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高三数学错题本(复习)03


高三数学错题本(复习)03
一.选择题(共 14 小题) 1. (2013?四川)设函数 则 a 的取值范围是( A.[1,e]
x

(a∈R,e 为自然对数的底数) .若存在 b∈[0,1]使 f(f(b) )=b 成立, ) B.[1,1+e] C.[e,1+e] D.[0,1]

2.已知函数 f(x)=e +alnx 的定义域为 D,关于函数 f(x)给出下列命题: ① 对于任意函数 a∈(0,+∞) ,函数 f(x)是 D 上的减函数; ② 对于任意函数 a∈(﹣∞,0) ,函数 f(x)存在最小值; ③ 存在 a∈(0,+∞) ,使得对于任意的 x∈D,都有 f(x)>0. 其中正确命题的序号是( ) ② A .② B.① C .③ 3.已知函数 f(x)=e +alnx 的定义域是 D,关于函数 f(x)给出下列命题: ① 对于任意 a∈(0,+∞) ,函数 f(x)是 D 上的减函数; ② 对于任意 a∈(﹣∞,0) ,函数 f(x)存在最小值; ③ 存在 a∈(0,+∞) ,使得对于任意的 x∈D,都有 f(x)>0 成立; ④ 存在 a∈(﹣∞,0) ,使得函数 f(x)有两个零点. 其中正确命题的序号是( ) ② ③ ④ A .① B.② C .②
x

③ D.①

④ D.③

4.已知函数 f(x)对任意的实数 x1<x2 都有 f(x1)<f(x2) ,a,b∈R 对于命题“若 a+b≥0,则 f(a)+f(b)≥f(﹣ a)+f(﹣b)有下列结论:① 此命题的逆命题为真命题;② 此命题的否命题为真命题;③ 此命题的逆否命题为真命题; ④ 此命题的逆命题和否命题有且只有一个真命题.其中正确结论的个数为( ) A .1 个 B.2 个 C .3 个 D.4 个 5.已知函数 f(x)= ,对于下列三个命题:① f(x)是偶函数;② f(x)<1;③ 当 x= 时,f(x)取得极小

值.其中真命题的序号为( ) ② ③ A .① B.①
x

③ C .②

② ③ D.①

6. (2014?福建模拟)已知函数 f(x)=e +alnx 的定义域是 D,关于函数 f(x)给出下列命题: ① 对于任意 a∈(0,+∞) ,函数 f(x)是 D 上的减函数; ② 对于任意 a∈(﹣∞,+0) ,函数 f(x)存在最小值; ③ 对于任意 a∈(0,+∞) ,使得对于任意的 x∈D,都有 f(x)>0 成立; ④ 对于任意 a∈(﹣∞,+0) ,使得函数 f(x)有两个零点. 其中正确命题的个数是( )B. A .1 B.2 C .3 D.4 7. (2014?延庆县一模)对于函数 f(x)=e ﹣lnx(a 是实常数) ,下列结论正确的一个是( A. a=1 时,f(x)有极大值,且极大值点 x0∈( ,1) B. C. a=2 时,f(x)有极小值,且极小值点 x0∈(0, ) a= 时,f(x)有极小值,且极小值点 x0∈(1,2)
ax



D.a<0 时,f(x)有极大值,且极大值点 x0∈(﹣∞,0) 8. (2009?海淀区一模)对于数列{an},若存在常数 M,使得对任意 n∈N ,an 与 an+1 中至少有一个不小于 M,则记 作{an}>M,那么下列命题正确的是( ) A.若{an}>M,则数列{an}各项均大于或等于 M B. 若{an}>M,{bn}>M,则{an+bn}>2M 2 2 C. 若{an}>M,则{an }>M
1/25
*

D.若{an}>M,则{2an+1}>2M+1 9. (2011?上海模拟)设函数 f(x)的定义域为 D,若存在非零常数 l,使得对于任意 x?M(M?D)都有 f(x+l)≥f (x) ,则称 f(x)为 M 上的高调函数,l 是一个高调值. 现给出下列命题: ① 函数 f(x)= 为 R 上的高调函数;

② 函数 f(x)=sin2x 为 R 上的高调函数 2 ③ 若函数 f(x)=x +2x 为(﹣∞,1]上的高调函数,则高调值 l 的取值范围是(﹣∞,﹣4]. 其中正确的命题个数是( ) A .0 个 B.1 个 C .2 个 D.3 个 10.若对于定义在 R 上的函数 f(x) ,其图象是连续不断的,且存在常数 λ(λ∈R) ,使得 f(x+λ)+λf(x)=0 对任 意的实数 x 恒成立,则称 f(x)是“λ﹣同伴函数”.下列关于“λ﹣同伴函数”的命题: ① “ ﹣同伴函数”至少有一个零点; ② f(x)=x 是“λ﹣同伴函数”; x ③ f(x)=2 是“λ﹣同伴函数”; ④ f(x)=0 是唯一一个常值“λ﹣同伴函数”. 其中正确的命题个数为( ) A .1 B.2
2 2

C .3 )

D.4 D.2cm 或 4cm ) D.

11.已知扇形的周长是 10cm,面积是 4cm ,则扇形的半径是( A.1cm B.1cm 或 4cm C.4cm 12.已知函数 y=sinωx 在 A. B.
2

上是减函数,则 ω 的取值范围是( C.

13.已知函数 f(x)在 R 上满足 f(x)=2f(2﹣x)﹣x +8x﹣8,则曲线 y=f(x)在点 (1,f(1) )处切线的斜率 是( ) A .2 B.1 C .3 D.﹣2 14. (2014?乌鲁木齐三模)若函数 则 a+b 的最大值是( ) A .4 B. 二.填空题(共 14 小题) 15.已知函数 f(x)= 的图象在 x=0 处的切线与圆 x +y =1 相切,
2 2

C .2

D.

.对于下列命题:

① 函数 f(x)是周期函数; ② 函数 f(x)既有最大值又有最小值; ③ 函数 f(x)的定义域是 R,且其图象有对称轴; ④ 对于任意 x∈(﹣1,0) ,f′ (x)<0(f′ (x)是函数 f(x)的导函数) . 其中真命题的序号是 _________ . (填写出所有真命题的序号) x 16.已知函数 f(x)=e ﹣alnx 的定义域是 D,有下列四个命题: ① 对于?a∈(﹣∞,0) ,函数 f(x)在 D 上是单调增函数; ② 对于?a∈(0,+∞) ,函数 f(x)存在最小值; ③ ?a∈(﹣∞,0) ,使得对于 x∈D,都有 f(x)>0 成立; ④ ?a∈(0,+∞) ,使得函数 f(x)有两个零点. 其中是真命题的为 _________ . (填所有符合要求的序号) x 17. (2012?上饶一模)已知函数 f(x)=e +alnx 的定义域是 D,关于函数 f(x)给出下列命题: ① 对于任意 a∈(0,+∞) ,函数 f(x)是 D 上的减函数; ② 对于任意 a∈(﹣∞,0) ,函数 f(x)存在最小值; 2 / 23

③ 对于任意 a∈(0,+∞) ,使得对于任意的 x∈D,都有 f(x)>0 成立; ④ 存在 a∈(﹣∞,0) ,使得函数 f(x)有两个零点. 其中正确命题的序号是 _________ . (写出所有正确命题的序号) 18. (2014?内江模拟)给出以下五个命题: lgb lga ① 对于任意的 a>0,b>0,都有 a =b 成立; ② 直线 y=x?tanα+b 的倾斜角等于 α; ③ 已知异面直线 a,b 成 60°角,则过空间一点 P 且与 a,b 均成 60°角的直线有且只有两条; ④ 在平面内,如果将单位向量的起点移到同一个点,那么终点的轨迹是一个半径为 1 的圆; ⑤ 已知函数 y=f (x) , 若存在常数 M>0, 使|f (x) |<M?|x|对定义域内的任意 x 均成立, 则称 f (x) 为“倍约束函数”. 对 于函数 f(x)= ﹣1,该函数是倍约束函数.

