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2016-2017学年河北省衡水市故城高中高三(上)第二次月考数学试卷(文科)


2016-2017 学年河北省衡水市故城高中高三(上)第二次月考数 学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知等差数列{an}中,a2=5,a4=11,则前 10 项和 S10=( A.55 B.155 C.350 D.400 2.已知向量 =(4,2) , =(x,3) ,且 ∥ ,则 x 等于( A.9 B.6 C.5 D.3 ) ) )

3.若实数 a,b 满足 a+b=2,则 3a+3b 的最小值是( A.18 B.6 C.2 D.2

4. 已知 D 为△ABC 的边 BC 上的中点, △ABC 所在平面内有一点 P, 满足 =0,则 A. B. 等于( C.1 ) D.2 )

+

+

5.数列{(﹣1)n(2n﹣1)}的前 2 016 项和 S2016 等于( A.﹣2 016 B.2 016 C.﹣2 015 D.2 015 )

6.若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是( A. B. C.5 D.6

7.如果实数 x、y 满足 值 3,那么实数 k 的值为( A.2 B.﹣2 C. )

,目标函数 z=kx+y 的最大值为 12,最小

D.不存在 =2, (n∈N*) , 且f (1) 则f (20) 为 ( )

8. 设函数 f (x) 满足 A.95 B.97 C.105 D.192

9.已知向量 =(cosθ,sinθ) ,向量 =( 值分别是( A.4 ) C.16,0

,﹣1)则|2 ﹣ |的最大值,最小

,0 B.4,4

D.4,0

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10.数列 an=

,其前 n 项之和为 )

,则在平面直角坐标系中,直线(n+1)

x+y+n=0 在 y 轴上的截距为( A.﹣10 B.﹣9 C.10 D.9

11.若关于 x 的不等式 x2+ax﹣2>0 在区间[1,5]上有解,则实数 a 的取值范围 为( A. ) B. C. (1,+∞) D.

12.已知整数的数对列如下: (1,1) , (1,2) , (2,1) , (1,3) , (2,2) , (3, 1) , (1,4) , (2,3) , (3,2) , (4,1) , (1,5) , (2,4) ,…则第 60 个数对是 ( )

A. (3,8) B. (4,7) C. (4,8) D. (5,7)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 设 0<θ< cosθ) , 向量 = (sin2θ, ,= (1 , ﹣cosθ) , 若 ? =0, 则 tanθ= .

14.已知点 x,y 满足不等式组 范围是 .

,若 ax+y≤3 恒成立,则实数 a 的取值

15.已知 a,b,μ∈(0,+∞)且 + =1,则使得 a+b≥μ 恒成立的 μ 的取值范 围是 . .

16.已知数列{an}满足 a1=0,a2=1,an+2=3an+1﹣2an,则{an}的前 n 项和 Sn=

三、解答题(本大题共 6 小题,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演 算步骤) 17.已知不等式 mx2﹣2x﹣m+1<0. (1)若对于所有的实数 x,不等式恒成立,求 m 的取值范围; (2)设不等式对于满足|m|≤2 的一切 m 的值都成立,求 x 的取值范围. 18.求证: (1)a2+b2+c2≥ab+bc+ac (2) (ac+bd)2≤(a2+b2) (c2+d2)
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19.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn= (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

﹣1(n∈N*) .

(Ⅱ)在数列{bn}中,b1=5,bn+1=bn+an,求数列{bn}的通项公式. 20 . 设 △ ABC 的 三 个 内 角 A , B , C 所 对 的 边 分 别 为 a , b , c , 且 满 足 . (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 ,试求 的最小值.

