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高中数学二:9.3《二阶行列式》课件


二阶行列式

一、二阶行列式的引入
用消元法解二元线性方程组
? a 11 x 1 ? a 12 x 2 ? b 1 , ? ? a 21 x 1 ? a 22 x 2 ? b 2 .

?1 ?

?2 ?

? 1 ? ? a 22 : ? 2 ? ? a 12 :
两式相减消去

a 11 a 22 x 1 ? a 12 a 22 x 2 ? b 1 a 22 , a 12 a 21 x 1 ? a 12 a 22 x 2 ? b 2 a 12 ,
x 2,得

( a 11 a 22 ? a 12 a 21 ) x 1 ? b 1 a 22 ? a 12 b 2 ;
类似地,消去 x 1,得

( a 11 a 22 ? a 12 a 21 ) x 2 ? a 11 b 2 ? b 1 a 21 ,
当 a 11 a 22 ? a 12 a 21 ? 0 时,

方程组的解为
a 11 b 2 ? b 1 a 21 a 11 a 22 ? a 12 a 21 . ( 3)

x1 ?

b 1 a 22 ? a 12 b 2 a 11 a 22 ? a 12 a 21

, x2 ?

由方程组的四个系数确定.

定义

由四个数排成二行二列(横排称行、竖排

称列)的数表
a 11 a 12 a 21 a 22 (4)

表达式

a 11 a 22 ? a 12 a 21 称为数表( a 11 a 21 a 12 a 22

4)所确定的二阶 (5)

行列式,并记作



D ?

a 11 a 21

a 12 a 22

? a 11 a 22 ? a 12 a 21 .

二阶行列式的计算
主对角线 副对角线
a 11 a 12 a 12

对角线法则
? a11a22 ? a12a21 .

a 22

对于二元线性方程组

? a 11 x 1 ? a 12 x 2 ? b 1 , ? ? a 21 x 1 ? a 22 x 2 ? b 2 .

若记 系数行列式

D ?

a 11 a 21

a 12 a 22

,

? a 11 x 1 ? a 12 x 2 ? b 1 , ? ? a 21 x 1 ? a 22 x 2 ? b 2 .

D ?

a 11 a 21

a 12 a 22

,

? a 11 x 1 ? a 12 x 2 ? b 1 , ? ? a 21 x 1 ? a 22 x 2 ? b 2 .

D1 ?

b1 b2

a 12 a 22

,

? a 11 x 1 ? a 12 x 2 ? b 1 , ? ? a 21 x 1 ? a 22 x 2 ? b 2 .

D ?

a 11 a 21

a 12 a 22

,

? a 11 x 1 ? a 12 x 2 ? b 1 , ? ? a 21 x 1 ? a 22 x 2 ? b 2 .

D1 ?

b1 b2

a 12 a 22

,

? a 11 x 1 ? a 12 x 2 ? b 1 , ? ? a 21 x 1 ? a 22 x 2 ? b 2 .

D2 ?

a 11 a 21

b1 b2

.

则二元线性方程组的解为
b1 x1 ? D1 D ? b2 a 11 a 21 a 12 a 22 a 12 a 22 , x2 ? D2 D ? a 11 a 21 a 11 a 21 b1 b2 a 12 a 22 .

注意

分母都为原方程组的系数行列式.

例1

求解二元线性方程组 ? 3 x 1 ? 2 x 2 ? 12 , ? ? 2 x1 ? x 2 ? 1.



D ?

3 2

? 2 1

? 3 ? (?4) ? 7 ? 0,

D1 ?

12 1

? 2 1
D1 D ?

? 14 ,

D2 ?

3 2

12 1
D2 D ?

? ? 21 ,

?

x1 ?

14 7

? 2,

x2 ?

? 21 7

? ?3.


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