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浙江省名校新高考研究联盟2013届高三第一次联考数学(理)试题


浙江省名校新高考研究联盟 2013 届第一次联考

数学(理科)试题卷
命 审 题:慈溪中学 施炎平 胡 平 德清县高级中学 江战明 永嘉中学 汪志强 校 稿:金勤宏 题:元济高级中学 甘建飞

本试题卷分选择题和非选择题两部分.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 参考公式:
如果事件 A , B 互斥,那么 P

? A ? B ? ? P ? A? ? P ? B ? 如果事件 A , B 相互独立,那么 P ? A ? B ? ? P ? A? ? P ? B ? 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么
n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
k P ? k ? ? Cn pk ?1 ? k ? n n?k

棱柱的体积公式
V ? Sh

其中 S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高 棱锥的体积公式

1 V ? Sh 3 其中 S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高
棱台的体积公式

, ? k ? 0,1,2,?, n?

球的表面积公式 S ? 4? R 2

1 V ? h S1 ? S1S2 ? S2 3

?

?

4 球的体积公式 V ? ? R3 3 其中 R 表示球的半径

其中 S1, S2 分别表示棱台的上底、下底面积,
h 表示棱台的高

第 I 卷(选择题
认为正确的选项答在指定的位置上。 ) 1.已知 i 是虚数单位,且复数 z1 ? 3 ? bi, z 2 ? 1 ? 2i, 若 B. ? 6

共 50 分)

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.请将你

z1 是实数,则实数 b 的值为 z2
D.





A. 6

C.0

1 6

2.已知集合 A ? {x | y ? ? 2x ? x 2 }, B ? {y | y ? 2 x , x ? 0} , R 是实数集,则( CR B )∩ A = A.R 3.一次函数 y ? ? B. ?1,2? C. ?0,1? D. ? ( ( ) )

m 1 x ? 的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是 n n
B. mn ? 0 C. m ? 0, 且n ? 0

A. m ? 1, 且n ? 1 4.当 x ?

D. m ? 0, 且n ? 0

?
4

时,函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0) 取得最小值,则函数 y ? f (

A.奇函数且图像关于点 (

?
2

3? ? x) 是 4





,0) 对称

B.偶函数且图像关于点 (? , 0) 对称 D.偶函数且图像关于点 (

C.奇函数且图像关于直线 x ?

?
2

对称

?
2

,0) 对称

5.已知每项均大于零的数列 {an } 中,首项 a1 ? 1 且前 n 项的和 S n 满足 Sn Sn?1 ? Sn?1 Sn ? 2 Sn Sn ?1 (n ? N* , 且 n ? 2) ,则 a81 ? ( )A.638 B.639 C.640 D.641

???? ???? ? ? ???? ? ???? ? x2 y 2 ? ? 1 上的点,点 M 满足 OM ? 1 ,且 OM ? PM ? 0 ,则当 PM 取得最小值时 6.已知 P 为双曲线 C : 9 16

的点 P 到双曲线 C 的渐近线的距离为 (

)A.

9 5

B.

12 5

C. 4

D. 5

7.在平面斜坐标系 xoy 中 ?xoy ? 450 ,点 P 的斜坐标定义为: “若 OP ? x0 e1 ? y0 e2 (其中 e1 , e 2 分别为与斜 坐标系的 x 轴,y 轴同方向的单位向量) 则点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ” 若 F1 (?1,0), F2 (1,0), 且动点 M ( x, y ) 满 , . 足 MF 1 ? MF 2 ,则点 M 在斜坐标系中的轨迹方程为 ( A. x ? 2 y ? 0 B. x ? 2 y ? 0 C. 2 x ? y ? 0 D. 2 x ? y ? 0 )

????

????

8.在正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, E 是棱 CC1 的中点, F 是侧面 BCC1B1 内的动点, 1 且 A F / / 平 面 D1 AE , 则 A F 与 平 面 BCC1B1 所 成 角 的 正 切 值 构 成 的 集 合 是 1 1 ( )

D1

C1 B1

A1

? 2 5 ? ? ? A. ?t ? t ? 2 3? ? 5 ? ? ?
C. t 2 ? t ? 2 3

? 2 5 ? ? ? B. ?t ? t ? 2? ? 5 ? ? ?
D. t 2 ? t ? 2 2

.F
B

E

D
(第 8 题图)

C

?