21.设数列{an}满足 an+1=an2﹣nan+1(n∈N*) (1)当 a1=2 时,求 a2、a3、a4,并由此猜想出 an 的一个通项公式; (2)当 a1≥2 时,证明:对? n∈N*,有 an≥n+1. 22.祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来,在 11 个省区设立了海峡两岸农业 合作试验区和台湾农民创业园,台湾农民在那里申办个体工商户可以享受 “绿色 通道”的申请、受理、审批一站式服务,某台商在第一年初到大陆创办一座 120 万元的蔬菜加工厂 M,M 的价值在使用过程中逐年减少,从第二年到第六年, 每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元;从第七年开始,每年初 M 的价值为年 初的 75%. (1)求第 n 年初 M 的价值 an 的表达式; (2)设 An= ,若 An 大于 80 万元,则 M 继续使用,否则须在第 n

年初对 M 更新,证明:必须在第九年初对 M 更新.

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2016-2017 学年河北省衡水市故城高中高三(上)第二次 月考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知等差数列{an}中,a2=5,a4=11,则前 10 项和 S10=( A.55 B.155 C.350 D.400 【考点】等差数列的前 n 项和. 【分析】根据已知等差数列{an}中,a2=5,a4=11,我们易构造出基本量(首项与 公差)的方程组,解方程组后,即可得到首项与公差,代入等差数列前 n 项和公 式,即可得到答案. 【解答】解:∵等差数列{an}中,a2=5,a4=11, a1+d=5,a1+3d=11, 解得 a1=2,d=3, 则 S10=2×10+ 故选 C =155 )

2.已知向量 =(4,2) , =(x,3) ,且 ∥ ,则 x 等于( A.9 B.6 C.5 D.3



【考点】平行向量与共线向量. 【分析】利用向量共线定理即可得出. 【解答】解:∵ 故选 B. ,∴2x﹣12=0,解得 x=6.

3.若实数 a,b 满足 a+b=2,则 3a+3b 的最小值是( A.18 B.6 C.2 D.2
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【考点】基本不等式. 【分析】先判断 3a 与 3b 的符号,利用基本不等式建立关系,结合 a+b=2,可求 出 3a+3b 的最小值 【解答】解:由于 3a>0,3b>0, 所以 3a+3b = = =6.当且仅当 3a=3b,a=b,即 a=1,b=1 时取得最小值. 故选 B

4. 已知 D 为△ABC 的边 BC 上的中点, △ABC 所在平面内有一点 P, 满足 =0,则 A. B. 等于( C.1 ) D.2

+

+

【考点】向量加减混合运算及其几何意义. 【分析】由于 D 为△ABC 的边 BC 的中点,可得 = ,可得 =2 .即可得出答案. =2 .由于满足 + +

【解答】解:由于 D 为 BC 边上的中点, 因此由向量加法的平行四边形法则,易知 即2 ﹣( + + )=2 + + = =2 . =2 ,

因此结合

= 即得:

因此易得 P,A,D 三点共线且 D 是 PA 的中点, 所以 故选:C =1.

5.数列{(﹣1)n(2n﹣1)}的前 2 016 项和 S2016 等于( A.﹣2 016 B.2 016 C.﹣2 015 D.2 015
第 5 页(共 18 页)



【考点】数列的求和. 【分析】由相邻两项之和为 2,可求和 【解答】 解析 016.故选 B. S2016=﹣1+3﹣5+7+…﹣ =2×1008=2 (2×2 015﹣1) + (2×2 016﹣1)

6.若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是( A. B. C.5 D.6



【考点】基本不等式在最值问题中的应用. 【分析】将 x+3y=5xy 转化成 =1,然后根据 3x+4y=( ) (3x+4y) ,

展开后利用基本不等式可求出 3x+4y 的最小值. 【解答】解:∵正数 x,y 满足 x+3y=5xy, ∴ =1 ) (3x+4y)= + + = 时取等号 + ≥ +2 =5

∴3x+4y=( 当且仅当 ∴3x+4y≥5

即 3x+4y 的最小值是 5 故选:C

7.如果实数 x、y 满足 值 3,那么实数 k 的值为( A.2 B.﹣2 C. )

,目标函数 z=kx+y 的最大值为 12,最小

D.不存在

【考点】简单线性规划. 【分析】先画出可行域,得到角点坐标.再通过对斜率的分类讨论得到最大最小 值点,与原题相结合即可得到答案. 【解答】解:可行域如图:得:A(1,4.4) ,B(5,2) ,C(1,1) .

