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2013年福建文科数学一轮复习《圆与方程》


2013 年福建文科数学一轮复习《圆与方程》
1、圆的标准方程 (1)以点 C (a, b) 为圆心, r 为半径的圆的方程: ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 (2)圆心在原点的圆的标准方程: x 2 ? y 2 ? r 2 2、圆的一般方程: x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,( D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 )①

说明:(1) x 2 和 y 2 项的系数相等且都不为零;(2)没有 xy 这样的二次项. D E 1 (3)表示以 (? , ? ) 为圆心, D2 ? E 2 ? 4F 为半径的圆. 2 2 2 (1)当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,方程①只有实根 x ? ?

D E D E , y ? ? ,方程①表示一个点 (? , ? ) 2 2 2 2

(2)当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,方程①没有实根,因而它不表示任何图形 3、点与圆的位置关系:设点到圆心的距离为 d,圆半径为 r: (1)点在圆上 d=r; (2)点在圆外
2 2 2

d>r;

(3)点在圆内
2

d<r.

给定点 M ( x 0 , y 0 ) 及圆 C : ( x ? a) ?( y ? b) ?r ,则 ① M 在圆 C 内 ? ( x0 ?a) ?( y 0 ?b)2 ?r 2 ② M 在圆 C 上 ? (x 0 ?a) 2 ?( y 0 ?b) 2 ?r 2 涉及最值: (1)圆外一点 B ,圆上一动点 P ,讨论 PB 的最值
PB min ? BN ? BC ? r ; PB max ? BM ? BC ? r

③ M 在圆 C 外 ? ( x0 ?a)2 ?( y 0 ?b)2 ?r 2

(2)圆内一点 A ,圆上一动点 P ,讨论 PA 的最值

PA min ? AN ? r ? AC ; PA max ? AM ? r ? AC
思考:过此 A 点作最短的弦?(此弦垂直 AC ) 4、直线与圆的位置关系:相离、相切、相交,判定方法有两种: ⑴代数法:直线:Ax+By+C=0,圆:x2+y2+Dx+Ey+F=0,联立得方程组

? Ax ? By ? C ? 0 判别式 消元 ? ??? ? 一元二次方程 ??? ? 2 2 △ ?b2 ? 4 ac ? x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0

?△ ? 0 ? 相交 ? ?△ ? 0 ? 相切 ?△ ? 0 ? 相离 ?

(2)几何法:直线:Ax+By+C=0,圆:(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心(a,b)到直线的距离为 d=

| Aa ? Bb ? C | A2 ? B 2

,则 ?

?d ? r ? 相离 ?d ? r ? 相切 ?d ? r ? 相交 ?

5、圆的弦长的求法:(1)几何法:当直线和圆相交时,设弦长为 l ,弦心距为 d ,半径为 r ,
?l? 则 ? ? ? d 2 ? r2 ?2?
2

yA ? , B ? xB , yB ? (2)代数法:设 l 的斜率为 k , l 与圆的交点分别为 A ? xA ,
1 ? y A ? yB . k2
1

则弦长 AB ? 1 ? k 2 ? xA ? xB ; AB ? 1 ?

6、圆与圆的位置关系(圆心距 d ,两圆半径 R , r , R ? r ) 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含

公共点个数
几何特征

0

1

2

1

0

d ? R?r

d ? R?r

R?r ? d ? R?r

d ? R?r

d ? R?r

两个圆的方程组成的方程组 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解

B 的圆有无数多个,表示这无数多个圆的方程称为圆系方程. 7、圆系方程:经过两个定点 A ,

(1)经过直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的交点的圆系方程 为 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? ? ? Ax ? By ? C ? ? 0 ,其中 ? ? R . (2) 经过圆 C1 : x2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 与圆 C2 : x2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 的交点的圆系方程 为 C1 : x2 ? y2 ? D1x ? E1 y ? F1 ? ? x2 ? y2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 ,其中 ? ? R 且 ? ? ?1 同时不包括圆 C2 当 ? ? ?1 时,方程变为 ? D1 ? D2 ? x ? ? E1 ? E2 ? y ? F1 ? F2 ? 0 ,若两圆相交,则其表示两圆公共弦 所在直线方程. 8、圆的切线方程:(1)已知圆 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 . ①若已知切点 ( x0 , y0 ) 在圆上,则切线只有一条,其方程是当 ( x0 , y0 ) 圆外时,

?

