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2.2.1椭圆及其标准方程


天体的运行

一.课题引入:

生 活 中 的 椭 圆
如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的 物件呢? 椭圆的画法

椭圆及其标准方程

F1

F2

一、椭圆的定义:
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆, 这两个定点叫做椭圆的焦点, 两焦点的距离叫做椭圆的焦距.

问题1:当常数等于|F1F2|时,点M的轨迹 是什么? 线段F1F2 问题2:当常数小于|F1F2|时,点M的轨迹 是什么? 轨迹不存在

1、椭圆的定义:
平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常 数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离 M 叫做椭圆的焦距。
几点说明: F F 1、F1、F2是两个不同的定点; 2、M是椭圆上任意一点,且|MF1| + |MF2| = 常数; 3、通常这个常数记为2a,焦距记为2c,且2a>2c(?); 4、如果2a = 2c,则M点的轨迹是线段F1F2.
1 2

5、如果2a < 2c,则M点的轨迹不存在.(由三角形的性质知)

下面我们来求椭圆的标准方程.

课堂练习1
(1)动点P到两个定点F1(- 4,0)、F2(4,0)的距离 之和为8,则P点的轨迹为 A、椭圆 B、线段F1F2 C、直线F1F2 ( B) D、不能确定

(2)动点P到两个定点F1(- 4,0)、F2(4,0) 的距离之和为不小于8,则P点的轨迹为 ( ) A、椭圆 B、线段F1F2 C、直线F1F2 D、不能确定

2.求椭圆的方程:
? 探讨建立平面直角坐标系的方案
y y y F1
O O O

y M M
O F2

y F2 xx x
O

x F1

x

方案一

方案二

原则:尽可能使方程的形式简单、运算简单; (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的 直线作为坐标轴.) (对称、“简

Y

M (x,y)

F1 (-c,0)

O

F2 (c,0)

如图所示: F1、F2为两定 点,且|F1F2|=2c,求平面 内到两定点F1、F2距离之 X 和为定值2a(2a>2c)的动 点M的轨迹方程。

解:以F1F2所在直线为X轴, F1F2 的中 点为原点建立平面直角坐标系,则焦点F1、F2 的坐标分别为(-c,0)、 (c,0)。 设M(x,y)为所求轨迹上的任意一点, 则:|MF1|+ |MF2|=2a

即 : ( x ? c ) ? y ? ( x ? c ) ? y ? 2a
2 2 2 2

所以 ( x ? c) 2 ? y 2 ? 2a ? ( x ? c) 2 ? y 2 两边平方得 : ( x ? c) 2 ? y 2 ? 4a 2 ? 4a ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 即 : a 2 ? cx ? a ( x ? c) 2 ? y 2

两边平方得:a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2
即:(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)
Y

因为2a>2c,即a>c,所以 a2-c2>0,令a2-c2=b2,其中 b>0,代入上式可得: b2x2+a2y2=a2b2 两边同时除以a2b2得:

M(x,y)

F1 (-c,0)

O

F2 (c,0)

X

x2 y2 ? 2 ? 1 (a>b>0) 2 a b

这个方程叫做椭圆的标准方程, 它所表示的椭圆的焦点在x 轴上。

三、①椭圆方程的几何意义:

y

y B2 a b A1 A2 x F1 O c F2

F1 o
2

F2
2

x

B1

x y ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 a b

②椭圆的第二种形式: 如果椭圆的焦点在y轴上, 焦点是F1(o,-c)、F2(0,c)方程是怎样呢?
y
F2
M

o
F1

x

y x ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 a b

2

2

四、两类标准方程的对照表:
定 义
P={M||MF1|+|MF2|=2a}

y
图 形
F 1

(2a>2c>0) y
F 2
M

M

o

F2 x

o
F 1

x

方 程 焦 点 a,b,c之间的关系 注:

x2 y2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 a b
F(±c,0)在X轴上

y2 x2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 a b
F(0,±c)在Y轴上

c2=a2-b2

哪个分母大,焦点就在相应的哪条坐标轴上!

Y

M M F2 (c,0) X

Y

F2(0 , c) O
X F1(0,-c)
y2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

F1 (-c,0)

O

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

椭圆的标准方程的再认识:

(1)椭圆标准方程的形式:左边是两个分式的平方和,右边是1 (2)椭圆的标准方程中,x2与y2的分母哪一个大,则焦点在哪

一个轴上。

( 3)椭圆的标准方程中三个参数 a、 b、 c满足 a2=b2+c2。

(4)由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的 值。

五、数学应用:

例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程
(1) a =4,b=1,焦点在 x 轴上; 2

x 2 ? y ?1 16
2

(2) a =4,b=1,焦点在坐标轴上;

x 2 或 2 y ? y ?1 x ? ?1 16 16

2

例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程: (1)两焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0), 椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10。

