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36.导数的综合应用


导数的综合应用
函数的单调区间

例1.已知f ? ? x ?的图像如右图所示,则f ? x ?的 图像是

y – 1 +1 x – 1

y – 1 +1 x

y – 1 +1 x

y

+1

x

练习 .设 f '(x) 是函数 f(x) 的导函数, y=f '(x) y 的图象如右图所示, 则 y=f(x) 的图象最有可能的是
O -1
y y y

1
y

2

x

2

O x
1 2 x

O

1

2

x

O

1 2

x

O

1

A

B

C

D

a 2 例2 :已知函数f ? x ? ? x ? ? a ? 1? x ? ln x , a ? R 2 试讨论f ? x ?的单调性

? 1 , x ?1 ? 变 : ? 09广东? 设k ? R,函数f ? x ? ? ?1 ? x , ?? x ? 1, x ? 1 ? F ? x ? ? f ? x ? ? kx , x ? R, 试讨论函数F ? x ? 的单调性.

例3 :已知a ? 0, 函数f ? x ? ? x ? 2ax e 在 ? ?1,1? 上
2 x

?

?

是单调函数, 求a的取值范围

导数的综合应用
恒成立问题(1)

例1.函数f ? x ? ? x ? 3 x ? m在x ? ? 0,1?时f ? x ? ? 0
3

恒成立? 则m的取值范围为 变 .函数f ? x ? ? x ? mx ? 2在x ? ? 0,1?时f ? x ? ? 0
3

恒成立? 则m的取值范围为 变 .函数f ? x ? ? x 3 ? mx ? 2在x ? ? ?1,1?时f ? x ? ? 0 恒成立? 则m的取值范围为

变.函数f ? x ? ? x ? mx ? 2存在x0 ? ?0,1?
3

使f ? x ? ? 0成立? 则m的取值范围为 变.函数f ? x ? ? x ? mx ? 2存在两个x0 ? ?0, 2?
3

使f ? x ? ? 0成立? 则m的取值范围为
变 .函数f ? x ? ? x 3 ? mx ? 2在m ? ? 0,1?时f ? x ? ? 0 恒成立? 则x的取值范围为

导数的综合应用
恒成立问题(2)

x 例1.已知函数f ? x ? ? ln ? x ? 1? ? g ? x ? ? 对所 1? x 有x ? 0都有f ? x ? ? ag ? x ? 恒成立, 求a的取值范围.
a 变.已知函数f ? x ? ? ? x ln x , g ? x ? ? x 3 ? x 2 ? 3a x ?1 ? 如果对任意的x1 , x2 ? ? , 2 ? , 都有f ? x1 ? ? g ? x2 ? 恒 ?2 ? 成立,求实数a的取值范围

变.? 09浙江 ?已知函数f ? x ? ? x 3 ? k 2 ? k ? 1 x 2 ? 5 x ? 2, g ? x ? ? k x ? kx ? 1, 其中k ? R .
2 2

?

?

?1? 设函数p ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? .若p ? x ? 在 ? 0, 3? 上不单调 ?g ? x?, x ? 0 ? , 是否存在k , 对任意 ? 2 ? 设函数q ? x ? ? ? ? f ? x?, x ? 0 ? 给定的非零实数x1 , 存在唯一的非零实数x2 ? x1 ? x2 ? 使得q? ? x2 ? ? q? ? x1 ? ? 若存在, 求k的值;若不存在,请
说明理由.

例2.已知函数f ? x ? ? x ? 3 x , 证明:对任意的
3

x1 , x2 ? ? ?1,1?,不等式 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 4恒成立
1 2 ? ?9辽宁?已知函数f ? x ? ? 2 x ? ax ? ? a ? 1? ln x , a ? 1 ? 2 ? 证明 : 若a ? 5, 则对任意x1 , x2 ? ? 0, ?? ? , x1 ? x2 , 有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? x2 ? ?1

例3 :已知a ? 0, 函数f ? x ? ? x ? 2ax e 在 ? ?1,1? 上
2 x

?

?

是单调函数, 求a的取值范围

例4.已知函数f ? x ? ? a ln ? x ? 1? ? x ? 10 x .对于
2

a ? ?10,16? , f ? x ? ? b在x ? ? 2, 6 ? 恒成立, 求b的取值范围.

