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2014届高三人教A版数学(理)一轮复习课件:选修4-4 第2节 参数方程


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自 主 落 实 · 固 基 础

第二节

参数方程

高 考 体 验 · 明 考 情

典 例 探 究 · 提 知 能

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1.曲线的参数方程 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意 一点的坐标(x,y)都是某个变数t的函数
?x=f(t) ? ? ?y=g(t) ?

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,并

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且对于t的每一个允许值,由这个方程组所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上,那么这个方程组就叫做这条 曲线的_________,联系变数x,y的变数t叫做______. 参数方程 参变数

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2.参数方程与普通方程的互化 参数 通过消去________从参数方程得到普通方程,如 果知道变数x,y中的一个与参数t的关系,例如x= f(t),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关 系y=g(t),那么
?x=f(t) ? ? ?y=g(t) ?

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就是曲线的参数方程.在

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参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范 围保持一致.
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3.直线、圆、椭圆的参数方程

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1.过M0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程
?x=x +tcos ? 0 ? 为 ?y=y0+tsin ?

α, (t为参数).参数t的几何意义是什 α

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么?

【提示】
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t的几何意义是:表示直线l上以定点

→ M0为起点,任一点M(x,y)为终点的有向线段 M0M 的 数量.

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x2 y2 2.对于椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)的参数方程 a b
?x=acos ? ? ?y=bsin ?

θ , (θ为参数),θ是椭圆上的点与原点连线 θ

的倾斜角吗?
【提示】 不是.如图所示,是点P对应的圆半径OA(或 OB)的倾斜角,称为点P的离心角.

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1.(人教A版教材习题改编)将参数方程
?x=2+sin2θ ? ? ?y=sin2θ ?

, (θ为参数)化为普通方程为________.

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【解析】
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将sin2θ=y代入x=2+sin2θ得y=x-2,

又0≤sin2θ≤1,得2≤x≤3.
【答案】 y=x-2(2≤x≤3)
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2.(2013· 广西四校联考)极坐标方程ρ=cos
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θ 和
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参数方程

?x=-1-t, ? ? ?y=2+3t ?

(t为参数)所表示的图形分别是

________.

【解析】 ∵ρ=cos θ,∴ρ2=ρcos θ, ∴x2+y2=x,即x2-x+y2=0表示圆, ∵
?x=-1-t, ? ? ?y=2+3t, ?

消t后,得3x+y+1=0,表示直
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线.
【答案】 圆与直线





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3.(2013· 汕头质检)在平面直角坐标系xOy中,直
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?x=t, ? 线l的参数方程为 ? (参数t∈R),圆C的参数方程 ?y=t+1 ?



?x=cos ? ? ?y=sin ?

θ +1, (参数θ∈[0,2π )),则圆心C到直 θ

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线l的距离是________.
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【解析】 直线l的普通方程为y=x+1,即x-y +1=0圆的普通方程为(x-1)2+y2=1,圆心为(1, 0), |1-0+1| ∴圆心C到直线l的距离为 = 2. 2
【答案】
菜 单

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2

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4.(2012· 广东高考)在平面直角坐标系xOy中,曲
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线C1和C2的参数方程分别为
?x= ? ? ?y= ?

?x=t, ? ? ?y= t ?

(t为参数)和

2cos θ , 2sin θ

(θ为参数),则曲线C1与C2的交点坐标

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为________.
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【解析】 C1的普通方程为y2=x(x≥0,y≥0), C2的普通方程为x2+y2=2.
?y2=x,x≥0,y≥0 ?x=1, ? ? 由? 2 2 得? ?x +y =2 ?y=1. ? ?
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∴C1与C2的交点坐标为(1,1).

【答案】


(1,1)


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在方程

?x=a+tcos ? ? ?y=b+tsin ?

θ , (a,b为正常数)中,当t θ

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为常数,θ为参数时,方程表示的曲线是________.
【思路点拨】 消去参数,化为普通方程,再根据普通
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方程判断曲线类型.





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【尝试解答】

?x=a+tcos ? 由? ?y=b+tsin ?

θ, θ. ②



(1)当t为非零常数时, ?x-a ? =cos θ, ③ ? t 原方程组为? ?y-b ? t =sin θ. ④ ? (x-a)2 (y-b)2 ③2+④2得 + =1, t2 t2 即(x-a)2+(y-b)2=t2,它表示一个圆.

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(2)当t=0时,表示点(a,b).
【答案】


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点(a,b)或圆(x-a)2+(y-b)2=t2


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1.将参数方程化为普通方程,消参数常用代入法与
加减消元法,第(2)问中利用了三角恒等变换消去参数. 2.把参数方程化为普通方程时,要注意哪一个量是 参数,以及参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的 影响.