?
B.51
3 2

?

?
D.53

A

9.如果正整数 a 的各位数字之和等于 6,那么称 a 为 “好数” (如:6,24,2013 等均为“好数”,将所有“好 ) 数”从小到大排成一列 a1, a2 , a3 , ??????, 若 an ? 2013 ,则 n ? A.50 C.52 ( )

10.设函数 ht ( x) ? 3tx ? 2t ,若有且仅有一个正实数 x0 ,使得 h7 ( x0 ) ? ht ( x0 ) 对任意的正数 t 都成立,则 x0 = ( )A.5 B. 5 C.3 D.

7

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题: (本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 ) 11. 在各项均为正数的等比数列 {an } 中,若公比为 3 2 ,且满足 a3 ? a11 =16,则 log2 a16 ? 12.二项式 (4x ? 2? x )6 ( x? R )展开式中的常数项是 13.执行如下图的程序框图,输出 s 和 n ,则 s ? n 的值为 ▲ ▲ . . ▲ .

14.已知一个棱长为 2 的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积是 ▲ .

正视图

侧视图

15.设圆 俯视图 图图图 圆于 A 、 B 两点, .

C : ( x ? 3)2 ? ( y ? 5)2 ? 5 ,过圆心 C 作直线 l 交
与 y 轴交于点 P ,若 A 恰好为线段 BP 的中点,则直线 l 的方程为 ▲

16.设函数 f ( x) ? x( ) x ?

1 , A0 为坐标原点, An 为函数 y ? f ( x) 图象上横坐标为 n(n ? N * ) 的点,向量 x ?1 n ?? ? ? ? ?? ? n ??????? 21 an ? ? Ak ?1 Ak ,向量 i ? (1, 0),设 ?n 为向量 a n 与向量 i 的夹角,则满足 ? tan ?k ? 的最大整数 n 是 11 k ?1 k ?1
.

1 2



17.已知函数 f ( x ) ?

4x ? k ? 2x ? 1 . 若对任意的实数 x1 , x2 , x3 ,不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) 恒成立,则实数 4x ? 2x ? 1
▲ .

k 的取值范围是

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 18.在 ? ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c .已知

cos A ? 3cos C 3c ? a . ? cos B b

sin C 的值; sin A (Ⅱ)若 B 为钝角, b ? 10 ,求 a 的取值范围.
(Ⅰ)求 19. 甲乙两支球队进行总决赛, 比赛采用七场四胜制, 即若有一队先胜四场, 则此队为总冠军, 比赛就此结束. 因 两队实力相当,每场比赛两队获胜的可能性均为二分之一.据以往资料统计,第一场比赛可获得门票收入 40 万元,以后每场比赛门票收入比上一场增加 10 万元. (Ⅰ)求总决赛中获得门票总收入恰好为 300 万元的概率; (Ⅱ)设总决赛中获得的门票总收入为 X ,求 X 的均值 E ( X ) . 20.如图, AB 为圆 O 的直径,点 E 、 F 在圆 O 上, AB// EF ,矩形 ABCD所在 的平面与圆 O 所在的平面互相垂直.已知 AB ? 2 , EF ? 1 . (Ⅰ)求证:平面 DAF ? 平面 CBF ; (Ⅱ)求直线 AB 与平面 CBF 所成角的大小; (Ⅲ)当 AD 的长为何值时,平面 DFC 与平面 FCB 所成的 锐二面角的大小为 60 ?
A
?