?

D( x0 ? x) E ( y0 ? y ) ? ? F ? 0 表示过两个切点的切点弦方程. 2 2 求已知圆 E 过已知点 P0 ( x0 , y0 ) 的切线 l 方程。(需讨论 K 的存在性) x0 x ? y0 y ?
方法一:利用圆心 E到直线l的距离d ? r 。 1)待定系数法:设 l : y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ? ? ? 程用判别式? ? 0 ?方法二:联立它们的方
? xx0 ? x 2 ? 2 2)当 P0 ( x0 , y0 ) 是切点时可用均值代换: ? yy0 ? y ?( x0 ? a)(x ? a) ? ( x ? a) 2 。 ? x ? x0 ?? ? x 或? 2 ?( y 0 ? b)( y ? b) ? ( y ? b) ? 2 ? y ? y0 ?y ? ? 2

②过圆外一点的切线方程可设为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,再利用相切条件求 k,这时必有两条切 线,注意不要漏掉平行于 y 轴的切线. ③斜率为 k 的切线方程可设为 y ? kx ? b ,再利用相切条件求 b,必有两条切线. (2)已知圆 x ? y ? r :①过圆上的 P 0 ( x0 , y0 ) 点的切线方程为 x0 x ? y0 y ? r ;
2 2 2

2

②斜率为 k 的圆的切线方程为 y ? kx ? r 1 ? k 2 .
2

【针对性练习】 1、若一圆的标准方程为(x-1) +(y+5) =3,则此圆的的圆心和半径分别为( A.(-1,5), 3
2 2 2 2



B.(1,-5),

3

C.(-1,5),3

D.(1,-5),3 ( )

2、已知圆 x +y +Dx+Ey+F=0 的圆心坐标为(-2,3)半径为 4,则 D,E,F 分别是 A.-4、-6、3 B.-4、6、3 C.-4、6、–3 ) D. 4 π
2

D. 4、-6、-3

3、圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 的周长是( A. 2 2 π
1) A. (?1,
2 2

B. 2 π
2 2

C. 2π

4、如果圆的方程为 x ? y ? kx ? 2 y ? k ? 0 ,那么当圆面积最大时,圆心坐标为(
? 1) B. (1 ,

) .

0) C. (?1 ,
2 2

? 1) D. (0 ,

5、以(5,6)和(3,-4)为直径端点的圆的方程是( A. x ? y ? 4x ? 2 y ? 7 ? 0 C. x ? y ? 4x ? 2 y ? 5 ? 0
2 2



B. x ? y ? 8x ? 4 y ? 6 ? 0 D. x 2 ? y 2 ? 8x ? 2 y ? 9 ? 0 )
2 2 2

6、以点 A(?5, 4) 为圆心,且与 x 轴相切的圆的标准方程为( A. ( x ? 5) ? ( y ? 4) ? 16
2 2

B. ( x ? 5) ? ( y ? 4) ? 16 C.在圆内
2 2

C. ( x ? 5) ? ( y ? 4) ? 25
2

D. ( x ? 5)2 ? ( y ? 4)2 ? 25 )

7、若直线 ax ? by ? 1与圆 x 2 ? y 2 ? 1相交,则点 P (a, b) 与圆的位置关系是( A.在圆上 A.相切 A.2 A、8 B.在圆外 B.直线过圆心
2

D.不能确定 ) D.相离 ) ) )

