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矩阵和行列式初步


2008 学年高二数学教案

第 九 章

矩阵和行列式初步
王国伟

格致中学

第一课时

9.1 矩阵的概念(1)

[教学目标] 教学目标] 1、了解矩阵的产生背景,并会用矩阵形式表示一些实际问题; 2、了解矩阵、行向量、列向量、方矩阵、零矩阵、单位矩阵等概念; 3、理解同阶矩阵、相等的矩阵等概念; 4、理解线性方程组与系数矩阵及其增广矩阵之间的转化。 [教学重点 教学重点] 教学重点 1、与矩阵有关的概念; 2、线性方程组的系数矩阵及增广矩阵的概念。 [教学难点 教学难点] 教学难点 学习矩阵的目的。 教学过程] [教学过程] 情境设置 引入: 设置、 一、情境设置、引入: 引例 1:已知向量 OP = (1,3) ,如果把 OP 的坐标排成一列,可简记为 ; 引例 2:2008 年北京奥运会奖牌榜前三位成绩如下表: 奖项 国家(地区) 中国 美国 俄罗斯 金牌 51 36 23 银牌 21 38 21 铜牌 28 36 28

uuu r

1 3

51 21 28 我们可将上表奖牌数简记为: 36 38 36 ; 23 21 28

2 x + 3 y + mz = 1 引例 3:将方程组 3 x 2 y + 4 z = 2 中未知数 x, y , z 的系数按原来的次序排列,可简记为 4 x + y nz = 4
2 3 m 2 3 m 1 3 2 4 ;若将常数项增加进去,则可简记为: 3 2 4 2 。 4 1 n 4 1 n 4
二、概念讲解: 概念讲解:

2008 学年高二数学教案

51 21 28 2 3 m 2 3 m 1 1 1、上述形如 、 36 38 36 、 3 2 4 、 3 2 4 2 这样的矩形数表 3 23 21 28 4 1 n 4 1 n 4
叫做矩阵 矩阵。 矩阵 2、在矩阵中,水平方向排列的数组成的向量 ( a1 , a2 , an ) 称为行向量 行向量;垂直方向排列的数

b1 b2 组成的向量 称为列向量 矩阵, 列向量;由 m 个行向量与 n 个列向量组成的矩阵称为 m × n 阶矩阵 bn

51 21 28 1 m × n 阶矩阵可记做 Am×n ,如矩阵 为 2 × 1 阶矩阵,可记做 A2×1 ;矩阵 36 38 36 3 23 21 28
为 3 × 3 阶矩阵,可记做 A3×3 。有时矩阵也可用 A 、 B 等字母表示。 3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素 元素,在一个 m × n 阶矩阵 Am×n 中的第 i ( i ≤ m )行第 元素

j

51 21 28 ( j ≤ n )列数可用字母 aij 表示,如矩阵 36 38 36 第 3 行第 2 个数为 a32 = 21 。 23 21 28
4、当一个矩阵中所有元素均为 0 时,我们称这个矩阵为零矩阵 零矩阵。如 零矩阵

0 0 0 为一个 2 × 3 0 0 0

阶零矩阵。 5、 当一个矩阵的行数与列数相等时, 这个矩阵称为方矩阵 简称方阵 一个方阵有 n 行 方矩阵, 方阵, (列) , 方矩阵 方阵

51 21 28 2 3 m 可称此方阵为 n 阶方阵 阶方阵,如矩阵 36 38 36 、 3 2 4 均为三阶方阵。在一个 23 21 28 4 1 n

n 阶方阵中,从左上角到右下角所有元素组成对角线,如果其对角线的元素均为 1,其余
1 0 0 1 0 元素均为零的方阵,叫做单位矩阵 单位矩阵。如矩阵 单位矩阵 为 2 阶单位矩阵,矩阵 0 1 0 为 0 1 0 0 1
3 阶单位矩阵。 6、 如果矩阵 A 与矩阵 B 的行数和列数分别相等, 那么 A 与 B 叫做同阶矩阵 如果矩阵 A 与 同阶矩阵; 同阶矩阵 矩阵 B 是同阶矩阵,当且仅当它们对应位置的元素都相等时,那么矩阵 A 与矩阵 B 叫做 相等的矩阵,记为 A = B 。 相等的矩阵