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所以:l1:x﹣4y+3=0 的斜率 k1= ;L2:3x+5y﹣25=0 的斜率 k2=﹣ . ①当﹣k∈(0, )时,C 为最小值点,A 为最大值点; ②当﹣k> 时,C 为最小值点,A 为最大值点, ; ③当﹣ <﹣k<0 时,C 为最小值点,A 为最大值点, ; ④当﹣k<﹣ 时,C 为最小值点,B 为最大值点, 由④得 k=2,其它情况解得不符合要求. 故 k=2. 故选:A.

8. 设函数 f (x) 满足 A.95 B.97 C.105 D.192

=2, (n∈N*) , 且f (1) 则f (20) 为 (



【考点】数列递推式;数列的函数特性. 【分析】由已知, f(20)即可求. 【解答】解:∵ ,化简整理得, , ,即 ,可用叠加法求 f(n) ,



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(n≥2) 以上各式叠加得, ∴ ∴ 故选 B 且对 n=1 也适合.

9.已知向量 =(cosθ,sinθ) ,向量 =( 值分别是( A.4 ) C.16,0

,﹣1)则|2 ﹣ |的最大值,最小

,0 B.4,4

D.4,0

【考点】平面向量数量积的运算;三角函数的最值. 【分析】先表示 2 ﹣ ,再求其模,然后可求它的最值. 【解答】解:2 ﹣ =(2cosθ﹣ |2 ﹣ |= = 故选 D. ,最大值为 4,最小值为 0. ,2sinθ+1) ,

10.数列 an=

,其前 n 项之和为 )

,则在平面直角坐标系中,直线(n+1)

x+y+n=0 在 y 轴上的截距为( A.﹣10 B.﹣9 C.10 D.9

【考点】数列与解析几何的综合. 【分析】由题意因为数列 an= ,其前 n 项之和为 ,有数列通项的特点

利用裂项相消得方法得到 n 的方程解出 n 的值是直线(n+1)x+y+n=0 的方程具 体化,再利用直线在 y 轴上的截距求出所求. 【解答】解:因为数列{an}的通项公式为 + =1﹣ = +…+ = ,
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且其前 n 项和为:

∴n=9, ∴直线方程为 10x+y+9=0. 令 x=0,得 y=﹣9, ∴在 y 轴上的截距为﹣9. 故选 B

11.若关于 x 的不等式 x2+ax﹣2>0 在区间[1,5]上有解,则实数 a 的取值范围 为( A. ) B. C. (1,+∞) D.

【考点】一元二次不等式的解法. 【分析】结合不等式 x2+ax﹣2>0 所对应的二次函数的图象,列式求出不等式 x2+ax﹣2>0 在区间[1,5]上无解的 a 的范围,由补集思想得到有解的实数 a 的 范围. 【解答】解:令函数 f(x)=x2+ax﹣2, 若关于 x 的不等式 x2+ax﹣2>0 在区间[1,5]上无解, 则 ,即 ,解得 . ,

5]上有解的 a 的范围是 所以使的关于 x 的不等式 x2+ax﹣2>0 在区间[1, ( +∞) . 故选 A.

