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2013 年协作体夏令营试题


2013 年中国数学奥林匹克协作体第十三届中学生夏令营试题
2013 年 7 月 长沙

1. 直角梯形 ABCD 中 BC // AD, AB ⊥ AD, AC ⊥ BD, AC 与 BD 交 M. 边 AB 上的点 K 和边 CD 上的点 L 满足 MK ⊥ CD, ML ⊥ AB. 已知 AB = 1,求线段 KL 的长度.

/>2. 已知函数 f : R ?→ R 满足: f ( x3 + y3 ) = x2 f ( x ) + y2 f (y), ? x, y ∈ R,求函数 f ( x ).

3. 方程 x3 ? y2 = 2000000 是否有正整数解?如果有,是否唯一?

4. 平面上是否存在由有限个圆组成的集合 A 以及由有限个点组成的集合 B 满足: A 中的 任意一个圆过 B 中恰三个点;而 B 中任意一个点也恰有 A 中三个圆经过?

2013 年中国数学奥林匹克协作体第十三届中学生夏令营试题

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