C

D

B

.O
F

E

21.已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆 ? ,它的离心率为

过直线 l : x ? 4 上一点 M 引椭圆 ? 的两条切线,切点分别是 A,B. (Ⅰ)求椭圆 ? 的方程;

1 ,一个焦点和抛物线 y 2 ? ?4x 的焦点重合, 2

x2 y2 xx y y (Ⅱ)若在椭圆 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0 ?上的点 ?x0 , y0 ? 处的椭圆的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . 求证:直线 AB a b a b 恒过定点 C ;并出求定点 C 的坐标. (Ⅲ)是否存在实数 ? ,使得 AC ? BC ? ? AC ? BC 恒成立?(点 C 为直线 AB 恒过的定点)
若存在,求出 ? 的值;若不存在,请说明理由。 22. 已知函数 f ? x ? ? ln ?2ax ? 1? ?

(I)若 x ? 2 为 f ?x? 的极值点,求实数 a 的值;
3

x3 ? x 2 ? 2ax ?a ? R ? 3

(II)若 y ? f ?x ? 在 ?3,?? ? 上为增函数,求实数 a 的取值范围;

?1 ? x ? ? b 有实根,求实数 b 的最大值. 1 (III)当 a ? ? 时,方程 f ?1 ? x ? ? 3 x 2

浙江省名校高考研究联盟 2013 届第一次联考 数学(理科)参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)

1 A

2 C

3 B

4 C

5 C

6 B

7 D

8 D

9 B

10 D

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11. 14. 17. 5 12. 15 13. 16. 13 10

17 3 1 ? ?k ?4 2

15. 2 x ? y ? 1 ? 0 或 2 x ? y ? 11 ? 0

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或解题步骤) 18. (本小题满分 14 分) 解: (I)由正弦定理,设

a b c ? ? ? k, sin A sin B sin C 3c ? a 3k sin C ? k sin A 3sin C ? sin A 则 ? ? , b k sin B sin B cos A ? 3cos C 3sin C ? sin A 所以 ??????4 分 ? . cos B sin B
即 (cos A ? 3cos C )sin B ? (3sin C ? sin A) cos B , 化简可得 sin( A ? B) ? 3sin( B ? C ). 又 A? B ?C ? ? , 所以 sin C ? 3sin A ??????6 分

sin C ? 3. sin A sin C (II)由 ? 3 得 c ? 3a. sin A
因此 由题意 ?

??????8 分 ??????9 分

? a?c ?b 2 2 2 , ?a ? c ? b

??????12 分

5 ? ? a ? 10 2
19. (本小题满分 14 分)

??????14 分

解: (I)依题意,每场比赛获得的门票收入组成首项为 40,公差为 10 的等差数列. 设此数列为 ?an ? ,则易知 a1 ? 40, an ? 10n ? 30 ,? Sn ?

解得 n ? ?12 (舍去)或 n ? 5 ,所以此决赛共比赛了 5 场.

n(10n ? 70) ? 300, 2
????3 分
1

则前 4 场比赛的比分必为 1: 3 ,且第 5 场比赛为领先的球队获胜,其概率为 C4 ( ) ?
4

1 2

1 ; 4

????6 分 (II)随机变量 X 可取的值为 S4 , S5 , S6 , S7 ,即 220,300,390,490 ????7 分 ????8 分 ????12 分

1 1 1 1 , P( X ? 300) ? C4 ( )4 ? 8 2 4 1 5 5 3 1 P( X ? 390) ? C52 ( )5 ? , P( X ? 490) ? C6 ( )6 ? 2 16 2 16 所以, X 的分布列为 220 300 X
又 P( X ? 220) ? 2 ? ( ) ?
4

1 2

390

490

P

1 8

1 4

5 16
????14 分

5 16

所以 X 的均值为 E ( X ) ? 377.5 万元 20. (本小题满分 14 分) (I)证明:? 平面 ABCD? 平面 ABEF , CB ? AB, 平面 ABCD 平面 ABEF = AB , ?

z

C

?CB ? 平面 ABEF . ? AF ? 平面 ABEF ,? AF ? CB ,????2 分 又? AB 为圆 O 的直径,? AF ? BF , ? AF ? 平面 CBF . ????3 分 ? AF ? 平面 ADF ,? 平面 DAF ? 平面 CBF .
????4 分 (II)根据(Ⅰ)的证明,有 AF ? 平面 CBF , ? FB 为 AB 在平面 CBF 内的射影, 因此, ?ABF 为直线 AB 与平面 CBF 所成的角 ? AB// EF ,? 四边形 ABEF 为等腰梯形, 过点 F 作 FH ? AB ,交 AB 于 H .