12.已知整数的数对列如下: (1,1) , (1,2) , (2,1) , (1,3) , (2,2) , (3, 1) , (1,4) , (2,3) , (3,2) , (4,1) , (1,5) , (2,4) ,…则第 60 个数对是 ( )

A. (3,8) B. (4,7) C. (4,8) D. (5,7) 【考点】归纳推理. 【分析】根据括号内的两个数的和的变化情况找出规律,然后找出第 60 对数的 两个数的和的值以及是这个和值的第几组,然后写出即可. 【解答】解: (1,1) ,两数的和为 2,共 1 个,
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(1,2) , (2,1) ,两数的和为 3,共 2 个, (1,3) , (2,2) , (3,1) ,两数的和为 4,共 3 个, (1,4) , (2,3) , (3,2) , (4,1) ,两数的和为 5,共 4 个 … ∵1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55, ∴第 60 个数对在第 11 组之中的第 5 个数,从而两数之和为 12,应为(5,7) . 故选 D.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.设 0<θ< . 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】由条件利用两个向量的数量积公式求得 2sinθcosθ﹣cos2θ=0,再利用同 角三角函数的基本关系求得 tanθ 【解答】解:∵ =sin2θ﹣cos2θ=2sinθcosθ﹣cos2θ=0,0<θ< , ,向量 =(sin2θ,cosθ) , =(1,﹣cosθ) ,若 ? =0,则 tanθ=

∴2sinθ﹣cosθ=0,∴tanθ= , 故答案为: .

14.已知点 x,y 满足不等式组 范围是 (﹣∞,3] .

,若 ax+y≤3 恒成立,则实数 a 的取值

【考点】简单线性规划. 【分析】画出不等式满足的平面区域,由 ax+y≤3 恒成立,结合图形确定出 a 的 范围即可. 【解答】解:满足不等式组 的平面区域如右图所示,

由于对任意的实数 x、y,不等式 ax+y≤3 恒成立,

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根据图形,可得斜率﹣a≥0 或﹣a>kAB= 解得:a≤3, 则实数 a 的取值范围是(﹣∞,3]. 故答案为: (﹣∞,3].

=﹣3,

15.已知 a,b,μ∈(0,+∞)且 + =1,则使得 a+b≥μ 恒成立的 μ 的取值范 围是 0,16 .

【考点】基本不等式. 【分析】先利 + =1,使 a+b=(a+b) ( + )展开后利用均值不等式求得 a+b 的最小值,进而根据 a+b≥μ 恒成立求得 μ 的取值范围 【解答】解:∵a,b∈(0,+∞)且 + =1, ∴a+b=(a+b) ( + )=10+( ∴a+b 的最小值为 16. ∴要使 a+b≥μ 恒成立,需 16≥μ,∴0<μ≤16. 故答案为: (0,16] + )≥10+2 =16,

16.已知数列{an}满足 a1=0,a2=1,an+2=3an+1﹣2an,则{an}的前 n 项和 Sn= ﹣n﹣1 .

2n

【考点】数列的求和;数列的概念及简单表示法. 【分析】由 a1=0,a2=1,an+2=3an+1﹣2an,可得 an+2﹣an+1=2(an+1﹣an) ,利用等比 数列的通项公式可得 an﹣an﹣1,再利用“累加求和”即可得到 an,再利用等比数列 的前 n 项和公式即可得出 Sn.
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【解答】解:由 a1=0,a2=1,an+2=3an+1﹣2an, 可得 an+2﹣an+1=2(an+1﹣an) , ∴数列{an+1﹣an}是以 a2﹣a1=1 为首项,2 为公比的等比数列, ∴ (n≥2) .

∴an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1)+a1 =2n﹣2+2n﹣3+…+2+1+0 = =2n﹣1﹣1.

∴Sn=(1+2+22+…+2n﹣1)﹣n = =2n﹣n﹣1. .

故答案为:2n﹣n﹣1.

