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专题十一:隔板法在解排列组合问题中的应用(同元分组问题)


隔板法在解排列组合问题中的应用 隔板法又称隔墙法、插板法是处理名额分配、相同物体的分配等排列组合问题的重要 方法,本文将将通过例题将这种方法作以介绍,供同学们学习时参考. 一、将 n 件相同物品(或名额)分给 m 个人(或位置) ,允许若干个人(或位置)为空 的问题 例 1 将 20 个大小形状完全相同的小球放入 3 个不同的盒子,允许有盒子为空,但球必 须放完,有多少种不同的方法? 分析:本题中的小球大小形状完全相同,故这些小球没有区别,问题等价于将小球分 成三组,允许有若干组无元素,用隔板法. 解析:将 20 个小球分成三组需要两块隔板,将 20 个小球及两块隔板排成一排,两块 隔板将小球分成三块, 从左到右看成三个盒子应放的球数, 每一种隔板与球的排法对应一种 分法.将 20 个小球和 2 块隔板排成一排有 22 个位置,先从这 22 个位置中取出两个位置放隔
2 板,因隔板无差别,故隔板之间无序,是组合问题,故隔板有 C22 种不同的放法,再将小球

放入其他位置,由于小球与隔板都无差别,故小球之间无序,只有 1 种放法,根据分步计数
2 原理,共有 C22 ×1=231 种不同的方法.

点评:对 n 件相同物品(或名额)分给 m 个人(或位置) ,允许若干个人(或位置)为 空的问题,可以看成将这 n 件物品分成 m 组, 允许若干组为空的问题.将 n 件物品分成 m 组, 需要 m ? 1 块隔板, 将这 n 件物品和 m ? 1 块隔板排成一排, 占 n ? m ? 1 位置, 从这 n ? m ? 1 个位置中选 m ? 1 个位置放隔板,因隔板无差别,故隔板之间无序,是组合问题,故隔板有
m?1 Cn ? m?1 种不同的方法,再将物品放入其余位置,因物品相同无差别,故物品之间无顺序,是 m?1 m?1 m ? 1 块隔 组合问题,只有 1 种放法,根据分步计数原理,共有 Cn ? m?1 ×1= Cn? m?1 种排法,因

板将 n 件相同物品分成 m 块,从左到右可以看成每人所得的物品数,每一种隔板与物品的
m?1 排法对应于一种分法,故有 Cn ? m?1 种分法.

二、将 n 件相同物品(或名额)分给 m 个人(或位置) ,每人(或位置)必须有物品问 题 例 2 将 20 个优秀学生名额分给 18 个班,每班至少 1 个名额,有多少种不同的分配方 法? 分析:本题是名额分配问题,用隔板法. 解析:将 20 个名额分配给 18 个班,每班至少 1 个名额,相当于将 20 个相同的小球分 成 18 组,每组至少 1 个,将 20 个相同的小球分成 18 组,需要 17 块隔板,先将 20 个小球 排成一排,因小球相同,故小球之间无顺序,是组合,只有 1 种排法,再在 20 个小球之间 的 19 个空档中,选取 17 个位置放隔板,因隔板无差别,故隔板之间无序,是组合问题,故 隔板有 C19 种不同的放法,根据分步计数原理,共有 C19 种不同的方法,因 17 块隔板将 20 个小球分成 18 组,从左到右可以看成每班所得的名额数,每一种隔板与小球的排法对应于 一种分法,故有 Cn?m?1 种分法. 点评: :对 n 件相同物品(或名额)分给 m 个人(或位置) ,每个人(或位置)必须有
m?1 17 17

物品问题,可以看成将这 n 件物品分成 m 组,每组不空的问题.将 n 件物品分成 m 组,需要 m ? 1 块隔板,将这 n 件物品排成一排,因物品无差别,故物品之间无顺序,是组合问题, 只有 1 种排法, 再在这 n 件物品之间的 n ? 1 空档中选取 m ? 1 个位置放隔板, 占 n ? m ? 1位 置,从这 n ? m ? 1 个位置中选 m ? 1 个位置放隔板,因隔板无差别,故隔板之间无序,是组
m?1 m?1 m?1 合问题,故隔板有 Cn ?1 种不同的放法,根据分步计数原理,共有 1× Cn ?1 = Cn ?1 种不同排

法,因 m ? 1 块隔板将 n 件相同物品分成 m 块,从左到右可以看成每人所得的物品数,每一
m?1 种隔板与物品的排法对应于一种分法,故有 Cn ?1 种分法.

对相同物品分配问题,注意某若干组能否为空,能为空和不能为不空,方法不同,要 体会和掌握.



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