导数的综合应用
二阶导数

1 2 例1:当x ? 0时,求证:ln ?1 ? x ? ? x ? x 2 2 x 2 变:? 09湖南 ?已知函数f ? x ? ? ln ?1 ? x ? ? . 1? x ?1? 求函数f ? x ?的单调区间;
2

变:若不等式x ? sin x ? ax对于x ? ? 0,1? 恒成立, 求a的取值范围

例2.已知函数f ? x ? ? sin x , 对于满足0 ? x2 ? x2 ? ? 的任意x1 , x2 , 判断下列结论是否正确:

???? x2 ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x1 ?? ? 0; ? ? ? 2 ? x2 f ? x1 ? ? x1 f ? x2 ? ; ? 3? f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? x2 ? x1; f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? x1 ? x2 ? ? f? ? 4? ?
2 ? 2 ?

? 04全国?已知函数f ? x ? ? x ln x
?1? 求f ? x ?的最小值; ? 2 ? 讨论关于x的方程f ? x ? ? m ? 0 ? m ? R ?
的解的个数;

? 3?当a ? 0, b ? 0时, 求证 : f ? a ? ? f ? b ? ? f ? a ? b ? ? ? a ? b ? ln 2

导数的综合应用
微分中值定理

例2.在下列四个函数中,满足性质 : “对于区间 ??, ? ? 上的任意x1、x2 ? x1 ? x2 ? , f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? x2 ? x1 恒 成立”的只有

1 A. f ? x ? ? x
C. f ? x? ? 2
x

B. f ? x ? ? x D. f ? x ? ? x
2

例3.对于正实数? , 记M ? 为满足下述条件的函数 f ? x ? 构成的集合:?x1 , x2 ? R且x2 ? x1 , 有 ?? ? x2 ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? ? ? x2 ? x1 ? .下列结论 中正确的是 ?

? A.若f ? x ? ? M ? , g ? x ? ? M ?
1

2

, 则f ? x ??g ? x ? ? M ?1 ?? 2 g ? x? f ? x? ? M ?1

B .若f ? x ? ? M ?1 , g ? x ? ? M ? 2 , 且g ? x ? ? ?? 则

?2

C .若f ? x ? ? M ?1 , g ? x ? ? M ? 2 , 则f ? x ? ? g ? x ? ? M ?1 ?? 2 D .若f ? x ? ? M ?1 , g ? x ? ? M ? 2 , 且?1 ? ? 2 ,则f ? x ? ? g ? x ? ? M ?1 ?? 2

1 2 ? ?9辽宁?已知函数f ? x ? ? 2 x ? ax ? ? a ? 1? ln x , a ? 1 ? 2 ? 证明 : 若a ? 5, 则对任意x1 , x2 ? ? 0, ?? ? , x1 ? x2 , 有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? x2 ? ?1

???一模 ?已知函数f ? x ? ? ln x ,

a 2 g ? x ? ? x ? ? a ? 1? x , a ? R 2 ?1? 设F ? x ? ? g ? x ? ? f ? x ? , 求函数F ? x ?的单调区间; ?1 ? ? 2 ? 若a ? 1, 且?x1 , x2 ? ? , ?? ? , x1 ? x2 , 都有 ?e ? m g ? x1 ? ? g ? x2 ? ? x1 f ? x1 ? ? x2 f ? x2 ? , 求实数m的取值范围.

导数的综合应用
偏导数

? 04全国?已知函数f ? x ? ? x ln x
?1? 求f ? x ?的最小值; ? 2 ? 讨论关于x的方程f ? x ? ? m ? 0 ? m ? R ?
的解的个数;

? 3?当a ? 0, b ? 0时, 求证 : f ? a ? ? f ? b ? ? f ? a ? b ? ? ? a ? b ? ln 2

例5.已知函数f ? x ? ? x ? ln ? x ? a ? 在x ? 1处取极值

?1? 求a的值;2 ? 若关于x的方程f ? x ? ? 2 x ? x ?

2

? b在

?1 ? 2 ? ,? 上恰有两个不等的实根, 求b的取值范围. ?2 ?

例8.已知函数f ? x ? ? e

x

?x

2

? ax ? a

?

??? 求函数f ? x ?的单调区间和极值 ? 2 ? 若函数g ? x ? ? f ? x ? ? t ? t ? R, a ? 2 ? , 且g ? x ? 在 ? ?3, ?? ? 上有三个零点,求实数t的取值范围.


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