其中真命题的序号是 _________ . 19.已知函数 ,给出下列四个命题:

① 函数 f(x)是周期函数; ② 函数 f(x)既有最大值又有最小值; ③ 函数 f(x)的图象有对称轴; ④ 对于任意 x∈(﹣1,0) ,函数 f(x)的导函数 f′ (x)<0. 其中真命题的序号是 _________ . (请写出所有真命题的序号) 20. (2011?贵州模拟)给出下列四个命题:① 在空间,若四点不共面,则每三个点一定不共线;② 已知命题 p、q,“非 p 为假命题”是“p 或 q 是真命题”的必要不充分条件;③ 函数 的最小值为 2;④ 若奇函数 f(x)对于定义域内任

意 x 都有 f(x)=f(1﹣x) ,则 f(x)为周期函数.其中错误 命题的序号为 _________ . 21.已知函数 f(x)= ① 函数 f(x)是奇函数; ② 直线 x= 是函数 f(x)图象的对称轴; ③ 对任意 x∈R,f(x)满足|f(x)|<1; ④ 对任意 x∈(﹣1,0) ,函数 f(x)的导数满足 f′ (x)<0. 其中正确命题为 _________ (写出命题序号即可) . 22. (2010?郑州二模)已知函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,对于 x∈R 都有 f(x+6)=f(x)+f(3)成立,给出下 列命题: ① f(3)=0; ② f(﹣3)=0; ③ 直线 x=6 是函数 y=f(x)的图象的一条对称轴; ④ 函数 y=f(x)在[﹣9,﹣6]上为增函数. 其中所有正确命题的序号为 _________ . (把所有正确命题的序号都填上) 23. (2014?淄博三模)对于定义在 R 上的函数 f(x)图象连续不断,若存在常数 a(a∈R) ,使得 f(x+a)+af(x) =0 对任意的实数 x 成立,则称 f (x)是阶数为 a 的回旋函数,现有下列 4 个命题: 2 ① f(x)=x 必定不是回旋函数; ② 若 f(x)=sinωx(ω≠0)为回旋函数,则其最小正周期必不大于 2; ③ 若指数函数为回旋函数,则其阶数必大于 1; ④ 若对任意一个阶数为 a(a≥0)的回旋函数 f (x) ,方程 f(x)=0 均有实数根,其中为真命题的是 _________ . 24.若角 α 的终边上有一点 P(﹣4,a) ,且 sin α?cos α= ,则 a 的值为 _________ . ,对于下列命题:

3 / 23

25 题图 26 题图 27 题图 25.如上图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1) ,此时圆上二点 P 的位置在(0, 0) ,圆在 x 轴上沿正向滚动,则当圆滚动到圆心位于(2,1)时线段 OP 与初始单位圆的交点为 M,则|OM|= _________ . 26. (2012?山东)如上图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1) ,此时圆上一点 P 的 位置在(0,0) ,圆在 x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时, 的坐标为 _________ .

27.如上图,在平面直角坐标系中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1) ,此时 P 点位置是原点,圆在 x 轴上沿 正向滚动,当圆滚动到圆心位于( )时, 的坐标为 _________ .

28.已知 sinθ= ,且 θ 在第二象限,那么 2θ 在第 _________ 象限.

三.解答题(共 2 小题) 2 2 29.已知命题 p:?x∈[1,12],x ﹣a≥0.命题 q:?x0∈R,使得 x0 +(a﹣1)x0+1<0.若 p 或 q 为真,p 且 q 为假, 求实数 a 的取值范围.

30. (1)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1) ,此时圆上一点 P 的位置在(0, 0) ,圆在 x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时, 的坐标为 _________ . ,

(2)在矩形 ABCD 中,边 AB、AD 的长分别为 2、1,若 M、N 分别是边 BC、CD 上的点,且满足



的取值范围是 _________



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高三数学错题本
参考答案与试题解析

一.选择题(共 14 小题) 1. (2013?四川)设函数 则 a 的取值范围是( A.[1,e] ) B.[1,1+e] C.[e,1+e] D.[0,1] (a∈R,e 为自然对数的底数) .若存在 b∈[0,1]使 f(f(b) )=b 成立,

考点: 函数的零点与方程根的关系. 专题: 计算题;压轴题;函数的性质及应用. ﹣ ﹣ 分析: 根据题意,问题转化为“存在 b∈[0,1],使 f(b)=f 1(b)”,即 y=f(x)的图象与函数 y=f 1(x)的图象 ﹣1 有交点,且交点的横坐标 b∈[0,1].由 y=f(x)的图象与 y=f (x)的图象关于直线 y=x 对称,得到函数
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y=f(x)的图象与 y=x 有交点,且交点横坐标 b∈[0,1].因此,将方程
x 2

化简整理得 e =x ﹣

x

2

x+a,记 F(x)=e ,G(x)=x ﹣x+a,由零点存在性定理建立关于 a 的不等式组,解之即可得到实数 a 的 取值范围.
1 解答: 解:由 f(f(b) )=b,可得 f(b)=f (b) ﹣1 其中 f (x)是函数 f(x)的反函数 因此命题“存在 b∈[0,1]使 f(f(b) )=b 成立”,转化为


“存在 b∈[0,1],使 f(b)=f (b)”, ﹣1 即 y=f(x)的图象与函数 y=f (x)的图象有交点, 且交点的横坐标 b∈[0,1], ∵ y=f(x)的图象与 y=f (x)的图象关于直线 y=x 对称, ﹣1 ∴ y=f(x)的图象与函数 y=f (x)的图象的交点必定在直线 y=x 上, 由此可得,y=f(x)的图象与直线 y=x 有交点,且交点横坐标 b∈[0,1], 根据
x
﹣1

﹣1

,化简整理得 e =x ﹣x+a
2

x

2

记 F(x)=e ,G(x)=x ﹣x+a,在同一坐标系内作出它们的图象, 可得 ,即 ,解之得 1≤a≤e

即实数 a 的取值范围为[1,e] 故选:A

点评: 本题给出含有根号与指数式的基本初等函数,在存在 b∈[0,1]使 f(f(b) )=b 成立的情况下,求参数 a 的 取值范围.着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数的零点存在性定理和互为反函数的两个函数的图 象特征等知识,属于中档题. 2.已知函数 f(x)=e +alnx 的定义域为 D,关于函数 f(x)给出下列命题: ① 对于任意函数 a∈(0,+∞) ,函数 f(x)是 D 上的减函数; ② 对于任意函数 a∈(﹣∞,0) ,函数 f(x)存在最小值; ③ 存在 a∈(0,+∞) ,使得对于任意的 x∈D,都有 f(x)>0. 其中正确命题的序号是( ) 5 / 23
x

A .②

② B.①

C .③

③ D.①

考点: 命题的真假判断与应用;对数函数图象与性质的综合应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 求出函数的导函数,分析当 a∈(0,+∞)时,导函数的符号,进而可得函数的单调性;分析当 a∈(﹣∞, 0)时,函数的单调性,进而求出函数的最值,进而可判断② ;分析函数的零点及单调性,可判断③ . 解答: 解:∵ f′ (x)= ,定义域为 D(0,+∞) .
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当 a∈(0,+∞)时,f′ (x)>0 恒成立,故 f(x)是 D 上的增函数,故① 错误; 当 a∈(﹣∞,0)时,存在 x0∈D,使 f′ (x)=0, 则 f(x)在(0,x0)上是减函数,在(x0,+∞)上是增函数, 则 f(x0)为函数的最小值,故② 正确; 当 a∈(0,+∞)时,函数存在零点 x0,由① 得 f(x)是 D 上的增函数, 则当 x∈(0,x0)时,f(x)<0.故③ 错误; 故选:A 点评: 本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了利用导函数求函数的单调性,最值,零点,难度中档. 3.已知函数 f(x)=e +alnx 的定义域是 D,关于函数 f(x)给出下列命题: ① 对于任意 a∈(0,+∞) ,函数 f(x)是 D 上的减函数; ② 对于任意 a∈(﹣∞,0) ,函数 f(x)存在最小值; ③ 存在 a∈(0,+∞) ,使得对于任意的 x∈D,都有 f(x)>0 成立; ④ 存在 a∈(﹣∞,0) ,使得函数 f(x)有两个零点. 其中正确命题的序号是( ) ② ③ ④ A .① B.② C .②
x