(2)两焦点的坐标分别是(-2,0)、(2,0), 5 3 且椭圆经过点P ( ,? )。 2 2

(1)两焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0),椭 圆上一点P到两焦点距离之和等于10。
解:因为椭圆的焦点在X轴上,所以可设它的方程
2 2 x y 为: ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b ?2a=10,2c=8 即 a=5,c=4

故 b2=a2-c2=52-42=9

x2 y2 ?1 所以椭圆的标准方程为: ? 25 9

(2)两焦点的坐标分别是(-2,0)、(2,0),且

椭圆经过点P

5 3 ( ,? ) 2 2



解:因为椭圆的焦点在X轴上,所以可设它的方程为:

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

?由椭圆的定义可知:
所以a ? 10
5 3 5 3 2a ? ( ? 2) 2 ? (? ) 2 ? ( ? 2) 2 ? (? ) 2 ? 2 10 2 2 2 2 故 b2=a2-c2=10-22=6

又因 c=2,

所以椭圆的标准方程为:
x2 y2 ? ?1 10 6

课堂练习2:
1.口答:下列方程哪些表示椭圆?若是,则判定其焦点在何轴? 并指明 a 2 , b 2 ,写出焦点坐标.

x2 y2 (1) ? ?1 25 16
x2 y2 (3) ? ?1 16 16

(2) ? 3x 2 ? 2 y 2 ? ?1

(4)9 x 2 ? 25 y 2 ? 225 ? 0
x2 y2 (6) ? ?1 24 ? k 16 ? k

x y (5) 2 ? 2 ?1 m m ?1

2

2

?

探究与互动:
1、方程
x2 y2 + =1 ,分别求方程满足下列条件 25-m 16+m

的m的取值范围:

①表示一个圆;
析:方程表示圆需要满足的条件:

?25 ? m ? 0 ? ?16 ? m ? 0 ?25 ? m ? 16 ? m ?

9 ?m? 2

探究与互动:
1、方程
x2 y2 + =1,分别求方程满足下列条件 25-m 16+m

的m的取值范围:

①表示一个圆;
②表示一个椭圆;

9 (1) m ? 2

析:方程表示一个椭圆需要满足的条件:

?25 ? m ? 0 ? ?16 ? m ? 0 ?25 ? m ? 16 ? m ?

? ?16 ? m ? 25且m ?

9 2

探究与互动:
1、方程
x2 y2 + =1,分别求方程满足下列条件 25-m 16+m

的m的取值范围:

①表示一个圆;
②表示一个椭圆;

9 (1) m ? 2

析:方程表示一个椭圆需要满足的条件:

?25 ? m ? 0 ? ?16 ? m ? 0 ?25 ? m ? 16 ? m ?

? ?16 ? m ? 25且m ?

9 2

探究与互动:
1、方程
x2 y2 + =1 ,分别求方程满足下列条件 25-m 16+m

的m的取值范围:

①表示一个圆;
②表示一个椭圆;

9 (1) m ? 2

9 (2) ? 16 ? m ? 25且m ? 2

③表示焦点在x轴上的椭圆。
析:表示焦点在x轴上的椭圆需要满足的条件:
?25 ? m ? 0 ? ?16 ? m ? 0 ?25 ? m ? 16 ? m ?

9 ? ?16 ? m ? 2

解题感悟:

方程表示椭圆时要看清楚限 制条件,焦点在哪个轴上。

思考:方程Ax 2 ? By 2 ? 1表示椭圆的充要条件是 ____, 表示焦点在y轴上的充要条件是 ______

A ? 0, B ? 0, A ? B A? B?0

练习3:若方程4x2+ky2=1表示的曲线是焦点在y轴 上的椭圆,求k的取值范围。
2 2 x y 2 2 解:由4 x ? k y ? 1得 ? ?1 1 1 4 k

∵方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆

1 1 ? ? k 4

解之得:0<k<4
∴k的取值范围为0<k<4。

例3、过椭圆 4 x ? y ? 1 的一个焦点 交于A、B两点,求 ?ABF2 的周长。
2 2

F1 的直线与椭圆
y

F2
o

B

x

A

F1

例4:已知△ABC的一边BC长为8,周长为20,求顶点A的 轨迹方程.
解:以BC边所在直线为x轴,BC中点为原点,建立如右图所示

的直角坐标系,则B?C两点的坐标分别为(-4,0)?(4,0). ∵|AB|+|BC|+|CA|=20且|BC|=8,
∴|AB|+|AC|=12>|BC|, ∴点A的轨迹是以B?C为焦点的椭圆 (除去与x轴的交点). 且2a=12,2c=8,及a2=b2+c2得

a2=36,b2=20.
故点A的轨迹方程是 (y≠0).

x2 y 2 ? ?1 36 20

定义法

练习:已知 A( - 1,0),B(1,0) ,线段 CA 、 AB 、 CB 的长成等差数列,则点 C 的 2/4+y2/3=1 x 轨迹方程是_____________.