2008 学年高二数学教案

2 x + 3 y + mz = 1 7、对于方程组 3 x 2 y + 4 z = 2 中未知数 x, y , z 的系数按原来的次序排列所得的矩阵 4 x + y nz = 4
2 3 m 2 3 m 1 系数矩阵;而矩阵 3 2 4 2 叫做方程组的增 系数矩阵 增 3 2 4 ,我们叫做方程组的系数矩阵 4 1 n 4 1 n 4
广矩阵。 广矩阵 应用举例: 三、应用举例: 例 1、下表是我国第一位奥运会射箭比赛金牌得主张娟娟与对手韩国选手朴成贤在决赛中的 各阶段成绩表: 各阶段 姓名 张娟娟 朴成贤 第1组 26 29 第2组 27 26 第3组 29 26 第4组 28 28 总成绩 110 109

(1)将两人的成绩各阶段成绩用矩形表示; (2)写出行向量、列向量,并指出其实际意义。 解: (1)

26 27 29 28 110 29 26 26 28 109 ur (2)有两个行向量,分别为: a1 = ( 26 27 29 28 110 ) ,
uu r a2 = ( 29 26 26 28 109 ) ,
它们分别表示两位运动员在决赛各阶段各自成绩; 有五个列向量,分别为 b1 =

ur

r r r 26 uu 27 ur 29 uu 28 uu 110 , b2 = , b3 = , b4 = , b5 = 29 26 26 28 109

它们分别表示两位运动员在每一个阶段的成绩。 例 2、 已知矩阵 A =

x 2 x y b 2a 求 , B = 且 A = B , a 、b 的值及矩阵 A 。 x + y2 2 x a + 2b y

解:由题意知:

b 2a = x = 2 x y = 2 x = 2 a = 2 解得: ,又由 解得: , 2 2 x = y y = 4 b = 6 a + 2b = x + y = 14

2 2 A= 4 14
例 3、写出下列线性方程组的增广矩阵:

2 x + 3 y = 1 (1) ; 4 x y = 6

x + 2 y 3z + 2 = 0 (2) x + 3 y + 2 z 5 = 0 2 x y + z + 3 = 0

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2 3 1 解: (1) ; 4 1 6

1 2 3 2 (2) 1 3 2 5 2 1 1 3 2 1 0 2 (2) 0 3 2 1 3 0 2 3 2 x y = 2 (2) 3 y 2 z = 1 3x + 2 z = 3
0 π 为单位向量,且 α , β ∈ , π ,求 sin (α β ) 的值。 1 2

例 4、已知线性方程组的增广矩阵,写出其对应的方程组:

2 3 5 (1) 1 2 4 2 x + 3 y = 5 解: (1) x + 2 y = 4

例 5、已知矩阵

sin α + cos α sin β + cos β

π α = 2 sin α + cos α = 1 π 解:由单位向量定义可知: ,Q α , β ∈ , π ,∴ 2 sin β + cos β = 0 β = 3π 4
2 π ∴ sin (α β ) = sin = 。 2 4
四、课堂练习: 课堂练习: 1、请根据游戏“剪刀、石头、布”的游戏规则,作出一个 3 阶方阵(胜用 1 表示,输用 1 表示,相同则为 0) 。

0 1 1 解: 1 0 1 1 1 0
2、奥运会足球比赛中国队所在 C 组小组赛单循环比赛结果如下: 中国平新西兰 1∶1 巴西胜比利时 1∶0 中国负比利时 0∶2 巴西胜新西兰 5∶0 中国负巴西 0∶3 比利时胜新西兰 0∶1 (1)试用一个 4 阶方阵表示这 4 个队之间的净胜球数; (以中国、巴西、比利时、新西兰为 顺序排列) (2)若胜一场可得 3 分,平一场得 1 分,负一场得 0 分,试写出一个 4 阶方阵表示各队的 得分情况; (排列顺序与(1)相同) (3)若最后的名次的排定按如下规则:先看积分,同积分看净胜球,试根据(1)(2)两 、 个矩阵确定各队名次。

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0 3 2 3 0 1 解: (1) 2 1 0 0 5 1