④ D.③

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 阅读型;导数的综合应用. 分析: 先求导数,若为减函数则导数恒小于零;在开区间上,若有最小值则有唯一的极小值,若有零点则对应方 程有根 解答: 解:由对数函数知:函数的定义域为: (0,+∞) ,
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f′ (x)=e + , ① ∵ a∈(0,+∞)∴ f′ (x)=e + ≥0,f(x)是增函数.故① 不正确; ② ∵ a∈(﹣∞,0) ,∴ 存在 x 有 f′ (x)=e + =0,可以判断函数有最小值,故② 正确; ③ 画出函数 y=e ,y=alnx(a>0)的图象,x 可取(0,1)内的一个数 f(x)<0,故③ 不正确; x ④ 函数 y=e 是增函数,a<0 时,y=alnx 是减函数,所以存在 a∈(﹣∞,0) ,由图可让 a 的绝对值较大, x f(x)=e +alnx=0 有两个根,故④ 正确. 故选 C.
x x x

x

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点评: 本题主要考查导数法研究函数的单调性、极值、最值等问题,注意应用数形结合思想方法,是一道中档题. 4.已知函数 f(x)对任意的实数 x1<x2 都有 f(x1)<f(x2) ,a,b∈R 对于命题“若 a+b≥0,则 f(a)+f(b)≥f(﹣ a)+f(﹣b)有下列结论:① 此命题的逆命题为真命题;② 此命题的否命题为真命题;③ 此命题的逆否命题为真命题; ④ 此命题的逆命题和否命题有且只有一个真命题.其中正确结论的个数为( ) A .1 个 B.2 个 C .3 个 D.4 个 考点: 四种命题的真假关系. 专题: 计算题. 分析: 由已知条件得函数 f(x)在(﹣∞,+∞)上是增函数.我们可以先判断否命题的真假,然后根据互为逆否 的两个命题的真假性相同,可以得到其逆命题的真假;然后同理得出其逆否命题也是真命题,最后再对照 题中的几个选项,可得出正确结论的个数. 解答: 解:先证其否命题: “若 a+b<0,则 f(a)+f(b)<f(﹣a)+f(﹣b)”为真. a+b<0?a<﹣b,b<﹣a 结合函数在(﹣∞,+∞)上是增函数,得 f(a)<f(﹣b) ,f(b)<f(﹣a) 所以 f(a)+f(b)<f(﹣b)+f(﹣a) . 故其逆命题:“若(a)+f(b)≥f(﹣a)+f(﹣b) ,则 a+b≥0”也为真. 同理,其原命题与逆否命题也是真命题. 所以正确选项为① ② ③ ,3 个 故选 C 点评: 本题考查的知识点是四种间的逆否关系及四种命题,属于基础题.抓住原命题与其逆否命题等价和逆命题 与否命题等价这两组等价的关系,是解决本题的关键.
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5.已知函数 f(x)=

,对于下列三个命题:① f(x)是偶函数;② f(x)<1;③ 当 x=

时,f(x)取得极小

值.其中真命题的序号为( ) ② ③ A .① B.①

③ C .②

② ③ D.①

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 对于① ,考察证明 f(﹣x)与 f(x)的关系得证;对于② 针对函数 f(x)=
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的性质,只须考虑当 0<x<

时的函数值即可,再利用单位圆中的三角函数线,通过面积关系证明 sinx<x.对于③ ,利用商的导数运 算法则及基本初等函数的导数公式,求出函数的导数,然后根据导函数的符号确定函数的单调性即可得到 结论. 解答: 解:函数 f(x)= 当 x≠0 时,f(﹣x)= ∴ f(x)是偶函数;① 正确; 对于② ,针对函数 f(x)= 的性质,只须考虑当 0<x< 时的函数值即可, 的定义域为 x≠0, = = =f(x) ,

如图,在单位圆中,有 sinx=MA, 连接 AN,则 S△OAN<S 扇形 OAN, 设 的长为 l,则 x= =l,

∴ ON?MA< ON?x,即 MA<x, 又 sinx=MA, 7 / 23

∴ sinx<x,∴ f(x)=

<1,

而由该函数是偶函数,可知② 正确; f′ (x)= =



=0 得 xcosx﹣sinx=0,

即 tanx=x,但当 x= π 时,不满足 tanx=x, 故当 x= π 时,f(x)取不到极小值,故③ 错. 综上可得真命题的序号为① ② , 故选 A.

点评: 本小题主要考查利用导数研究函数的极值、函数单调性、函数奇偶性、不等式的解法等基础知识,考查运 算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于中档题. x 6. (2014?福建模拟)已知函数 f(x)=e +alnx 的定义域是 D,关于函数 f(x)给出下列命题: ① 对于任意 a∈(0,+∞) ,函数 f(x)是 D 上的减函数; ② 对于任意 a∈(﹣∞,+0) ,函数 f(x)存在最小值; ③ 对于任意 a∈(0,+∞) ,使得对于任意的 x∈D,都有 f(x)>0 成立; ④ 对于任意 a∈(﹣∞,+0) ,使得函数 f(x)有两个零点. 其中正确命题的个数是( )B. A .1 B.2 C .3 D.4 考点: 利用导数研究函数的单调性. 分析: 求出函数的导函数,分析当 a∈(0,+∞)时,导函数的符号,进而可得函数的单调性;分析当 a∈(﹣∞, 0)时,函数的单调性,进而求出函数的最值,进而可判断② ;分析函数的零点及单调性,可判断③ . 解答: x 解:∵ f′ (x)=e + ,定义域为 D(0,+∞) .
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当 a∈(0,+∞)时,f′ (x)>0 恒成立,故 f(x)是 D 上的增函数,故① 错误; 当 a∈(﹣∞,0)时,存在 x0∈D,使 f′ (x)=0, 则 f(x)在(0,x0)上是减函数,在(x0,+∞)上是增函数, 则 f(x0)为函数的最小值,故② 正确; 当 a∈(0,+∞)时,函数存在零点 x0,由① 得 f(x)是 D 上的增函数, 则当 x∈(0,x0)时,f(x)<0.故③ 错误; 当 a∈(﹣∞,0)时,由② 得: f(x)在(0,x0)上是减函数,在(x0,+∞)上是增函数, f(x0)<0,故④ 正确; 故选:B. 点评: 本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了利用导函数求函数的单调性,最值,零点,难度中档. 7. (2014?延庆县一模)对于函数 f(x)=e ﹣lnx(a 是实常数) ,下列结论正确的一个是( A. a=1 时,f(x)有极大值,且极大值点 x0∈( ,1) 8 / 23
ax



B. C.

a=2 时,f(x)有极小值,且极小值点 x0∈(0, ) a= 时,f(x)有极小值,且极小值点 x0∈(1,2)

