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湖南省津市一中高三2016届高三上学期第一次考试数学理试题


2016 届上学期津市一中高三第一次考试 数学试卷(理科) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。全卷满分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷 一、选择题共 12 小题。每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的一项。 1、设集合 A ? ?1,2,3? , B ? ?4,5? , M ? ?x | x ? a ?

b, a ? A, b ? B? , 则 M中元素的 个数为 (A)3 (B)4 (C)5 (D)6

2、设复数 Z 满足 ( 3 ? i) ? Z ? 2i ,则| Z |= (A) 2 (B) 3 (C)1 (D)2

3、已知向量 m ? ? ? ?1,1? , n ? ? ? ? 2,2? , 若? m ? n? ? ? m ? n ? , 则? = (A) ?4 (B) -3 (C) ?2 (D) -1

4、已知函数 f ? x ?的定义域为? -1,0 ?,则函数f ?2x ?1?的定义域为 (A) ? ?1,1? (B) (0, )

1 2

(C) -?- 1,0?

(D) ? ,1?

?1 ? ?2 ?

5、为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事 先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力 情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 (A)简单随机抽样 (B)按性别分层抽样 (C)按学段分层抽样(D)系统抽样

6、已知数列 ?an ? 满足 3an ?1 ? an ? 0, a2 ? ?
-10 (A) -6 1-3

4 , 则?an ?的前10项和等于 3

?

?

(B) (1 ? 3 )
10
-10 (D) 3 1+3

1 9

-10 (C) 3 1-3

?

?

?

?
1 2
1 2

7、sin20°cos10°-con160°sin10°= (A) ?

3 2

(B)

3 2

(C) ?

(D)

8、投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试。已知某同学

每次投篮投中的概率为 0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学 通过测试的概率为 (A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312

9、执行右面的程序框图,如果输入的 t=0.1,则输出的 n= (A)3 (B)4 (C)5 (D)6

10、在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则异面直线 A1C1 和 AB1 所成角的余弦值为 (A)

10 5
2

(B)

3 6

(C)

2 2

(D)

1 2

11、以抛物线 y =4x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为 (A) ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 (C) x2 ? ( y ?1)2 ? 1 (B) ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 (D) x2 ? ( y ? 1)2 ? 1

12、已知 f ( x) ? 2 x ? 1 , g ( x) ? 1 ? x 2 ,规定:当 | f ( x) |? g ( x) 时, h( x) ?| f ( x) | ; 当 | f ( x) |? g ( x) 时, h( x) ? ? g ( x) ,则 h( x) (A)有最小值 ?1 ,最大值 1 (C)有最小值 ?1 ,无最大值 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考题,每个考生都必须 作答。第(22)题-第(24)题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共四小题,每小题5分。 13、.若函数 f ? x ? ? ln ? x 2 ? ax ? 1? 是偶函数,则实数 a 的值为 14、曲线 f ( x) ? x ln x ? x 在点 x ? 1 处的切线方程为 15、设当x=θ 时,函数f(x)=sinx-cosx取得最大值,则cosθ =______ 16、已知 [ x ) 表示大于x的最小整数,例如 [3) ? 4,[?1, 2) ? ?1. 下列命题中真命题为 。 (写出所有真命题的序号) . . (B)有最大值 1,无最小值 (D)有最大值 ?1 ,无最小值

①函数 f ( x) ? [ x) ? x 的值域是 (0,1]; ②若 {an } 为等差数列,则 [an ) 也是等差数列; ③函数 f ( x) ? [ x) ? x 是周期函数; ④若 x ? (1, 4), 则方程[ x) ? x ?