8、直线 x ? y ? 1 ? 0 与圆 ? x ? 1? ? y ? 1 的位置关系是(
2

C.直线不过圆心但与圆相交 D. 14 D、 4 3
2

9、过点 ? 4 , 4 ? 引圆 ? x ? 1? ? ? y ? 3? ? 4 的切线,则切线长是( B. 10 B、6 C. 6 C、 6 2
2

10、圆心为(1,-2),半径为 2 5 的圆在 x 轴上截得的弦长为(

11、直线 x+y-1=0 被圆 x +y -2x-2y-6=0 所截得的线段的中点坐标是( A、 (

1 1 1 3 3 1 , ) B、 (0,0) C、 ( , ) D、 ( , ) 2 2 4 4 4 4 2 2 12、圆 x ? y ? 4x ? 4 y ? 5 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 9 ? 0 的最大距离与最小距离的差为(
A. 3
2 2

) ).

B. 2 3 B.外切
2 2

C. 3 3
2 2

D.6

13、圆 C1 : x +y +2x+8y-8=0 与圆 C2 : x +y -4x+4y-2=0 的位置关系是( A.相交 A.1 条 C.内切
2 2

D.相离 ). D.4 条 ,圆的半径为

14、两圆 x +y -4x+2y+1=0 与 x +y +4x-4y-1=0 的公共切线有( B.2 条
2

C.3 条
2

15、已知圆的方程为 x ? y ? 6x ? 4 y ? 9 ? 0 ,则圆心坐标为 17、过三点 A(1,1)B(3,1)和 C(5,3)的圆的方程为

2) , B (?2,3) 的圆的方程为 16、求圆心在直线 y ? 2 x ? 3 上,且过点 A(1,

18、点( 2a, a ? 1 )在圆 x2 ? y 2 ? 2 y ? 4 ? 0 的内部,则 a 的取值范围是 19、圆心为 C(3,-5),并且与直线 x-7y+2=0 相切的圆的方程为
3

20、自点 P ? 6 , ? 4? 向圆 x2 ? y 2 ? 20 引割线,所得弦长为 6 2 ,则这条割线所在直线的方程是
1) 的圆 C 与直线 x ? y ? 1 ? 0 相切于点 B (2 , 1) .则圆 C 的方程为 21、过点 A(4 ,

22、圆心在 x 轴上,且与直线 y ? x 切于 ?1 , 1? 点的圆的方程为______ 23、圆 ? x ? 1? ? ? y ? 3? ? 1 关于直线 x ? y ? 0 对称的曲线方程是________
2 2

24、圆 ? x ? 3? ? ? y ? 1? ? 1 关于点 ? 2, 3? 对称的曲线方程是____________
2 2

25、求经过原点,且过圆 x 2 ? y 2 ? 8x ? 6 y ? 21 ? 0 和直线 x ? y ? 5 ? 0 的两个交点 的圆的方程是____________ 26、求下列各圆的标准方程: (1)圆心在 y ? ? x 上且过两点(2,0) , (0,-4) ; (2)圆心在直线 2 x ? y ? 0 上,且与直线 x ? y ? 1 ? 0 切于点(2,-1). (3)圆心在直线 5x ? 3 y ? 8 上,且与坐标轴相切
新疆 学案 新疆 学案

王新敞 王新敞

27、已知直线 l : x ? 2 y ? 5 ? 0 与圆 C : ( x ? 7) ? ( y ? 1) ? 36 .
2 2

(1)判断直线 l 圆的位置关系;

(2)求直线 l 被圆 C 所截得的弦长.

28、已知⊙M: x ? ( y ? 2) ? 1, Q是x 轴上的动点,QA,QB 分别切⊙M 于 A,B 两点,
2 2

如果 | AB |?

4 2 ,求直线 MQ 的方程; 3

29、点 P(x,y)是圆(x+2)2+y2=1 上任意一点. (1)求 P 点到直线 3x+4y+12=0 的距离的最大值和最小值; (2)求 x-2y 的最大值和最小值; (3)求
y?2 的最大值和最小值. x ?1

4


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