D.a<0 时,f(x)有极大值,且极大值点 x0∈(﹣∞,0) 考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的综合应用. 分析: 求出函数的导数,根据函数极值存在的条件,以及函数零点的判断条件,判断 f′ (x)=0 根的区间即可得 到结论. ax 解答: 解:∵ f(x)=e ﹣lnx, ∴ 函数的定义域为(0,+∞) ,
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函数的导数为 f′ (x)=ae ﹣ ,

ax

若 a= ,f(x)=

﹣lnx,

则 f′ (x)=

﹣ 在(0,+∞)上单调递增,

f′ (1)=

,f′ (2)═



∴ 函数 f(x)存在极小值,且 f′ (x)=0 的根在区间(1,2)内, 故选:C 点评: 本题主要考查函数零点的判断以及函数极值的求解,利用函数和导数之间的关系是解决本题的关键.综合 性较强,难度较大. 8. (2009?海淀区一模)对于数列{an},若存在常数 M,使得对任意 n∈N ,an 与 an+1 中至少有一个不小于 M,则记 作{an}>M,那么下列命题正确的是( ) A.若{an}>M,则数列{an}各项均大于或等于 M B. 若{an}>M,{bn}>M,则{an+bn}>2M 2 2 C. 若{an}>M,则{an }>M D.若{an}>M,则{2an+1}>2M+1 考点: 数列的应用. 专题: 计算题. 分析: 举出反例,易知 A、B、C 不正确;根据题意,若{an}>M,则{2an+1}中,2an+1 与 2an+1+1 中至少有一个 不小于 2M+1,故可得 D 正确. 解答: 解:A 中,在数列 1,2,1,2,1,2…中,M 可以为 1.5,列{an}各项均大于或等于 M 不成立,故 A 不正 确; B 中,数列{an}为 1,2,1,2,1,2…,{bn}为 2,1,2,1,2…,M 可以为 1.6,而{an+bn}各项均为 3,则 {an+bn}>2M 不成立,故 B 不正确; 2 2 C 中在数列 1,2,1,2,1,2…中,M 可以为﹣3,此时{an }>M 不正确,C 错误; D 中,若{an}>M,则{2an+1}中,2an+1 与 2an+1+1 中至少有一个不小于 2M+1,故{2an+1}>2M+1 正确. 故选 D. 点评: 本题考查数列的性质和应用,解题时要真正理解定义{an}>M. 9. (2011?上海模拟)设函数 f(x)的定义域为 D,若存在非零常数 l,使得对于任意 x?M(M?D)都有 f(x+l)≥f (x) ,则称 f(x)为 M 上的高调函数,l 是一个高调值. 现给出下列命题:
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*

9 / 23

① 函数 f(x)=
2

为 R 上的高调函数;

② 函数 f(x)=sin2x 为 R 上的高调函数 ③ 若函数 f(x)=x +2x 为(﹣∞,1]上的高调函数,则高调值 l 的取值范围是(﹣∞,﹣4]. 其中正确的命题个数是( ) A .0 个 B.1 个 C .2 个 D.3 个 考点: 函数单调性的性质. 专题: 新定义. 分析: 因为 f(x+l)=

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,f(x)=
2

,要使 f(x+l)≥f(x) ,需要
2 2 2 2

恒成立,

只需 l≤0;即存在 l 使得 f(x+l)≥f(x)在 R 恒成立,所以① 对;对于② ,当 l=π 时 f(x+l)≥f(x) ,恒成立; 所以② 对对于③ ,f(x+1)=(x+1) +2(x+1) ,f(x)=x +2x 令(x+l) +2(x+l)≥x +2x 即 l +2lx++2l≥0 在(﹣∞,1]恒成立 解答: 解得 l≤﹣4 故③ 对.

解:对于① ,f(x+l)=

,f(x)=

,要使 f(x+l)≥f(x) ,需要



成立,只需 l≤0;即存在 l 使得 f(x+l)≥f(x)在 R 恒成立,所以① 对; 对于② ,f(x+1) )=sin2(x+1)≥sin2x=f(x) ,当 l=π 时恒成立;所以函数 f(x)=sin2x 为 R 上的高调函数 所以② 对 对于③ ,f(x+1)=(x+1) +2(x+1) ,f(x)=x +2x 2 2 令(x+l) +2(x+l)≥x +2x 2 即 l +2lx++2l≥0 在(﹣∞,1]恒成立 ∴ 解得 l≤﹣4 故③ 对
2 2

故正确的命题个数是 3 个 故选 D 点评: 解决新定义题,关键是理解透题中“高调函数”的含义,属于中档题. 10.若对于定义在 R 上的函数 f(x) ,其图象是连续不断的,且存在常数 λ(λ∈R) ,使得 f(x+λ)+λf(x)=0 对任 意的实数 x 恒成立,则称 f(x)是“λ﹣同伴函数”.下列关于“λ﹣同伴函数”的命题: ① “ ﹣同伴函数”至少有一个零点; ② f(x)=x 是“λ﹣同伴函数”; x ③ f(x)=2 是“λ﹣同伴函数”; ④ f(x)=0 是唯一一个常值“λ﹣同伴函数”. 其中正确的命题个数为( ) A .1 B.2
2

C .3

D.4

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: ① 由定义,得出条件方程.然后令 x=0,可得 f( )=﹣ f(0) ,若 f(0)=0,显然 f(x)=0 有实数根;若
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f(0)≠0,f( )?f(0)<0,由此可得结论. ② 可以用反证法,举出反例.③ 设由条件方程,得到 2 +λ=0,从而结合图象能确定方程到 2 +λ=0 有解,从而 满足定义. ④ 设 f(x)=C 是一个“λ﹣伴随函数”,则(1+λ)C=0,当 λ=﹣1 时,可以取遍实数集,因此 f(x)=0 不是 10 / 23
λ λ

唯一一个常值“λ﹣伴随函数” 解答: ① 令 x=0,得 f( )+ f(0)=0,所以 f( )=﹣f(0) .若 f(0)=0,显然 f(x)=0 有实数根;若 f(0) ≠0,f( )?f(0)=﹣(f(0) ) <0. 又因为 f(x)的函数图象是连续不断,所以 f(x)在(0, )上必有实数根.因此任意的“﹣伴随函数”必 有根,即任意“﹣伴随函数”至少有一个零点,故① 正确 2 2 2 2 2 ② 用反证法,假设 f(x)=x 是一个“λ﹣伴随函数”,则(x+λ) +λx =0,即(1+λ)x +2λx+λ =0 对任意实数 2 2 x 成立,所以 λ+1=2λ=λ =0,而此式无解,所以 f(x)=x 不是一个“λ﹣伴随函数”,故② 不正确; x x+λ x x λ x λ λ x ③ 设f (x) =2 是“λ﹣同伴函数”, 则 2 +λ? 2 =0, 即 2 ? 2 +λ? 2 =0, 所以 2 +λ=0, 即 2 =﹣λ. 作出函数 y=2 , λ x y=﹣x,由图象可知 2 =﹣λ. ,有唯一解,所以③ f(x)=2 是“λ﹣同伴函数”. ④ 设 f(x)=C 是一个“λ﹣伴随函数”,则(1+λ)C=0,当 λ=﹣1 时,可以取遍实数集,因此 f(x)=0 不是 唯一一个常值“λ﹣伴随函数”,故④ 不正确. 所以正确的命题是① ③ . 故选 B.
2

点评: 本题考查的知识点是函数的概念及构成要素,函数的零点,正确理解 f(x)是 λ﹣同伴函数的定义,是解答 本题的关键. 11.已知扇形的周长是 10cm,面积是 4cm ,则扇形的半径是( A.1cm B.1cm 或 4cm C.4cm
2

) D.2cm 或 4cm

考点: 扇形面积公式. 专题: 计算题. 分析: 设扇形的半径为 r,弧长为 l,根据扇形的周长和面积得到 r 与 l 的方程组,2r+l=14① , lr=12② ,解方程组
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即可. 解答: 解:设扇形的半径为 r,弧长为 l,根据题意得, 2r+l=10① , lr=4② , 解由① ② 组成的方程组,得,r=4,l=2 或 r=1,l=8(舍去) . 即扇形的半径为 4cm. 故选 C. 点评: 本题考查了扇形的面积公式:S= ,其中 n 为扇形的圆心角的度数,R 为圆的半径) ,或 S= lR,l 为

扇形的弧长,R 为半径.也考查了方程组的解法. 12.已知函数 y=sinωx 在 上是减函数,则 ω 的取值范围是( 11 / 23 )

A.