1 有 3 个根。 2

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤: 17、(本小题满分12分)

已知p: 1 ?

x ?1 ? 2 ;q: x 2 ? 2x ? 1 ? a 2 ? 0(a ? 0) ,q是p 的必要不充分条件,求实 3

数a的取值范围。

18、(本小题满分12分) 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90° 1 (1) 若 PB= ,求 PA; 2 (2) 若∠APB=150°,求 tan∠PBA C

P A B

19、(本小题共 12 分) 某高中为了推进新课程改革,满足不同层次学生的需求,决定从高一年级开始,在每周 的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座, 每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座,也可以放弃任何一 门科目的辅导讲座。 (规定:各科达到预先设定的人数时称为满座,否则称为不满座)统计数 据表明,各学科讲座各天的满座的概率如下表:

根据上表: (1)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率; (2)设周三各辅导讲座满座的科目数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列和数学期望。

20、(本小题共 12 分) 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为 10 万元,每生产 1 千件需另投入 2.7 万 元,该公司一年内共生产该品牌服装 x 千件并且全部销售完,每千件的销售收入为

R(x)万元,且

1 2 ? 10 . 8 ? x (0 ? x ? 10) ? ? 30 R( x) ? ? ?108 ? 1000( x ? 10) ? ? x 3x 2

(1)写出年利润 W(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中获得的利润最大?(注:年利润 =年销售收入-年总成本)

21、 (本题满分 12 分) 设数列 ?an ? 的各项都为正数,其前 n 项和为 S n ,已知对任意 n ? N * , S n 是 an 和 an 的
2

等差中项. (Ⅰ)证明数列 ?an ? 为等差数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)证明

1 1 1 ? ??? ?2; S1 S 2 Sn

(Ⅲ) 设集合 M ? {m m ? 2k ,k ? Z , 且1000 ? k ? 1500 } , 若存在 m ∈M, 使对满足 n ? m

的一切正整数 n ,不等式 S n ? 1005 ?

2 an 恒成立,求这样的正整数 m 共有多少个? 2

请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如 果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂 黑。 22、 (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, 直线 AB 为圆的切线, 切点为 B, 点 C 在圆上, ∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E,DB 垂直 BE 交圆于 D。 (Ⅰ)证明:DB=DC; (Ⅱ)设圆的半径为 1,BC= 3,延长 CE 交 AB 于点 F, 求△BCF 外接圆的半径。

23、 (本小题 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程
? x ? 2 ? 2 cos ? , 已知曲线 C1 的参数方程为 ? ( ? 为参数) .在平面直角坐标系中,以坐标原 ? y ? 2sin ?

点 为 极 点 , x 轴 的 非 负 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 , 曲 线 C2 的 极 坐 标 方 程 为

? cos ? ? ? ? ? 2 2 . ( ? 厔0,0 ? ? 2π) 4
?

? ?

π?

(Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标.

24、 (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x -8x+1.记 f(x)≤1 的解集为 M,g(x)≤4 的解集 为 N. (1)求 M; 1 2 2 (2)当 x∈M∩N 时,证明:x f(x)+x ≤ . 4
2

参考答案: 1~12:BCBBC 13~16:a=0; BDABA AC

2x-y-1=0

?

2 2

①③④

17、p: x ?[?2,10], q: x ? [1 ? a,1 ? a]

[?2,10] ? [1 ? a.1 ? a]
P是q 的充分不必要条件,所以, 1 ? a ? ?2

1 ? a ? 10
a ? [9,??)
18(1)由题意得:cos∠ABP =cos∠BCP=

1 2

1 1 3 7 ? 3 ? 2? ? 3 ? ? 4 2 2 4 ∴ 7 ? PA ? 2 PA2 ?
(2)设∠ABP= ? ,PB= cos? ∠BAP= 30 ? ? ,由正弦定理得
?

3 3 sin ? 得 tan? ? ? ? ? 4 sin 150 sin(30 ? ? )

19、 :解: (1)设数学辅导讲座在周一,周三,周五都不满座位事件 A, 则 P(A)=(1,

(2)由题意随机变量 ξ 的可能值为 0,1,2,3,4,5, P(ξ =0)= P(ξ =1)= P(ξ =2)= P(ξ =3)= P(ξ =4)= P (ξ =5)= , , , = , = , ,

所以随机变量的分布列为:

故 Eξ =



点评:此题属于中档题型,重在理解题意并分型事件的类型用准概率公式,考查了随机变量 的定义及其分布列,还考查了随机变量的期望公式及计算能力.