三、解答题(本大题共 6 小题,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演 算步骤) 17.已知不等式 mx2﹣2x﹣m+1<0. (1)若对于所有的实数 x,不等式恒成立,求 m 的取值范围; (2)设不等式对于满足|m|≤2 的一切 m 的值都成立,求 x 的取值范围. 【考点】一元二次不等式的应用. 【分析】 (1)当 m=0 时,经检验不满足条件;解得 m≠0 时,设 f(x)=mx2﹣ 2x﹣m+1,则由题意可得有 ,解得 m∈?.综合可得结论.

g m) = m+ (2) 由题意﹣2≤m≤2, 设( (x2﹣1) (1﹣2x) , 则由题意可得 由此求得 x 的取值范围. 【解答】解: (1)当 m=0 时,1﹣2x<0,即当 件.…



时不等式恒成立,不满足条

解得 m ≠ 0 时,设 f ( x ) =mx2 ﹣ 2x ﹣ m+1 ,由于 f ( x )< 0 恒成立,则有

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,解得 m∈?. 综上可知,不存在这样的 m 使不等式恒成立.… (2)由题意﹣2≤m≤2,设 g(m)=(x2﹣1)m+(1﹣2x) ,则由题意可得 g(m) <0,故有 ,

即 所以 x 的取值范围为

,解之得

, . …

18.求证: (1)a2+b2+c2≥ab+bc+ac (2) (ac+bd)2≤(a2+b2) (c2+d2) 【考点】不等式的基本性质. 【分析】 (1)利用做差法证明不等式的大小即可; (2)利用做差法和平方差公式即可证明不等式成立. 【解答】证明: (1)∵a2+b2+c2﹣(ab+bc+ac) = [(a﹣b)2+(b﹣c)2+(a﹣c)2]≥0,

∴a2+b2+c2≥ab+bc+ac; (2)∵(a2+b2) (c2+d2)﹣(ac+bd)2 =a2c2+a2d2+b2c2+b2d2﹣a2c2﹣2acbd﹣b2d2 =(ad﹣bc)2≥0, ∴(ac+bd)2≤(a2+b2) (c2+d2) .

19.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn= (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

﹣1(n∈N*) .

(Ⅱ)在数列{bn}中,b1=5,bn+1=bn+an,求数列{bn}的通项公式. 【考点】数列递推式;数列的求和.
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【分析】 ( I)当 n=1 时,

, a1=2 .当 n ≥2 时,∵



,由此得 an=3an﹣1,从而能够得到数列{an}的通项公式. b3=b2+2×3, b2=b1+2×30, (II) 由 bn+1=bn+an, 得 bn=bn﹣1+2?3n﹣2, 相加得 bn=b1+2 ×(3n﹣2+…+3+30)=5+ 【解答】解: (I)当 n=1 时, 当 n≥2 时,∵ ② ①﹣②得: ,即 an=3an﹣1, ① ,由此能求出数列{bn}的通项公式. ,∴a1=2.

∴数列{an}是首项为 2,公比为 3 的等比数列. ∴an=2×3n﹣1. (II)∵bn+1=bn+an, ∴当 n≥2 时,bn=bn﹣1+2?3n﹣2, b3=b2+2×3, b2=b1+2×30, 相加得 bn=b1+2×(3n﹣2+…+3+30) =5+ .

(相加,求和,结果 1 分) 当 n=1 时,31﹣1+4=5=b1, ∴bn=3n﹣1+4.

20 . 设 △ ABC 的 三 个 内 角 A , B , C 所 对 的 边 分 别 为 a , b , c , 且 满 足 . (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 ,试求 的最小值.

【考点】平面向量数量积的运算;正弦定理;余弦定理.
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【分析】 (1)根据题目中所给的向量的数量积写出数量积的公式,得到关于三角 形边和角的等式关系,根据正弦定理把变化为角,逆用两角和的正弦公式,得到 角 B 的余弦值,根据角的范围写出角. (2)本题要求向量的数量积的最值,而这两个向量的夹角是上一问求出的 B, 在表示向量数量积时,只有两边之积是一个变量,因此要表示出两边之积,根据 余弦定理和基本不等式得到 ac 的范围,得到结果. 【解答】解: (Ⅰ)∵ ∴(2a+c)accosB+cabcosC=0, 即(2a+c)cosB+bcosC=0, 则(2sinA+sinC)cosB+sinBcosC=0 ∴2sinAcosB+sin(C+B)=0, 即 , ,

