? 2 2 ? 3 ?

1 1 3 2

1 1 3 2

6 1 1 + ? ? 2 ? 2 ?1 3 3 2

=2.……………………………………………12 分 2? ? ? 19.解: (Ⅰ)由图知: =4 + ) ,解得 ω=2. ( ? 12 6 ? ? 再由 f ( ) ? sin(2 ? ? ? ) ? 1 , 得
?
6 12 ? ? ? 2k? ? 2 2

?
2

12

(k ? Z) ,即 ? ? 2k? ? 3

?
3

(k ? Z) .

? ? ? 由 ? ? ? ? ,得 ? ? .

∴ f ( x) ? sin(2 x ? ) .
? ? ? ∴ f ( x ? ) ? sin[2( x ? ) ? ] ? sin(2x ? ) ,
? 即函数 y=g(x)的解析式为 g(x)= sin(2 x ? ) .………………………………6 分
6 (Ⅱ)由已知化简得: sin A ? sin B ? 2 6 sin Asin B . a b c 3 ∵ ? ? ? ? 2 R (R 为△ABC 的外接圆半径), sin A sin B sin C sin ? 3 ∴ 2R ? 2 3 , a b ∴ sinA= ,sinB= . 2R 2R a b a b ∴ ,即 a ? b ? 2ab . ① ? ?2 6? ? 2R 2R 2R 2R 4 4 3 6

?

?

3

由余弦定理,c2=a2+b2-2abcosC, 即 9=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab. ② 联立①②可得:2(ab)2-3ab-9=0,解得:ab=3 或 ab= ? (舍去),
1 3 3 .…………………………………12 分 2 4 c 3 20.解: (Ⅰ)由题可得:e= ? . a 2 ∵ 以原点为圆心,椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线 x+y+ 2 =0 相切,

3 2

故△ABC 的面积 S△ABC= ab sin C ?

第7页



0?0? 2 12 ? 12

=b,解得 b=1.
x2 ? y 2 ? 1 .……………………………………………5 分 4

再由 a2=b2+c2,可解得:a=2. ∴ 椭圆的标准方程:

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知:A(-2,0),B(2,0),直线 l 的方程为:x=2. 设 G(x0,y0)(y0≠0),于是 H(x0,0),Q(x0,2y0), 且有
x0 2 ? y0 2 ? 1 ,即 4y02=4-x02. 4

设直线 AQ 与直线 BQ 的斜率分别为:kAQ,kBQ, ∵ k AQ ? kBQ ?
2 y0 2 y0 4y 2 4?x 2 ? ? 2 0 ? 2 0 ? ?1 ,即 AQ⊥BQ, x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 4 x0 ? 4
2 y0 ( x ? 2) , x0 ? 2

∴ 点 Q 在以 AB 为直径的圆上. ∵ 直线 AQ 的方程为: y ?

2 y0 ? ? x ? 2, ( x ? 2), 8y ?y ? ? x0 ? 2 由? 解得: ? 8 y0 即 M (2, 0 ) , x0 ? 2 ? x ? 2, ? y ? x ? 2, 0 ? ? 4y ∴ N (2, 0 ) . x0 ? 2 4 y0 ? 2 y0 x0 ? 2 ?2 x0 y0 ?2 x0 y0 ? x0 ? ? ? ∴ 直线 QN 的斜率为: kQN ? , 2 ? x0 4 ? x0 2 4 y0 2 2 y0

∴ kOQ ? kQN ?

2 y0 ? x0 ? ? ?1 ,于是直线 OQ 与直线 QN 垂直, x0 2 y0

∴ 直线 QN 与以 AB 为直径的圆 O 相切. …………………………………13 分 21.解: (Ⅰ)∵ f ?( x) ? e x ? a , 当 a≤0 时 f ?( x) ? 0 ,得函数 f (x)在(-∞,+∞)上是增函数. 当 a>0 时, 若 x∈(lna,+∞), f ?( x) ? 0 ,得函数 f ( x) 在(lna,+∞)上是增函数; 若 x∈(-∞,lna), f ?( x) ? 0 ,得函数 f ( x) 在(-∞,lna)上是减函数. 综上所述,当 a≤0 时,函数 f (x)的单调递增区间是(-∞,+∞);当 a>0 时,函数 f (x) 的单 调递增区间是(lna,+∞),单调递减区间是(-∞,lna).…5 分 ? (Ⅱ)由题知:不等式 ex-ax>x+x2 对任意 x ?[2, ?) 成立,
ex ? x2 ? x ? 对任意 x ?[2, ?) 成立. x ex ? x2 ? x ( x ? 1)e x ? x 2 设 g ( x) ? (x≥2),于是 g ?( x) ? . x x2 再设 h( x) ? ( x ? 1)e x ? x2 ,得 h?( x) ? x(e x ? 2) .

即不等式 a ?

由 x≥2,得 h?( x) ? 0 ,即 h( x) 在 [2,? ?) 上单调递增, ∴ h(x)≥h(2)=e2-4>0,进而 g ?( x) ?
h( x) ?0, x2
e2 ?3, 2

∴ g(x)在 [2,? ?) 上单调递增,∴ [ g ( x)]min ? g (2) ?

第8页

∴ a?

e2 e2 ? 3 ,即实数 a 的取值范围是 ( ?? , ? 3) .………………………10 分 2 2

(Ⅲ)由(Ⅰ)知, 当 a=1 时,函数 f (x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. ∴ f (x)≥f (0)=1,即 ex-x≥1,整理得 1+x≤ex.
? i i i n n n n ? 1 n ?1 n ? 3 n ?3 n ? 2 n ?2 1 n ? ( n ?1) ∴( , ) ≤e ,( ) ≤e ,( ) ≤ e ,…, ( ) ≤ e n n n n n 显然 ( )n ≤ e 0 , n n n n ?1 n n ? 2 n n ? 3 n 1 ∴ ( ) ?( ) ?( ) ?( ) ? ??? ? ( )n ≤ e0 ? e?1 ? e?2 ? e?3 ? ??? ? e?( n?1) n n n n n 1 ? e ? n e(1 ? e ? n ) e ? ? ? , 1 ? e ?1 e ?1 e ?1 1 2 3 n n e 故不等式 ( )n ? ( )n ? ( )n ? …+( ) ? (n∈N*)成立.……………4 分 n n n n e ?1

令 x ? ? (n∈N*,i=1,2,…,n-1),则 0 ? 1 ? ≤ e n ,即 (1 ? )n ≤ e ? i ,

i

第9页


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