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(2013· 佛山模拟)已知两曲线参数方程分别为 5 ? ?x= 5cos θ , ?x= t2, ? 4 ? (0≤θ<π )和? (t∈R),它们的 ?y=sin θ ? ?y=t ? 交点坐标为________.
【解析】
?x= 5cos ? 由? ?y=sin θ ?

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θ,

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x2 2 (0≤θ<π)得 +y 5
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=1(y≥0). 5 ? ?x= t2, 5 2 4 由? (t∈R)得x= y , 4 ?y=t ?





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5 2 x2 2 把x= y 代入 +y =1(y≥0)中, 4 5 4 4 2 2 所以5y +16y -16=0,解得y = , 5 5 2 则x= y =1,又y≥0, 4 2 5 故交点坐标为(1, ). 5

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【答案】

2 5 (1, ) 5

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π 已知直线l经过点A(1,2),倾斜角为 . 3 (1)则直线l的参数方程是________; (2)直线l和圆x2+y2=9的两个交点到点A的距离之 积为________.
【思路点拨】 由题设条件,求直线l的参数方程,进

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一步利用参数t的几何意义求解.
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π 【尝试解答】 (1)∵直线l的倾斜角α= , 3 1 3 ∴cos α= ,sin α= , 2 2 又直线l过点A(1,2),
菜 单

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1 ? ?x=1+2t, 因此l的参数方程为? (t为参数). ?y=2+ 3t 2 ? t ? ?x=1+2, (2)将? 代入x2+y2=9,得 ?y=2+ 3t, 2 ? t2+(1+2 3)t-4=0,∴t1t2=-4. 由参数t的几何意义得直线l和圆x2+y2=9的两个 交点到点A的距离之积为|t1t2|=4.

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【答案】

1 ? ?x=1+2t, (1)? (t为参数) (2)4 3 ?y=2+ t 2 ?

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1.涉及过定点的线段长度或距离常选用直线的 参数方程.(1)直线的点斜式方程为y-y0=k(x-x0), 其中k=tan α (α≠90°).(2)α为直线的倾斜角,则参
?x=x +tcos α ? 0 ? 数方程为 ?y=y0+tsin α ?

, (t为参数).

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?x=x +at, ? 0 ? 2.对于形如 (t为参数)的参数方程, ?y=y0+bt ?
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当a2+b2≠1时,应先化为标准形式后才能利用t的几 何意义解题.

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π 直线l过点M0(1,5),倾斜角是 ,且与直线x-y 3 -2 3=0交于M,则|MM0|的长为________.
【解析】 由题意知,直线l的参数方程是 ? ?x=1+tcosπ, ?x=1+ t , ? 2 3 ? ? 即? π ? ?y=5+ 3t. ?y=5+tsin 3 , ? 2 ? 代入直线x-y-2 3=0,得 t 3 1+ -(5+ t)-2 3=0,∴t=-10-6 3. 2 2 由t的几何意义,知|MM0|=|t|=10+6 3.
菜 单

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【答案】

10+6 3

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已知曲线C1:
?x=8cos ? ? ?y=3sin ?

?x=-4+cos ? ? ?y=3+sin t ?

t,

(t为参数),C2:

θ , (θ为参数).若C1上的点P对应的参数为t θ ,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3:

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π 2

?x=3+2t, ? ? (t为参数)距离的最小值为________. ?y=-2+t ?

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【思路点拨】
值.

将直线的参数方程化为普通方程,根据

点到直线的距离公式得到关于θ的函数,转化为求函数的最

【尝试解答】

当t=

π 2

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时,P(-4,4);且

Q(8cos θ,3sin θ),
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3 故M(-2+4cos θ,2+ sin θ).C3为直线x- 2 2y-7=0, 5 M到C3的距离d= |4cos θ-3sin θ-13| 5 5 = |5cos(θ+φ)-13|, 5
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4 3 从而当cos θ= ,sin θ=- 时,d取得最小值 5 5 8 5 . 5

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【答案】
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8 5 5

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1.从中看出椭圆的参数方程在解题中的优越性.本
题易错点主要有:一是不能将椭圆参数方程化为普通方 程;二是对于绝对值的函数形式变形不对或认为cos(θ+φ) =-1时取最小值,从而得出错误结论. 2.题目设计的十分新颖,题目的要求就是求动点M

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的轨迹上的点到直线C3距离的最小值,这个最小值归结为 求关于参数θ的函数的最小值.
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(2011· 天津高考)已知抛物线C的参数方程为
?x=8t2, ? ? ?y=8t ?