B.

C.

D.

考点: 正弦函数的单调性. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 由正弦函数的单调性可得 ω<0,函数的减区间
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的范围包含于一个完整的减区间内,可得函

数的周期 T 满足 ≥ 解答: 解:根据函数在 ∵ 函数的周期为 T= ∴ 可得 ≥ ,即﹣

,由此解关于 ω 的不等式,即可得到 ω 的取值范围. 上是减函数,可得 ω<0 =﹣ ≥ , ,解之得﹣ ≤ω<0

故选:B 点评: 本题给出正弦型函数的单调区间,求参数的取值范围.着重考查了正弦函数的单调性和参数的讨论等知识, 属于基础题. 13.已知函数 f(x)在 R 上满足 f(x)=2f(2﹣x)﹣x +8x﹣8,则曲线 y=f(x)在点 (1,f(1) )处切线的斜率 是( ) A .2 B.1 C .3 D.﹣2 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 函数的性质及应用;导数的概念及应用. 分析: 由 f(x)=2f(2﹣x)﹣x2+8x﹣8 可进行赋值构造方程,联立方程组即可求出 f(x) ,再利用导数的几何意 义,求得切线的斜率. 2 解答: 解:∵ f(x)=2f(2﹣x)﹣x +8x﹣8 ① ,
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2

赋值 x→2﹣x 可得,f(2﹣x)=2f(x)﹣(2﹣x) +8(2﹣x)﹣8, 2 即 f(2﹣x)=2f(x)﹣x ﹣4x+4 ② , 2 2 把① ② 联立可得,f(x)=2[2f(x)﹣x ﹣4x+4]﹣x +8x﹣8, 2 ∴ f(x)=4f(x)﹣3x 2 ∴ f(x)=x , 所以 f′ (x)=2x, 所以 k=f′ (1)=2, 故选 A. 点评: 本题考察了求函数的解析式,主要利用了构造方程组消元的方法.同时考察了导数的几何意义.属于中档 题. 14. (2014?乌鲁木齐三模)若函数 则 a+b 的最大值是( A .4 ) B. C .2 D. 的图象在 x=0 处的切线与圆 x +y =1 相切,
2 2

2

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;直线与圆的位置关系. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 求导数,求出切线方程,利用切线与圆 x2+y2=1 相切,可得 a2+b2=1,利用基本不等式,可求 a+b 的最大值. 解答: 解:求导数,可得
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令 x=0,则 12 / 23

又 f(0)=
2

,则切线方程为
2

,即 ax+by+1=0

∵ 切线与圆 x +y =1 相切, ∴ ∴ a +b =1 ∵ a>0,b>0 2 2 2 ∴ 2(a +b )≥(a+b) ∴ ∴ a+b 的最大值是 故选 D. 点评: 本题考查导数的几何意义,考查直线与圆相切,考查基本不等式的运用,属于中档题. 二.填空题(共 14 小题) 15.已知函数 f(x)= .对于下列命题:
2 2

① 函数 f(x)是周期函数; ② 函数 f(x)既有最大值又有最小值; ③ 函数 f(x)的定义域是 R,且其图象有对称轴; ④ 对于任意 x∈(﹣1,0) ,f′ (x)<0(f′ (x)是函数 f(x)的导函数) . 其中真命题的序号是 ② ③ . (填写出所有真命题的序号) 考点: 函数的周期性;函数单调性的判断与证明;利用导数研究函数的单调性. 专题: 转化思想. 分析: 观察函数的解析式数 f(x)= 它不是一个奇函数,由于分子的值从﹣1 到 1 周
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期性变化,分母的值随着 x 的值远离原点,逐渐趋向于正无穷大,函数图象逐渐靠近 x 轴,由这些性质对 四个命题进行判断选出正确选项 解答: 解:① 函数 f(x)是周期函数不正确,因为分母随着自变量的远离原点,趋向于正穷大,所以函数图象无限 靠近于 X 轴,故不是周期函数; ② 函数 f(x)既有最大值又有最小值,由① 的判断知,函数存在最大值与最小值,此命题正确; ③ 函数 f(x)的定义域是 R,且其图象有对称轴,由函数解析式可以得出,其图象周期性穿过 X 轴,由于分 母不断增大,图象往两边延伸都无限靠近于 X 轴,其对称轴是 x=12,此命题正确; ④ 对于任意 x∈(﹣1,0) ,f′ (x)<0(f′ (x)是函数 f(x)的导函数) ,此命题不正确,由于自变量从﹣1 变化到 0 分母变小,而分子由 0 减小到﹣1,再由﹣1 增大到 0,所以函数值的变化是选减小再增大,故导 数恒小于 0 不成立.此命题不正确. 综上,② ③ 正确 故答案为② ③ . 点评: 本题主要考查了函数思想,转化思想,属中档题,是个基础题.还考查函数图象的对称变化和一元二次方 程根的问题,以及函数奇偶性的判定方法等基础知识,考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力,数形 结合法是解答本类题的重要方法.本题函数解析式复杂,不利于判断. x 16.已知函数 f(x)=e ﹣alnx 的定义域是 D,有下列四个命题: ① 对于?a∈(﹣∞,0) ,函数 f(x)在 D 上是单调增函数; ② 对于?a∈(0,+∞) ,函数 f(x)存在最小值; ③ ?a∈(﹣∞,0) ,使得对于 x∈D,都有 f(x)>0 成立; ④ ?a∈(0,+∞) ,使得函数 f(x)有两个零点. 其中是真命题的为 ① ② ④ . (填所有符合要求的序号)

13 / 23

考点: 利用导数研究函数的单调性;函数零点的判定定理. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 先求导数,若为减函数则导数恒小于零;在开区间上,若有最小值则有唯一的极小值,若有零点则对应方 程有根. 解答: x 解:由对数函数知:函数的定义域为: (0,+∞) ,f′ (x)=e ﹣ ,
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① ∵ a∈(﹣∞,0)∴ f′ (x)=e ﹣ ≥0,是增函数.所以① 正确, ② ∵ a∈(0,+∞) ,∴ 存在 x 有 f′ (x)=e ﹣ =0,可以判断函数有最小值,② 正确. ③ 画出函数 y=e ,y=﹣alnx 的图象,如图:显然不正确. x x ④ 令函数 y=e 是增函数,y=alnx 是减函数,所以存在 a∈(0,+∞) ,f(x)=e ﹣alnx=0 有两个根,正确. 故答案为:① ② ④
x x

x

点评: 本题主要考查导数法研究函数的单调性、极值、最值等问题. 17. (2012?上饶一模)已知函数 f(x)=e +alnx 的定义域是 D,关于函数 f(x)给出下列命题: ① 对于任意 a∈(0,+∞) ,函数 f(x)是 D 上的减函数; ② 对于任意 a∈(﹣∞,0) ,函数 f(x)存在最小值; ③ 对于任意 a∈(0,+∞) ,使得对于任意的 x∈D,都有 f(x)>0 成立; ④ 存在 a∈(﹣∞,0) ,使得函数 f(x)有两个零点. 其中正确命题的序号是 ② ④ . (写出所有正确命题的序号) 考点: 函数的单调性与导数的关系;命题的真假判断与应用. 专题: 综合题. 分析: 先求导数,若为减函数则导数恒小于零;在开区间上,若有最小值则有唯一的极小值,若有零点则对应方 程有根. 解答: x 解:由对数函数知:函数的定义域为: (0,+∞) ,f′ (x)=e +
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x