0 0 5 3 (2) 3 1 0 1

0 0 1 0 3 3 (3)名次为巴西、比利时、中国、新西兰。 0 0 3 0 0 0

五、小结: 小结: 本课学习了矩阵及与矩阵相关的一些概念。 作业: 六、作业: 习题册 P45 习题 9.1A 组 1、2;P46 习题 9.1B 组 1。

第二课时

9.1 矩阵的概念(2)
格致中学 王国伟

教学目标] [教学目标] 1、 掌握矩阵的三种基本变换; 2、掌握运用矩阵基本变换求线性方程组的解。 [教学重点 教学重点] 教学重点 运用矩阵基本变换求线性方程组的解。 [教学难点 教学难点] 教学难点 如何利用系数矩阵判断线性方程组是否有解。 教学过程] [教学过程] 复习引入: 一、复习引入: 根据下列增广矩阵, 写出其对应的线性方程组, 并分析这些增广矩阵所对应线性方程组 解的关系,从中你能得到哪些启发?

(1)

2 1 3 3 2 2

(2)

3 2 2 2 1 3

1 1 2 (3) 1 2 3

3 2 2 3

1 3 1 2 2 (4) 0 1 13 6 6

1 (5) 0

0 8 1 13 6 6

(6)

1 0 8 0 1 13

3 3 1 1 x 2 y = 2 x 2 y = 2 2 x y = 3 3 x + 2 y = 2 解:这些方程组为 ; ; ; ; 3 x + 2 y = 2 2 x y = 3 x + 2 y = 2 1 y = 13 3 3 6 6

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x = 8 x = 8 。 13 ; 1 6 y = 6 y = 13
这些增广矩阵所对应的线性方程组的解都是相同的。 新课讲解: 二、新课讲解: 通过上面练习,我们可以发现以下三个有关线性方程组的增广矩阵的基本变换: 互换矩阵的两行; (1)互换矩阵的两行; 把某一行同乘( 以一个非零的数; (2)把某一行同乘(除)以一个非零的数; 某一行乘以一个数加到另一行。 (3)某一行乘以一个数加到另一行。 显然,通过以上三个基本变换,可将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵,这时增广 矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。 应用举例: 三、应用举例: 例 1、已知每公斤五角硬币价值 132 元,每公斤一元硬币价值 165 元,现有总重量为两公 斤的硬币,总数共计 462 个,问其中一元与五角的硬币分别有多少个?(来自网上“新 鸡兔同笼问题” )

x + y = 462 解:设一元硬币有 x 个,五角硬币有 y 个,则根据题意可得: x 0.5 y 165 + 132 = 2 1 则该方程组的增广矩阵为 A = 1 165
2 行,对矩阵 A 进行下列变换:

1 1 264

462 ,设①、②分别表示矩阵 A 的第 1、 2

1 1 165

1 1 264
②×
40 3 ①不变

462 2

② × ( 33) ①不变

1 1 5

1 1 8

462 66

1 ① × 加到② 5 ①不变

1 0

1 462 3 132 40 5

1 1 462 0 1 352 x = 110 y = 352

② ×(1) 加到① ②不变

1 0 110 0 1 352

由最后一个矩阵可知:

答:一元硬币有 110 个,五角硬币有 352 个。

4 x + 3 y z = 5 例 2、用矩阵变换的方法解三元一次方程组 7 x + 2 y + z = 4 的解。 5 x 2 y 3z = 8 4 3 1 5 解:此方程对应的增广矩阵为: 7 2 1 4 5 2 3 8

2008 学年高二数学教案

设此矩阵第 1、2、3 行分别为①、②、③,对此矩阵进行下列变换:

4 3 1 5 7 2 1 4 5 2 3 8

②加到① ② ×3 加到③ ②不变

11 5 0 9 7 2 1 4 26 4 0 20
③ ×(2) 加到② ③ ×(5) 加到① ③不变

③×

1 4

①、②不变

11 5 0 9 7 2 1 4 13 1 0 5 2

43 2 0 0 16 6 0 1 6 13 1 0 5 2

① ×(

2 ) 43

②、③不变

32 1 0 0 43 6 0 1 6 13 1 0 5 2

① ×6 加到②
13 ① ×( ) 加到③ 2

①不变

32 1 0 0 43 0 0 1 66 43 7 0 1 0 43

交换②、③ ①不变

32 32 1 0 0 43 x = 43 7 7 0 1 0 , ∴ 此方程组的解为 y = 43 43 66 0 0 1 66 z = 43 43

说明:1、利用矩阵基本变换,将矩阵的每一个行向量所对应的方程只有一个变量; 2、在变换过程中,实际为加减消元的过程,此过程中应根据数字的特点,运用适当 的程序进行化简运算。 例 3、运用矩阵变换方法解方程组:

ax + 3 y = 2 ( a 、 b 为常数) 2 x y = b

解:此方程组对应的增广矩阵为:

a 3 2 ,设①、②分别表示此矩阵的第 1、2 行, 2 1 b
② ×3 加到① ①不变

对此矩阵进行下列变换:

a 3 2 2 1 b

a + 6 0 2 + 3b 1 b 2
2 + 3b 1 0 a+6 0 1 ab 4 a+6

ⅰ)当 a + 6 ≠ 0 ,即 a ≠ 6 时,以上矩阵可作如下变换:
1 ①× a+6

②不变

2 + 3b 1 0 a + 6 2 1 b

① ×(2) 加到② ①不变

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② ×(1) ①不变

1 0 0 1

2 + 3b 2 + 3b x = a + 6 a+6 ; ,∴ 此时方程有唯一解 4 ab y = 4 ab a+6 a+6
2 时,方程组无解; 3

ⅱ)当 a + 6 = 0 即 a = 6 时,若 2 + 3b ≠ 0 即 b ≠ ⅲ ) 当 a + 6 = 0 即 a = 6 时 且 b =

2 时,方程组有无穷多解,它们均符合 3

6x 3 y + 2 = 0 。
说明: (1)符合情况ⅰ)时,方程组有唯一解,此时两个线性方程所表示的直线相交; (2)符合情况ⅱ)时,两个线性方程所表示的直线平行,此时方程组无解; (3)符合情况ⅲ)时,两个线性方程所表示的直线重合,此时方程组有无穷多解。 课堂练习 练习: 四、课堂练习: 用矩阵变换方法解下列问题: (1)若方程组

x + y = 2 的解 x 与 y 相等,求 k 的值。 (k 1) x + (k + 1) y = 4

解:

1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 0 k 1 → → → k 1 k +1 4 0 2 6 2k 0 1 3 k 0 1 3 k
解得

x = k 1 ,由题意知: k 1 = 3 k 求得: k = 2 。 y = 3 k

(2)有黑白两种小球各若干个,且同色小球质量均相等,在如下图所示的两次称量的天平 恰好平衡,如果每只砝码质量均为 5 克,每只黑球和白球的质量各是多少克?

第一次称量 解:设黑球和白球的质量各为 x 、 y 千克,则由题意知:

第二次称量

x + 2 y = 5 3 x + y = 10

通过矩阵变换

1 2 5 1 2 5 1 2 5 1 0 3 → → → 3 1 10 0 5 5 0 1 1 0 1 1

解得:黑球每个 3 千克,白球每个 1 千克。

3x 2 y + z = 0 (3)解方程组: x + y + 2 z = 5 5 x 7 y + 8 z = 1

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3 2 1 0 0 5 5 15 0 1 1 3 解: 1 1 2 5 1 1 2 5 1 1 2 5 → → 5 7 8 1 0 12 2 26 0 6 1 13 0 1 1 3 0 1 1 3 0 1 0 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 0 1 → → → 0 0 5 5 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 x = 1 0 1 0 2 即方程组的解为 y = 2 。 → 0 0 1 1 z = 1
五、小结: 小结: 本课学习了利用矩阵的三种基本变换求解线性方程组的解, 此方法的实质为加减消元法 解线性方程组,通过基本变换,将方程组对应的增广矩阵的系数矩阵化为单位矩阵,则最后 一个列向量即为方程组的解。 在运算过程中要注意各行系数之间的关系, 尽量用最简洁的途 径化简。 作业: 六、作业: 习题册 P45 习题 9.1A 组 3;P46 习题 9.1B 组 2。


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