D

B

H

.O
F

E y

x A

?????6 分

AB ? 2 , EF ? 1 ,则 AH ?

AB ? EF 1 ? . 2 2
????8 分

在 Rt?AFB中,根据射影定理 AF2 ? AH ? AB,得 AF ? 1 .

sin?ABF ?

AF 1 ? ,? ?ABF ? 30 ? . AB 2
????9 分

? 直线 AB 与平面 CBF 所成角的大小为 30 ? .

(Ⅲ)设 EF 中点为 G ,以 O 为坐标原点, OA、 OG 、 AD 方向分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴方向建立空间直 角 坐 标 系 ( 如 图 ) . 设 AD ? t (t ? 0) , 则 点 D 的 坐 标 为 (1, 0, t ) 则

C (? 1 , 0, 又 ) t ,

1 3 A(1, 0, 0), B(?1, 0, 0), F ( , , 0) 2 2 ??? ? ??? ? 1 3 ?CD ? (2,0,0), FD ? ( , ? , t) 2 2
设平面 DCF 的法向量为 n1 ? ( x, y, z ) ,则 n1 ? CD ? 0 , n1 ? FD ? 0 . ????10 分

?? ??? ?

?? ??? ?

?2 x ? 0, ? 即? 3 y ? tz ? 0. ?? ? 2
? n1 ? (0, 2t , 3)

令 z ? 3 ,解得 x ? 0, y ? 2t

??????12 分

由(I)可知 AF ? 平面 CFB ,取平面 CBF 的一个法向量为 n2 ? AF ? (? , 的夹角为 60
?

?? ?

??? ?

1 2

3 , 0) ,依题意 n1 与 n 2 2

? cos60? ?

n1 ? n2 n1 ? n2

,即

1 3t 6 , 解得 t ? ? 2 2 4 4t ? 3 ?1

因此,当 AD 的长为

6 ? 时,平面与 DFC 平面 FCB 所成的锐二面角的大小为 60 .???14 分 4

21. (本小题满分 15 分) 解: (I)设椭圆方程为

x2 y2 c 1 ? 2 ? 1?a ? b ? 0?。抛物线 y 2 ? ?4x 的焦点是 ?? 1,0 ? ,故 c ? 1 ,又 ? ,所以 2 a b a 2

a ? 2, b ? a 2 ? c2 ? 3 ,
所以所求的椭圆 ? 方程为

x2 y2 ? ?1 4 3

??????????4 分

(II)设切点坐标为 A?x1 , y1 ? , B?x2 , y2 ? ,直线 l 上一点 M 的坐标 ?4, t ? 。则切线方程分别为

x1 x y1 y ? ? 1, 4 3 x2 x y2 y t t t ? ? 1 。又两切线均过点 M,即 x1 ? y1 ? 1, x2 ? y2 ? 1 ,即点 A,B 的坐标都适合方程 x ? y ? 1 , 4 3 3 3 3 t 而两点之间确定唯一的一条直线,故直线 AB 的方程是 x ? y ? 1 ,显然对任意实数 t,点(1,0)都适合这 3


C ?1,0 ? 。





, 故 直 线 AB 恒 过 ????????????????????????????9 分





(III)将直线 AB 的方程 x ? ?
2

t y ? 1 ,代入椭圆方程,得 3
2

? t2 ? ? t ? 2 3? ? y ? 1? ? 4 y ? 12 ? 0 ,即 ? ? 4 ? y 2 ? 2ty ? 9 ? 0 ?3 ? ? 3 ? ? ?
所以 y1 ? y2 ?

6t ? 27 , y1 y2 ? 2 t ? 12 t ? 12
2

不妨设 y1 ? 0, y2 ? 0

? t2 ? 2 t2 ? 9 t2 ? 9 AC ? ?x1 ? 1? ? y ? ? ? 1? y1 ? y1 ,同理 BC ? ? y2 ???12 分 ?9 ? 3 3 ? ?
2 2 1

?1 1? 1 1 3 3 y ?y 3 所以 ? ? ?? ? ? ? ? 2 1 ?? ? ?y y ? 2 2 2 AC BC t ?9 ? 1 t ? 9 y1 y2 t ?9 2 ?