① ∵ a∈(0,+∞)∴ f′ (x)=e + ≥0,是增函数.所以① 不正确, ② ∵ a∈(﹣∞,0) ,∴ 存在 x 有 f′ (x)=e + =0,可以判断函数有最小值,② 正确. ③ 画出函数 y=e ,y=alnx 的图象,如图:显然不正确. x x ④ 令函数 y=e 是增函数,y=alnx 是减函数,所以存在 a∈(﹣∞,0) ,f(x)=e +alnx=0 有两个根,正确. 故答案为:② ④
x x

x

14 / 23

点评: 本题主要考查导数法研究函数的单调性、极值、最值等问题. 18. (2014?内江模拟)给出以下五个命题: ① 对于任意的 a>0,b>0,都有 a =b 成立; ② 直线 y=x?tanα+b 的倾斜角等于 α; ③ 已知异面直线 a,b 成 60°角,则过空间一点 P 且与 a,b 均成 60°角的直线有且只有两条; ④ 在平面内,如果将单位向量的起点移到同一个点,那么终点的轨迹是一个半径为 1 的圆; ⑤ 已知函数 y=f (x) , 若存在常数 M>0, 使|f (x) |<M?|x|对定义域内的任意 x 均成立, 则称 f (x) 为“倍约束函数”. 对 于函数 f(x)= ﹣1,该函数是倍约束函数.
lgb lga

其中真命题的序号是 ① ④ ⑤ . 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 综合题;简易逻辑. lgb lga 分析: ① 对 a =b 两边取对数,得出正确结论; ② 中,明确直线的斜率与倾斜角的关系,从而判定命题不成立; ③ 由已知中异面直线 a 与 b 所成的角为 60°, 设 P 为空间一点, 过 P 分别作直线 a, b 的平行线, 得到∠ APB=60°, 过 P 点作出直线 a,b 相交所成角的两条角平分线,进而根据三余弦定理即可得到答案; ④ 由单位向量的模长是 1 以及圆的定义,判定命题是否正确;
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⑤ 函数 f(x)=

﹣1<?|x|对定义域内的任意 x 均成立.
lgb lga lgb lga

解答: 解:① 中,∵ a>0,b>0,若 a =b ,则 lga =lgb ,即 lgb?lga=lga?lgb 成立,∴ 命题正确; ② 中,直线 y=x?tanα+b 的斜率是 k=tanα,当 α∈[0,π)且 α≠ 时,倾斜角等于 α,否则,命题不成立;

③ 把异面直线 a,b 平移到相交,使交点为 P,此时∠ APB=60°,过 P 点作直线 a,b 相交所成角的两条角平分 线 c,d,如图所示:若存在其它直线与 a,b 都成 60°角,则直线在该平面上的射影为 c 或

d ∵ d 与 a,b 都成 60°角,则在平面上射影为 d 的直线只有直线 d 一条, ∵ c 与 a,b 都成 30°角,由三余弦定理,当直线与 c 夹角的余弦为 时,满足条件,这样的直线共有 2 条,

故过空间一点且与 a 和 b 都成 60°角的直线共有 3 条,∴ ③ 不正确; ④ ∵ 单位向量的模长是 1,∴ 在平面内将单位向量的起点移到同一个点,终点的轨迹是一个半径为 1 的圆,命 题正确; ⑤ 函数 f(x)= ﹣1<?|x|对定义域内的任意 x 均成立,∴ 函数是倍约束函数,正确

故答案为:① ④ ⑤ . 点评: 本题通过命题的判定考查了指数、对数的运算,直线的斜率与倾斜角,圆、函数等知识,是综合题.

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19.已知函数

,给出下列四个命题:

① 函数 f(x)是周期函数; ② 函数 f(x)既有最大值又有最小值; ③ 函数 f(x)的图象有对称轴; ④ 对于任意 x∈(﹣1,0) ,函数 f(x)的导函数 f′ (x)<0. 其中真命题的序号是 ② ③ . (请写出所有真命题的序号) 考点: 命题的真假判断与应用. 分析: 观察函数的解析式,

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,它是一个非奇非偶函数,由于分子的值从﹣1

到 1 周期性变化,分母的值随着 x 的值远离原点,逐渐趋向于正无穷大,函数图象逐渐靠近 x 轴,由这些 性质对四个命题进行判断选出正确选项 解答: 解:由已知函数的解析式 ① 函数 f(x)是周期函数不正确,因为分母随着自变量的远离原点,趋向于正穷大,所以函数图象无限靠近 于 X 轴,故不是周期函数; ② 函数 f(x)既有最大值又有最小值,由① 的判断知,函数存在最大值与最小值,此命题正确; ③ 函数 f(x)的定义域是 R,且其图象有对称轴,由函数解析式可以得出,其图象周期性穿过 X 轴,由于分 母不断增大,图象往两边延伸都无限靠近于 X 轴,其对称轴是 x=1,此命题正确; ④ 由对于任意 x∈(﹣1,0) ,f′ (x)<0(f′ (x)是函数 f(x)的导函数) ,此命题不正确, 由于自变量从﹣1 变化到 0 分母变小,而分子由﹣1 增大到 1,所以函数值的变化是由小增大,故导数恒大 于等于 0.此命题不正确 综上,② ③ 正确 故答案为:② ③ 点评: 考查了函数思想,转化思想,属中档题,是个基础题.还考查函数图象的对称变化和一元二次方程根的问 题,以及函数奇偶性的判定方法等基础知识,考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力,数形结合法是 解答本类题的重要方法.本题函数解析式复杂,不利于判断 20. (2011?贵州模拟)给出下列四个命题:① 在空间,若四点不共面,则每三个点一定不共线;② 已知命题 p、q,“非 p 为假命题”是“p 或 q 是真命题”的必要不充分条件;③ 函数 的最小值为 2;④ 若奇函数 f(x)对于定义域内任

意 x 都有 f(x)=f(1﹣x) ,则 f(x)为周期函数.其中错误 命题的序号为 ② 、③ . 考点: 基本不等式;充要条件;函数的周期性. 专题: 计算题;阅读型. 分析: 对于① ,若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线,我们可以根据空间四点间的关系,可判断其真假; 对于② ,p 与非 p 真假相反,p 或 q 一真即为真.据此即可判断“非 p 为假命题”与“p 或 q 是真命题”究竟是谁 推出谁; 对于③ ,求两个数和的最小值,利用两个数的积为定值,看它们是否满足基本不等式成立的条件. 对于④ ,利用奇函数定义、及题目给的等式 f(x)=f(1﹣x) ,判断④ 是否正确. 解答: 解:对于① ,若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线,我们可以根据其反面进行判断,若空间四点间 有三点共线则它们必共面,故① 为真命题; 对于② ∵ “非 p 为假命题”,∴ p 为真命题,因此“p 或 q 是真命题”; 若“p 或 q 是真命题”,则 p 真 q 假,或 p 假 q 真,或 p 真 q 真,不一定得到 p 为真命题,所以“非 p 为假命 题”是“p 或 q 是真命题”的充分而不必要条件,故错
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对于③ ,由于 x 的范围不确定,故不能直接利用基本不等式,故错. 验证④ ,f(﹣x)=f[2﹣(﹣x)]=f(2+x) ,又通过奇函数得 f(﹣x)=﹣f(x) , ∴ f(2+x)=﹣f(x) ,∴ f(4+x)=f(x) , 所以 f(x)是周期为 4 的周期函数,故正确. 故答案为:② 、③ . 点评: 本题考查的知识点是函数对称性的判断、周期性、四种命题的真假关系,利用基本不等式求最值,一定要 注意需要的条件:一正、二定、三相等. 21.已知函数 f(x)= ① 函数 f(x)是奇函数; ② 直线 x= 是函数 f(x)图象的对称轴; ③ 对任意 x∈R,f(x)满足|f(x)|<1; ④ 对任意 x∈(﹣1,0) ,函数 f(x)的导数满足 f′ (x)<0. 其中正确命题为 ② ③ (写出命题序号即可) . 考点: 命题的真假判断与应用;函数奇偶性的判断;导数的运算. 专题: 综合题. 分析: ① 根据函数的解析式求得函数的定义域,根据奇函数的定义,验证 f(﹣x)=﹣f(x) ,可知该命题的正误;
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,对于下列命题:

② 根据轴对称图形的定义,在函数 f(x)图象上任取点 P(x,y) ,求出点 P 关于直线 x= 的对称点是 P′ (1 ﹣x,y) ,验证点 P′ 在函数的图象上即可; 2 2 2 ③ 根据二次函数的最值和不等式的基本性质,可以求出 x +1≥1;x ﹣2x+2=(x﹣1) +1≥1,注意等号成立的 条件,从而求得 的范围,根据正弦函数的有界性,从而求得结论正确;

④ 对函数求导,求出 f′ (

)<0,

=2π>0, 从而 可知?x0∈(﹣1,0) ,函数 f(x)的导数满足 f′ (x0)=0.可知该命题错误. 解答: 解:① 函数的定义域为 R,f(﹣x)= ∴ 函数 f(x)不是奇函数故① 错; ② 在函数 f(x)图象上任取点 P(x,y) ,则点 P 关于直线 x= 的对称点是 P′ (1﹣x,y) 而 f(1﹣x)= ∴ 直线 x= 是函数 f(x)图象的对称轴;故② 正确; ③ ∵ x +1≥1,当 x=0 时等号成立;x ﹣2x+2=(x﹣1) +1≥1,当 x=1 时等号成立, ∴ (x +1)[(x﹣1) +1]>1,∴ 0< 而|sinπx|≤1,∴ ④ f′ (x)=
2 2 2 2 2

=

≠﹣f(x)

=

=y

<1, <1,即|f(x)|<1;故③ 正确;

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f′ (

)=

<0,



=2π>0,

?x0∈(﹣1,0) ,函数 f(x)的导数满足 f′ (x0)=0.故④ 错 故正确命题为② ③ 故答案为:② ③ . 点评: 本题考查函数的奇偶性的定义和对称性以及函数的值域的求法,导数的除法运算法则等知识,综合性强, 考查灵活应用知识分析解决问题的能力,和运算能力,其中命题④ 计算量大,增加了试题的难度.属中档题. 22. (2010?郑州二模)已知函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,对于 x∈R 都有 f(x+6)=f(x)+f(3)成立,给出下 列命题: ① f(3)=0; ② f(﹣3)=0; ③ 直线 x=6 是函数 y=f(x)的图象的一条对称轴; ④ 函数 y=f(x)在[﹣9,﹣6]上为增函数. 其中所有正确命题的序号为 ① ② ③ . (把所有正确命题的序号都填上) 考点: 抽象函数及其应用;函数单调性的判断与证明;函数零点的判定定理. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 对于条件:“x∈R 都有 f(x+6)=f(x)+f(3)成立”,欲求 f(3) ,故令 x=﹣3,即有 f(3)=f(﹣3)+f (3) ,f(﹣3)=0, 再依据函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,有 f(﹣3)=f(3) ,得 f(3)=0;欲证“直线 x=6 是函数 y=f(x) 的图象的一条对称轴”,即证 f(6+x)=f(6﹣x) ;由于 f(﹣3)=f(3)=0,得函数 y=f(x)在[﹣9,﹣6] 上不为增函数. 解答: 解:对于① ② ,由条件:“x∈R 都有 f(x+6)=f(x)+f(3)成立”,令 x=﹣3, 即有 f(3)=f(﹣3)+f(3) ,再依据函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,有 f(﹣3)=f(3) ,得 f(3)=0; 故① ② 对; 对于③ ,∵ f(x+6)=f(x)+f(3) , 又∵ f(﹣x+6)=f(﹣x)+f(3) ,且 f(﹣x)=f(x) ∴ f(6+x)=f(6﹣x) ;∴ 直线 x=6 是函数 y=f(x)的图象的一条对称轴,故② 对; 对于④ ,由于 f(﹣3)=f(3)=0,得函数 y=f(x)在[﹣9,﹣6]上不为增函数;故它是错. 故填① ② ③ . 点评: 抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的,它虽然没有具体的表达式,但是有一定的对应法则,满 足一定的性质,这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键.
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23. (2014?淄博三模)对于定义在 R 上的函数 f(x)图象连续不断,若存在常数 a(a∈R) ,使得 f(x+a)+af(x) =0 对任意的实数 x 成立,则称 f (x)是阶数为 a 的回旋函数,现有下列 4 个命题: 2 ① f(x)=x 必定不是回旋函数; ② 若 f(x)=sinωx(ω≠0)为回旋函数,则其最小正周期必不大于 2; ③ 若指数函数为回旋函数,则其阶数必大于 1; ④ 若对任意一个阶数为 a(a≥0)的回旋函数 f (x) ,方程 f(x)=0 均有实数根,其中为真命题的是 ① ② ④ . 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 综合题;推理和证明. 2 分析: ① 利用回旋函数的定义,令 x=0,则必须有 a=0;令 x=1,则有 a +3a+1=0,故可判断; ② 由于 f(x)=sinωx 是回旋函数,故有:sinω(x+a)+asinωx=0 对任意实数 x 成立,从而可求实数 ω 的值, 可得结论; x ③ 若指数函数 y=a 为阶数为 m 回旋函数,利用定义,可得 m<0;
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④ a=0 时结论显然;当 a≠0 时先假设存在,利用回旋函数的定义,易得在区间(0,a)上必有一个实根. 解答: 解:① 若(x+a) +ax =0 对任意实数都成立,令 x=0,则必须有 a=0 2 令 x=1,则有 a +3a+1=0,显然 a=0 不是这个方程的解故假设不成立,该函数不是回旋函数,正确; ② 由于 f(x)=sinωx 是回旋函数,故有:sinω(x+a)+asinωx=0 对任意实数 x 成立 令 x=0,可得 sinωa=0,令 x=
x 2 2

,可得 cosωa=﹣a,故 a=±1,ω=kπ(k 为整数) ,所以 T=| |≤2,所以正确;
x+m x m

③ 若指数函数 y=a 为阶数为 m 回旋函数,则 a +ma =0,∴ a +m=0,∴ m<0,故不正确; ④ 如果 a=0,显然 f(x)=0,则显然有实根.下面考虑 a≠0 的情况. 若存在实根 x0,则 f(x0+a)+af(x0)=0,即 f(x0+a)=0 说明实根如果存在,那么加 a 也是实根.因此在 区间(0,a)上必有一个实根.则:f(0)f(a)<0,由于 f(0+a)+af(0)=0,则 f(0)= ,

只要 a>0,即可保证 f(0)和 f(a)异号.综上 a≥0,即对任意一个阶数为 a(a≥0)的回旋函数 f (x) , 方程 f(x)=0 均有实数根,正确. 故答案为:① ② ④ . 点评: 本题是新定义题,关键是理解新定义,利用新定义时,应注意赋值法的运用

24.若角 α 的终边上有一点 P(﹣4,a) ,且 sin α?cos α=

,则 a 的值为 ﹣4

或﹣



考点: 三角函数线. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 利用三角函数的定义,结合条件即可得到结论. 解答: 解:∵ 角 α 的终边上有一点 P(﹣4,a) ,且 sin α?cos α=
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?

=



∴ a=﹣4

或 a=﹣

. 或﹣ .