椭圆及其标准方程 (2)

复习旧知
标准方程
x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 a b
y P

x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 b a y
F2 P

不 同 点




F1
O

F2

x

O

F1

x

焦点坐标 相 同 点 定 义

F1 ? -c , 0 ?,F2 ? c , 0 ?

F1 ? 0?,?- c ?,F2 ? 0?,?c ?

平面内到两个定点F1,F2的距离的和等 于常数(大于F1F2)的点的轨迹
a 2 = b2 + c2

a、b、c 的关系
焦点位置的判断

分母哪个大,焦点就在哪个轴上

? 例1求焦点在坐标轴上,且经 过两点 A( 3,?2), B(?2 3,1) ? 的椭圆的标准方程。
分析一:当焦点在x轴上时, 设方程x2/a2+y2/b2=1 当焦点在x轴上时, 设方程x2/b2+y2/a2=1 分析二:设方程mx2+ny2=1(m>0,n>0)

x2/15+y2/5=1

? (2)求与椭圆x2/5+y2/4=1有公共焦点,且过点 (3,0)的椭圆的标准方程。 ? x2/9+y2/8=1 x y
2

若知椭圆的焦点在x轴上可以设方程为

m?c m x2 y2 若知椭圆的焦点在y轴上可以设方程为 ? ?1 2 m m?c
2

?

2

?1

? (3)已知椭圆x2+2y2=a2(a>0)的左焦点到直线l: x-y-2=0的距离为 2 2 ,求椭圆方程。 ? x2/8+y2/4=1

例2、在圆 x 2 ? y 2 ? 4 上任取一点P,过点P作x轴 的垂线段PD,D为垂足。当点P在圆上运动时,线 段PD的中点M的轨迹是什么?为什么?
y
P

D

o

x

相关点法(转移法):即利用中间变量求曲线方程.

变式:已知圆x ? y ? 9, 从这个圆上任意一点P向x轴作
2 2

垂线段PP ' ,点M在PP ' 上,并且 PM ? 2 MP', 求点M的轨迹。
y P

M
o P’ x

x 2 ? y ?1 9

2

x2 y2 例3:P是椭圆 ? ? 1上的一点,F1 , F2是两个焦点 100 64 若?F1 PF2 ? 60 0 求 ( 1 )三角形F1 PF2的面积 (2) PF1 ? PF2 的最大值

P

解:由椭圆定义知 PF1 ? PF2 ? 20, (1) 在△F1 PF2中由余弦定理知 PF1 ? PF2 - 2 PF1 ? PF2 cos 60 0 ? 12 2 ? PF1 ? PF2 ? PF1 ? PF2 ? 144 ? ( PF1 ? PF2 ) 2 ? 3 PF1 ? PF2 ? 144 ? 20 2 ? 3 PF1 ? PF2 ? 144 ? PF1 ? PF2 ? 1 64 3 S ? ? PF1 ? PF2 sin F1 PF2 ? 2 3 (2) ? a ? 10,又 PF1 ? PF2 ? 20, ? PF1 ? PF2 ? 2 PF1 ? PF2 ? PF1 ? PF2 ? ( PF1 ? PF2 2 当且仅当 PF1 ? PF2 时“?”成立 ? PF1 ? PF2 的最大值为 100
焦点三角形面积公式:S△ F1PF2 ? b 2 ? tan ? F1PF 2
2 2 2 2

256 3

) 2 ? 100

练习; 1、过椭圆4 x 2 ? y 2 ? 1的一个焦点F1的直线与椭圆交于 A、B两点,求A、B与椭圆的另一个焦点F2构成?ABF2 的周长。 x2 y2 2、已知F1,F2是椭圆 ? ? 1,的两个焦点,P是 100 64 椭圆上任一点。 (1 )若?F1PF2 ?

?

6 (2)求 PF1 ? PF2 的最大值。

,求?F1PF面积

例4:如图,设A、B的坐标分别为(? 5,0), (5,0).直线AM,BM 相交于点M,且他们的斜率 4 之积是 - ,求点M的轨迹方程。 9
y M

练习:课本P42,练习 第4题
x

A

o

B

七.走进高考:
?
(海南2009高考(理)第20题第一问)

已知椭圆的中心为直角坐标系xOy的原点,焦 点在X轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是 7和1. 求椭圆的方程.
(海南2008高考(文)第15题)

x2 ? y2 ? 1 过椭圆 的右焦点作一条斜率 2 为1的直线与椭圆交于A、B两点,O为坐标原点,则 △OAB的面积为______________.


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