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高中数学新人教A版选修2-2同步练习:2.3 数学归纳法


选修 2-2 2. 3 数学归纳法 一、选择题 1 1 1 1.用数学归纳法证明 1+ + +?+ n <n(n∈N*,n>1)时,第一步应验证不 2 3 2 -1 等式( ) 1 A . 1 + <2 2 1 1 1 D.1+ + + <3 2 3 4 [解析] 2 1 1 B.1+ + <2 2 3 1 1 C.1+ + <3 2 3 ∵n∈N*,n>1,∴n 取第一个自然数为 2,左端分母最大的项为 1 1 = ,故选 B. 2 -1 3 2.用数学归纳法证明 1+a+a +?+a 时,左边所得的项为( A .1 +a+a2+a3 [解析] B. 3.设 f(n)= A. D. 1 1 1 + +?+ (n∈N*),那么 f(n+1)-f(n)等于( n+1 n+2 2n B. 1 2n+2 C. ) 因为当 n=1 时,an+1=a2,所以此时式子左边=1+a+a2.故应选 ) B . 1+ a + a2 C .1 +a D .1 2 n+1 1-an+2 = (n∈N*,a≠1),在验证 n=1 1-a 1 2n+1 1 1 + 2n+1 2n+2 1 1 - 2n+1 2n+2 [解析] f(n+1)-f(n) ? ? 1 1 1 1 1 ? + +?+ + + =? 2n 2n+1 2(n+1)? ?(n+1)+1 (n+1)+2 -? = ? 1 1 1? 1 1 1 + +?+ ?= + - 2n? 2n+1 2(n+1) n+1 ?n+1 n+2 1 1 - . 2n+1 2n+2 4.某个命题与自然数 n 有关,若 n=k(k∈N*)时,该命题成立,那么可推得 n= k+1 时该命题也成立. 现在已知当 n=5 时, 该命题不成立, 那么可推得( A.当 n=6 时该命题不成立 C.当 n=4 时该命题不成立 [解析] B.当 n=6 时该命题成立 D.当 n=4 时该命题成立 ) 原命题正确,则逆否命题正确.故应选 C. 5.用数学归纳法证明命题“当 n 是正奇数时,xn+yn 能被 x+y 整除”,在第二 步的证明时,正确的证法是( ) A.假设 n=k(k∈N*),证明 n=k+1 时命题也成立 B.假设 n=k(k 是正奇数),证明 n=k+1 时命题也成立 C.假设 n=k(k 是正奇数),证明 n=k+2 时命题也成立 D.假设 n=2k+1(k∈N),证明 n=k+1 时命题也成立 [解析] ∵n 为正奇数,当 n=k 时,k 下面第一个正奇数应为 k+2,而非 k+1.故应选 C. 6.凸 n 边形有 f(n)条对角线,则凸 n+1 边形对角线的条数 f(n+1)为( A . f(n) + n + 1 D.f(n)+n-2 [解析] 增加一个顶点,就增加 n+1-3 条对角线,另外原来的一边也变成 了对角线,故 f(n+1)=f(n)+1+n+1-3=f(n)+n-1.故应选 C. B . f(n) + n ) C . f(n) + n - 1 7.用数学归纳法证明“对一切 n∈N*,都有 2n>n2-2”这一命题,证明过程中应 验证( ) B. n=1, n=2 时命题成 C. n=3 时命题成立 D. n A. n=1 时命题成立 =1,n=2,n=3 时命题成立 [解析] 假设 n=k 时不等式成立,即 2k>k2-2, 当 n=k+1 时 2k+1=2·2k>2(k2-2) 由 2(k2-2)≥(k-1)2-4?k2-2k-3≥0 ?(k+1


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