(t为参数).若斜率为1的直线l经过抛物线C

的焦点,且与圆(x-4)2+y2=r2(r>0)相切,则r= ________. ?x=8t2, ? 【解析】 由? 得y2=8x. ?y=8t, ?
∴抛物线C的焦点坐标为F(2,0). 因此直线l的方程为y=x-2,即x-y-2=0. ∵l与圆(x-4)2+y2=r2(r>0)相切, |4-0-2| ∴r= = 2. 2

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【答案】
菜 单

2

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在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为
?x=2cos α , ? ? ?y=2+2sin α ?

(α为参数).

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→ → M是C1上的动点,P点满足 OP =2 OM ,P点的轨 迹为曲线C2. (1)曲线C2的参数方程为________; (2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标 π 系中,射线θ = 与C1的异于极点的交点为A,与C2 3 的异于极点的交点为B,线段AB的长为________.

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→ → 【思路点拨】 (1)根据 OP =2 OM ,知点M为线 段OP的中点,由代入法求曲线C2的参数方程;(2)由 π 于点A、B在射线θ= 上,分别求点A、B的极径,进 3 而确定|AB|的大小.
【尝试解答】 OP的中点. → → (1)由 OP =2 OM 知,点M是线段

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x y 设点P(x,y),则M( , ), 2 2
?x=2cos α, ? ∵点M在曲线C1:? 上, ?y=2+2sin α, ?

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?x ?2=2cos α, ∴? ?y =2+2sin α. ?2
?x=4cos α, ? 则? ?y=4+4sin α. ?

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从而曲线C2的参数方程为 数).

?x=4cos α, ? ? ?y=4+4sin α ?

(α为参

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(2)曲线C1的极坐标方程为ρ=4sin θ; 曲线C2的极坐标方程为ρ=8sin θ. π π ∴射线θ= 与C1的交点A的极径ρ1=4sin , 3 3 π π 射线θ= 与C2的交点B的极径ρ2=8sin . 3 3 π 故|AB|=|ρ2-ρ1|=4sin =2 3. 3
?x=4cos α , ? (1)? ?y=4+4sin α ?

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【答案】

(α为参数)

(2)2 3

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1.第(1)问中关键是搞清点P与点M的关系.第(2)
问利用极坐标方程求两点间的距离,要注意两点:(1) 准确把曲线C1,C2化为极坐标方程;(2)认真理解极径 的意义. 2.本题将极坐标与参数方程交织在一起,考查 逻辑思维能力及运算求解能力.善于将各类方程相互

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转化是求解该类问题的前提.

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(2013· 深圳模拟)在直角坐标系xOy中,曲线C1的 参数方程为
?x=cos α , ? ? ?y=1+sin α ?

(α为参数),在极坐标系(与

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直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极 点,以x轴正半轴为极轴)中,曲线C2的方程为ρ(cos θ -sin θ )+1=0,则C1与C2的交点个数为 ________.

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【解析】

∵曲线C1的参数方程为

?x=cos α, ? ? ?y=1+sin α, ?

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∴曲线C1 的普通方程为x2 +(y-1)2 =1,且圆心C1(0,
1). ∵曲线C2的方程为ρ(cos θ-sin θ)+1=0, ∴曲线C2的普通方程为x-y+1=0. ∵直线x-y+1=0经过圆x2+(y-1)2=1的圆心(0,1).

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∴曲线C1与C2相交 ,有2个交点. 【答案】 2

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在解决参数方程和极坐标方程问题时,常将各类方程相

互转化以方便求解.

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将参数方程化为普通方程时,要注意参数的取值范围
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对普通方程中x,y的取值范围的影响.
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设过点M(x0,y0)的直线l交曲线C于A、B两 点,若直线的参数方程为
?x=x +tcos ? 0 ? ?y=y0+tsin ?

α, (t为参数) α

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注意两个结论的应用(1)|AB|=|t1-t2|;(2)|MA|· |MB|= |t1·t2|.
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从近两年新课标高考命题看,考查的主要内容是参 数方程与普通方程的互化,常见曲线的参数方程及参数

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方程的简单应用,难度以中低档题目为主,预计2014年
高考中,考查难度及知识点变化不大,保持稳定.

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规范解答之二十一

极坐标方程与参数方程的求解方法

(10分)(2012·辽宁高考)在直角坐标系xOy中,圆C1:

x2+y2=4,圆C2:(x-2)2+y2=4.
(1)在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分 别写出圆C1,C2的极坐标方程,并求出圆C1,C2的交点坐标

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(用极坐标表示); (2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程.
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【规范解答】 (1)圆C1的极坐标方程为ρ=2, 圆C2的极坐标方程为ρ=4cos θ.3分
?ρ=2, ? 解? ?ρ=4cos ?