故答案为:﹣4

点评: 本题考查三角函数的定义,考查学生的计算能力,属于基础题. 25.如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1) ,此时圆上二点 P 的位置在(0, 0) ,圆在 x 轴上沿正向滚动,则当圆滚动到圆心位于(2,1)时线段 OP 与初始单位圆的交点为 M,则|OM|= .

考点: 专题: 分析: 解答:

已知三角函数模型的应用问题. 三角函数的求值. 求单位圆中的弦长,关键是求出 α 的三角函数值,确定 P 的坐标即可. 解:设∠ xOP=α,N(0,1) ,连接 MN,则∠ ONM=2α
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∵ 圆滚动了 2 单位个弧长,点 P 旋转了 2 弧度, ∴ P(2﹣sin2,1﹣cos2) , ∴ |OP|= ∴ sinα= 在△ ONM 中,|OM|=2|MN|sinα=2sinα= 故答案为: 点评: 本题考查三角函数的定义,考查学生的计算能力,确定 P 的坐标是关键. 26. (2012?山东)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1) ,此时圆上一点 P 的位 置在(0,0) ,圆在 x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时, 的坐标为 (2﹣sin2,1﹣cos2) . =

考点: 圆的参数方程;平面向量坐标表示的应用. 专题: 计算题;综合题;压轴题. 分析: 设滚动后圆的圆心为 O',切点为 A,连接 O'P.过 O'作与 x 轴正方向平行的射线,交圆 O'于 B(3,1) ,设 ∠ BO'P=θ,则根据圆的参数方程,得 P 的坐标为(2+cosθ,1+sinθ) ,再根据圆的圆心从(0,1)滚动到(2,
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1) ,算出 θ=

﹣2,结合三角函数的诱导公式,化简可得 P 的坐标为(2﹣sin2,1﹣cos2) ,即为向量



坐标. 解答: 解:设滚动后的圆的圆心为 O',切点为 A(2,0) ,连接 O'P, 过 O'作与 x 轴正方向平行的射线,交圆 O'于 B(3,1) ,设∠ BO'P=θ 2 2 ∵ ⊙ O'的方程为(x﹣2) +(y﹣1) =1, ∴ 根据圆的参数方程,得 P 的坐标为(2+cosθ,1+sinθ) , ∵ 单位圆的圆心的初始位置在(0,1) ,圆滚动到圆心位于(2,1) ∴ ∠ AO'P=2,可得 θ= 可得 cosθ=cos( ﹣2 ﹣2)=﹣sin2,sinθ=sin( ﹣2)=﹣cos2,

代入上面所得的式子,得到 P 的坐标为(2﹣sin2,1﹣cos2) ∴ 的坐标为(2﹣sin2,1﹣cos2) . 故答案为: (2﹣sin2,1﹣cos2)

点评: 本题根据半径为 1 的圆的滚动,求一个向量的坐标,着重考查了圆的参数方程和平面向量的坐标表示的应 用等知识点,属于中档题. 20 / 23

27.如图,在平面直角坐标系中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1) ,此时 P 点位置是原点,圆在 x 轴上沿正 向滚动,当圆滚动到圆心位于( )时, 的坐标为 ( ﹣ ,1+ ) .

考点: 圆的参数方程;平面向量坐标表示的应用. 专题: 平面向量及应用. 分析: 设滚动后圆的圆心为 O',切点为 A,连接 O'P.过 O'作与 x 轴正方向平行的射线,交圆 O'于 B(
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,1) ,

设∠ BO'P=θ,则根据圆的参数方程,得 P 的坐标为( 到 ( 1﹣cos 解答: +1, 1) , 算出 θ= ) ,即为向量 ﹣ =

+cosθ,1+sinθ) ,再根据圆的圆心从(0,1)滚动 ﹣sin ,

, 结合三角函数的诱导公式, 化简可得 P 的坐标为 (

的坐标. ,0) ,连接 O'P, +1,1) ,

解:设滚动后的圆的圆心为 O',切点为 A(

过 O'作与 x 轴正方向平行的射线,交圆 O'于 B( 设∠ BO'P=θ ∵ ⊙ O'的方程为(x﹣ ) +(y﹣1) =1,
2 2

∴ 根据圆的参数方程,得 P 的坐标为(

+cosθ,1+sinθ) , ,1)

∵ 单位圆的圆心的初始位置在(0,1) ,圆滚动到圆心位于( ∴ ∠ AO'P= ,可得 θ= ,sinθ= ﹣ ,1+ ) , ﹣ =

可得 cosθ=﹣

代入上面所得的式子,得到 P 的坐标为( ∴ 的坐标为( 故答案为: ( ﹣ ﹣ ,1+ ,1+ ) ) ,

点评: 本题根据半径为 1 的圆的滚动,求一个向量的坐标,着重考查了圆的参数方程和平面向量的坐标表示的应 21 / 23

用等知识点,属于中档题. 28.已知 sinθ= ,且 θ 在第二象限,那么 2θ 在第 三 象限.

考点: 象限角、轴线角. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由

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,且 θ 在第二象限,可得 (k∈Z) .即可判断出.

,进而得到

解答:

解:∵ ∴ ∴

,且 θ 在第二象限, , (k∈Z) .

∴ 2θ 在第三象限. 故答案为:三. 点评: 本题考查了正弦函数的单调性、象限角,属于基础题. 三.解答题(共 2 小题) 2 2 29.已知命题 p:?x∈[1,12],x ﹣a≥0.命题 q:?x0∈R,使得 x0 +(a﹣1)x0+1<0.若 p 或 q 为真,p 且 q 为假, 求实数 a 的取值范围. 考点: 复合命题的真假. 专题: 计算题. 分析: 先求出命题 p,q 为真命题时,a 的范围,据复合函数的真假得到 p,q 中必有一个为真,另一个为假,分两 类求出 a 的范围. 2 解答: 解:∵ x∈[1,12],x ≥1, ∴ 命题 p 为真时,a≤1;
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∵ ?x0∈R,使得 x

+(a﹣1)x0+1<0,∴ △ =(a﹣1) ﹣4>0?a>3 或 a<﹣1,

2

∴ 命题 q 为真时,a>3 或 a<﹣1, 由复合命题真值表得:若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,则命题 p、q 一真一假, 当 p 真 q 假时,有 当 p 假 q 真时,有 ?﹣1≤a≤1; ?a>3.

故 a 的取值范围为﹣1≤a≤1 或 a>3 点评: 本题考查复合函数的真假与构成其简单命题的真假的关系,解决此类问题应该先求出简单命题为真时参数 的范围. 30. (1)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1) ,此时圆上一点 P 的位置在(0, 0) ,圆在 x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时, 的坐标为 (2﹣sin2,1﹣cos2) . ,则

(2)在矩形 ABCD 中,边 AB、AD 的长分别为 2、1,若 M、N 分别是边 BC、CD 上的点,且满足 的取值范围是 [1,4] .

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考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)由题意点 P 旋转了 2 弧度,进而可得 P 的坐标,即可得向量
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的坐标;

(2)建立坐标系,设 N(x,1) (0≤x≤2) ,由题意可得 解答: 解: (1)根据题意可知圆滚动了 2 单位个弧长,点 P 旋转了 此时点 P 的坐标为: ∴ . ,

的坐标,进而可得其数量积,可得范围. 弧度, .

(2)如图所示,以 A 为原点,向量

所在直线为 x 轴,过 AD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系.

∵ 在矩形 ABCD 中,AB=2,AD=1, ∴ A(0,0) ,B(2,0) ,C(2,1) ,D(0,1) . 设 N(x,1) (0≤x≤2) ,则 ∴ 由 ∴ M 的坐标为 ∴ ∴ ∵ 0≤x≤2,∴ ∴ . . 得, . . . .

的取值范围是[1,4].

故答案为: (2﹣sin2,1﹣cos2) ;[1,4]

点评: 本题考查向量的应用,涉及平面向量的数量积的运算,属中档题.

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