? y2 ? y1 ?2
y1 y2

108 ? 6t ? ? 2 ? ? 2 3 1 144 2 ? 9 ?144 4 t ? t ? 12 ? t ? 12 ?? ? ? ? ? ? 27 9 3 t2 ? 9 t2 ? 9 2 t ? 12

2

4 AC ? BC 。 3 4 故存在实数 ? ? ,使得 AC ? BC ? ? AC ? BC 。 3
即 AC ? BC ? 22. (本小题满分 15 分)

???????????15 分

解: (I) f ?? x ? ?

2a x 2ax 2 ? ?1 ? 4a ?x ? 4a 2 ? 2 2 ? x ? 2 x ? 2a ? 2ax ? 1 2ax ? 1

?

?

??

因为 x ? 2 为 f ?x? 的极值点,所以 f ??2? ? 0 ,即 (II)因为函数 f ?x? 在 ?3,?? ? 上为增函数,所以

2a ? 2a ? 0 ,解得 a ? 0 。??4 分 4a ? 1

f ??x ? ?

x 2ax 2 ? ?1 ? 4a ?x ? 4a 2 ? 2 ? 0 在 ?3,?? ? 上恒成立。???6 分 2ax ? 1

?

?

??

?当 a ? 0 时, f ??x? ? x?x ? 2? ? 0 在 ?3,?? ? 上恒成立,所以 f ?x? 在 ?3,?? ? 上为增函数,故 a ? 0 符合题
意。 ? ??7 分

? 当 a ? 0 时 , 由 函 数 f ?x? 的 定 义 域 可 知 , 必 须 有 2ax ?1 ? 0 对 x ? 3 恒 成 立 , 故 只 能 a ? 0 , 所 以

2ax2 ? ?1? 4a?x ? ?4a2 ? 2? ? 0 在 ?3,?? ? 上恒成立。

???8 分

令函数 g?x? ? 2ax2 ? ?1? 4a?x ? 4a2 ? 2 , 其对称轴为 x ? 1?

?

?

1 1 , 因为 a ? 0 , 所以 1 ? 要使 ? 1 , g ?x ? ? 0 4a 4a
3 ? 13 3 ? 13 。 因为 a ? 0 , ?a? 4 4

在 ?3,?? ? 上恒成立, 只要 g ?3? ? 0 即可, g?3? ? ?4a2 ? 6a ?1 ? 0 , 即 所以

所以 0 ? a ?

3 ? 13 。 4
? 3 ? 13 ? ?。 4 ? ?
3

综上所述,a 的取值范围为 ? 0,

???10 分

?1 ? x ? ? b 可化为 ln x ? ?1 ? x?2 ? ?1 ? x? ? b 。 1 (Ⅲ)当 a ? ? 时,方程 f ?1 ? x ? ? 3 x 2 x
2 3 问 题 转 化 为 b ? x ln x ? x?1 ? x ? ? x?1 ? x ? ? x ln x ? x ? x 在 2

?0,?? ?

上 有 解 , 即 求 函 数

g?x? ? x ln x ? x2 ? x3 的值域。
因为函数 g?x? ? x ln x ? x2 ? x3 ,令函数 h?x? ? ln x ? x ? x2 ?x ? 0? ,???12 分 则 h??x ? ?

?2x ? 1??1 ? x? , 1 ?1 ? 2x ? x x

所以当 0 ? x ? 1 时, h??x ? ? 0 ,从而函数 h?x ? 在 ?0,1? 上为增函数, 当 x ? 1 时, h??x ? ? 0 ,从而函数 h?x ? 在 ?1,?? ? 上为减函数, 因此 h?x? ? h?1? ? 0 。 而 x ? 0 ,所以 b ? x ? h?x? ? 0 ,因此当 x ? 1 时,b 取得最大值 0. ???15 分


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