π 得ρ=2,θ=± , 3 θ

π π 故圆C1与圆C2交点的坐标为(2, ),(2,- ).5 3 3 分 注:极坐标系下点的表示不唯一.

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(2)由

?x=ρcos ? ? ?y=ρsin ?

θ, 得圆C1与C2交点的直角坐标 θ

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分别为(1, 3),(1,- 3).7分





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故圆C1与C2的公共弦的参数方程为 ≤t≤ 3.
?x=1, ? (或参数方程写成? - ?y=y, ?

?x=1, ? ? ?y=t, ?

- 3

3≤y≤ 3)10分

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【解题程序】 化为极坐标方程;
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第一步:把圆C1,圆C2的直角坐标方程

第二步:联立方程组求圆C1与圆C2的交点极坐标;
第三步:根据极坐标与直角坐标的互化公式求交点的直

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角坐标;
第四步:寻找参数写出参数方程.
菜 单

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易错提示:(1)在求圆C1与圆C2的交点极坐标时,运算失

误导致错误结果.
(2)求圆C1与圆C2的公共弦的参数方程时,找不到参数, 无法写出参数方程. 防范措施:(1)在求极坐标时,求极角是关键,根据三

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角函数值求极角时,极角的范围可选择[0,2π)或(-π,π],

若极角没有限制,一般有两个结果.
(2)求直线的参数方程时,若找不到合适的参数,可按 照求直线参数方程的标准式的方法来求解.
菜 单

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?x=2+t, ? 1.(2012· 北京高考)直线 ? (t为参数)与曲 ?y=-1-t ? ?x=3cos ? 线? ?y=3sin ?

α, (α为参数)的交点个数为________. α ?x=2+t, ? 【解析】 将 ? 消去参数t得直线x+y- ?y=-1-t ?

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?x=3cos ? 1=0;将 ? ?y=3sin ?

α, 消去参数α得圆x2+y2=9.又圆 α

2 心(0,0)到直线x+y-1=0的距离d= <3. 2 因此直线与圆相交,故直线与曲线有2个交点.

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【答案】


2


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2.(2012· 湖南高考)在直角坐标系xOy中,已知曲
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线C1:

?x=t+1, ? ? ?y=1-2t ?

(t为参数)与曲线C2:

?x=asin ? ? ?y=3cos ?

θ , θ

(θ为参数,a>0)有一个公共点在x轴上,则a= ________. ?x=t+1, ? 【解析】 ∵? 消去参数t得2x+y-3= ?y=1-2t, ?
0.
?x=asin ? 又? ?y=3cos ?

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θ, x2 y2 消去参数θ得 2+ =1. a 9 θ,

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3 方程2x+y-3=0中,令y=0得x= , 2
菜 单

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3 x2 y2 9 将( ,0)代入 2+ =1,得 2=1. 2 a 9 4a 3 又a>0,∴a= . 2

【答案】

3 2

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课后作业(七十六)

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【创新设计】2015高考数学(人教A版,理)一轮复习配套讲义:选修4-4 第2参数方程_高考_高中教育_教育专区。第2讲 [最新考纲] 1.了解参数方程,了解参数的意...


【创新设计】2014高考数学人教A版(通用版_理)一轮复习讲义:选修4-4_坐标系与参数方程

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2013高考数学(理)一轮复习教案选修4-4 坐标系与参数方程第2讲 参数方程

本资料来自于资源最齐全的21世纪教育网 www.21cnjy.com 第2讲【2013 高考会这样考】 参数方程 考查直线、圆和圆锥曲线的参数方程以及简单的应用问题. 【复习...


2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业 选修4-4 坐标系与参数方程章末高频考点

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吉林省东北师范大学附属中学2016届高三上学期理科数学第一轮复习阶段测试卷(第2周)

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高中数学人教版A版选修4-4一轮教学设计: 坐标系与参数方程第2课时 参 数 方 程

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河南省2014届高三理科数学一轮复习试题选编21:坐标系与参数方程 Word版含答案]

河南省 2014 届高三理科数学一轮复习试题选编 21:坐标系与参数方程一、解答题 1 . (河南省开封市 2013 届高三第二次质量检测数学(理)试题)选修 44:坐标系...


海南省洋浦中学2010届高三数学理科第一轮复习《选修4-4坐标系与参数方程》测试题(5套)

海南省洋浦中学2010届高三数学理科第一轮复习选修4-4坐标系与参数方程》测试题(5套) 海南省洋浦中学2010届高三数学理科第一轮复习选修4-4坐标系与参数方程》...

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