B 是三角形的一个内角, ∴ (Ⅱ)∵ ∴12=a2+c2+ac≥3ac,即 ac≤4 ∴ 即 = 的最小值为﹣2 , ,

21.设数列{an}满足 an+1=an2﹣nan+1(n∈N*) (1)当 a1=2 时,求 a2、a3、a4,并由此猜想出 an 的一个通项公式; (2)当 a1≥2 时,证明:对? n∈N*,有 an≥n+1. 【考点】数学归纳法;数列递推式. 【分析】 (1)由 a1=2,an+1=an2﹣nan+1,把 n=1,2,3 分别代入可求 a2,a3,a4 的值,归纳数列中每一项的值与序号的关系,我们可以归纳推理出 an 的一个通 项公式. (2)an≥n+1 的证明可以使用数学归纳法,先证明 n=1 时不等式成立,再假设 n=k 时不等式成立,进而论证 n=k+1 时,不等式依然成立,最终得到不等式 an
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≥n+1 恒成立. 【解答】解: (1)由 a1=2,得 a2=a12﹣a1+1=3 由 a2=3,得 a3=a22﹣2a2+1=4 由 a3=4,得 a4=a32﹣3a3+1=5 故猜想 an=n+1; (2)用数学归纳法证明: ①当 n=1 时,a1≥2=1+1,不等式成立. ②假设当 n=k 时不等式成立,即 ak≥k+1, 那么 ak+1=ak(ak﹣k)+1≥(k+1) (k+1﹣k)+1=k+2. 也就是说,当 n=k+1 时,ak+1≥(k+1)+1 据①和②,对于所有 n≥1,有 an≥n+1.

22.祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来,在 11 个省区设立了海峡两岸农业 合作试验区和台湾农民创业园,台湾农民在那里申办个体工商户可以享受 “绿色 通道”的申请、受理、审批一站式服务,某台商在第一年初到大陆创办一座 120 万元的蔬菜加工厂 M,M 的价值在使用过程中逐年减少,从第二年到第六年, 每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元;从第七年开始,每年初 M 的价值为年 初的 75%. (1)求第 n 年初 M 的价值 an 的表达式; (2)设 An= ,若 An 大于 80 万元,则 M 继续使用,否则须在第 n

年初对 M 更新,证明:必须在第九年初对 M 更新. 【考点】数列的应用;数列的函数特性. 【分析】 (1)根据题意,当 n≤6 时,数列{an}是一个等差数列,当 n≥7 时,数 列{an}中从 a6 开始的项构成一个等比数列,分别确定它们的首项和公差,公差, 写出通项公式,然后进行合并即可. (2)先对 n 进行公类,表示出 An,利用数列的单调性质确定其最佳项,并与 80 比较大小,确定 n 的值. 【解答】解: (1)当 n≤6 时,数列{an}是首项为 120,公差为﹣10 的等差数列, 故 an=120﹣10(n﹣1)=130﹣10n,
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当 n≥7 时,数列{an}从 a6 开始的项构成一个以 a6=130﹣60=70 为首项,以 为 公比的等比数列, 故 ,

∴第 n 年初 M 的价值 an=



(2)设 Sn 表示数列{an}的前 n 项和,由等差数列和等比数列的求和公式,得: 当 1≤n≤6 时,Sn=120n﹣5n(n﹣1) , =120﹣5(n﹣1)=125﹣5n, 当 n≥7 时,由于 S6=570, 故 Sn=570+(a7+a8+…+an) =570+70× =780﹣210× = , ,

∵{an}是递减数列,∴{An}是递减数列, ∵ ≈82.734>80,

≈76.823<80, 所以必须在第九年初对 M 更新.

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2017 年 2 月 5 日

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