? 1 2 ? x ? 8.1x ? 10(0 ? x ? 10) ? ? 10 w?? 20、解: ?98 ? 2.7 x ? 1000( x ? 10) ? 3x ?

...........(6 分)

由w' ? 8.1 ?

x ? 0得x ? 9 10 且x ? (0,9)时,w' ? 0, x ? (9,10)时w' ? 0

? x ? 9时,w有最大值38.6万元 1000 1000 x ? 10时w ? 98 ? ( ? 2.7 x) ? 98 ? 2 ? 2.7 x ? 38 3 x 3 x 0 ? x ? 10 (2)当 时, 1000 100 当且仅当 ? 2.7 x,即x ? 时,w取得最大值38万元 3x 9 综上所述得:x ? 9时,w取得最大值38.6万元。
......... (13 分)
2 21、 【解】 (Ⅰ)由已知, 2S n ? an ? an ,且 an ? 0 .
2 当 n ? 1 时, 2a1 ? a1 ? a1 ,解得 a1 ? 1 .

(1 分) (2 分)

2 当 n ? 2 时,有 2S n?1 ? an ?1 ? an?1 .

于是 2S n ? 2S n?1 ? an ? an?1 ? an ? an?1 ,即 2an ? an ? an?1 ? an ? an?1 .
2 2 2 2

于是 an ? an?1 ? an ? an?1 ,即 (an ? an?1 )(an ? an?1 ) ? an ? an?1 .
2 2

因为 an ? an?1 ? 0 ,所以 an ? an?1 ? 1(n ? 2) . 故数列 ?an ? 是首项为 1,公差为 1的等差数列,且 an ? n .

(4 分) (5 分)

(Ⅱ)因为 an ? n ,则 S n ?

2 1 1 ? 2( ? ). n(n ? 1) n n ?1

(7 分)

所以

1 1 1 ? ??? ? 2( [(1 ? 1 ) ? ( 1 ? 1 ) ? ? ? ( 1 ? 1 )] ? 2(1 ? 1 ) ? 2 .(9 分) 2 2 3 n n ?1 n ?1 S1 S 2 Sn
2 n an n(n ? 1) n2 ,得 ,即 ? 1005 ,所以 n ? 2010 . (10 分) ? 1005 ? 2 2 2 2

(Ⅲ)由 S n ? 1005 ?

由题设, M ? { 2000, 2002 ,…, 2008 , 2010 , 2012 ,…, 2998 } ,因为 m ∈M, 所以 m ? 2010 , 2012 ,…, 2998 均满足条件,且这些数组成首项为 2010 ,公差为 2 的等 差数列. 12 分)

设这个等差数列共有 k 项,则 2010? 2(k ? 1) ? 2998,解得 k ? 495 . 故集合 M 中满足条件的正整数 m 共有 495 个. (13 分)

22、(1)(看下面的证明过程)(2)

(1)证明:连结 DE,交 BC 于点 G.

因为 DB⊥BE,所以 DE 为直径,∠DCE=∠DBE=90° 由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE. 而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,

所以∠CBD=∠BCD(等角的余角相等) 所以 DB=DC. (2)由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC,

故 DG 是 BC 的中垂线,所以 BG= 设 DE 的中点为 O,连结 BO,则∠BOG=60°.从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,

所以 CF⊥BF,故 Rt△BCF 外接圆的半径等于

.

23、(1)

C1 : ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 极坐标方程是: ? ? 4 cos?

c2 : x ? y ? 4
(2) ?

?x ? y ? 4

解得(2,?2)或(4, 0) 2 2 ?( x ? 2) ? y ? 4

化成极坐标:( 2 2, - ),(4, 0) 4

?


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