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选修2-3 排列组合(一)讲义


金牌数学高二(选修 2—3)专题系列之

计数原理(一)

1、分类计数原理:完成一件事有几类方法,各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法(每一种都可以独立 的完成这个事情) 分步计数原理:完成一件事,需要分几个步骤,每一步的完成有多种不同的方法 2、排列 排列定义:从 n 个不同元素中,任取 m( m ≤ n )个元素(被取出的元素各不相同) ,按照一定的顺序排成 一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。 排列数定义:从 n 个不同元素中,任取 m ( m ≤ n )个元素的所有排列的个数

A

m n

公式

A

m n

=

n! 规定 0 ! =1 (n ? m)!

3、组合 组合定义 从 n 个不同元素中,任取 m ( m ≤ n )个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 一个组合 组合数 从 n 个不同元素中,任取 m ( m ≤ n )个元素的所有组合个数

C

m n

C

m n

=

n! m !(n ? m)!

性质:

C =C
n

m

n?m n

C

m n ?1

?

C? C
n

m

? m 1 n

题型一:选择题 例 1.【2015 高考四川,理 6】用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其中比 40000 大的偶数 共有( A.144 个
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) B.120 个 C.96 个 D.72 个
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拓展变式练习 1.【2014 年重庆卷(理 09) 】某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序, 则同类节目不相邻的排法种数是( A.72 B.120 ) C.144 D.3

2.【2014 年辽宁卷(理 06) 】6 把椅子摆成一排,3 人随机就座,任何两人不相邻的做法种数为( A.144 B.120 C.72 D.24



3.【2014 年全国大纲卷(05) 】有 6 名男医生、5 名女医生,从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组, 则不同的选法共有( A.60 种 ) B.70 种 C.75 种 D.150 种

4.【重庆理科 9】某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班,每天安排 1 人,每人值班 1 天,若 7 位员工中的甲、 乙排在相邻两天,丙不排在 10 月 1 日,丁不排在 10 月 7 日,则不同的安排方案共有( A.504 种 B.960 种 C.1008 种 )

D.1108 种

题型二 :填空题 例 2.【2015 高考广东,理 12】某高三毕业班有 40 人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全 班共写了 条毕业留言. (用数字作答)

拓展变式练习 1.【2015 高考上海,理 8】在报名的 3 名男教师和 6 名女教师中,选取 5 人参加义务献血,要求男、女教师都有, 则不同的选取方式的种数为 .(结果用数值表示) .

2.【2014 年浙江卷(理 14) 】在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张,其余 5 张无奖.将这 8 张奖券分配给 4 个人, 每人 2 张,不同的获奖情况有 种(用数字作答).

3.【浙江卷理】甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上,若每级台阶最多站 2 人,同一级台阶上的人不区分站的位 置,则不同的站法种数是 .(用数字作答) .

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4.【全国II】5名志愿者分到3所学校支教,每个学校至少去一名志愿者,则不同的分派方法共有

种.

5.【重庆】高三(一)班学要安排毕业晚会的 4 各音乐节目,2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目的演出顺序,要求两个 舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是 .

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.【2014 年四川卷(理 06) 】六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共 有( ) B. 216 种 C. 240 种 D. 288 种

A. 192 种

2.【2014 年北京卷(理 08) 】有语文、数学两学科,成绩评定为“优秀” “合格” “不合格”三种.若 A 同学每科成绩 不 低于 B 同学,且至少有一科成绩比 B 高,则称“ A 同学比 B 同学成绩好.”现有若干同学,他们之间没有一个人 比另一个成绩好,且没有任意两个人语文成绩一样,数学成绩也一样的.问满足条件的最多有多少学生( A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 )

3.【2014 年广东卷(理 08) 】设集合 A=

?? x , x , x , x , x ? x ?{?1, 0,1}, i ? 1, 2,3, 4,5? ,那么集合 A 中满足条件
1 2 3 4 5 i

“ 1 ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? 3 ”的元素个数为( A.60 B.90

) C.120 D.130

4.【山东卷理科 8】某台小型晚会由 6 个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位、节目乙不能排 在第一位,节目丙必须排在最后一位,该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( A.36 种 B.42 种 C.48 种 ) D.54 种

5.【全国卷 I 理科 6】某校开设 A 类选修课 3 门,B 类选择课 4 门,一位同学从中共选 3 门,若要求两类课程中各 至少选一门,则不同的选法共有( A. 30 种 ) C.42 种 D.48 种

B.35 种

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6.【北京卷理科 4】8 名学生和 2 位老师站成一排合影,2 位老师不相邻的排法种数为(
8 2 A. A8 A9 8 2 B. A8 C9 8 2 C. A8 A7 8 2 D. A8 C7



7.【四川卷理科 10】由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是( A.72 B.96 C. 108 D.144



8.【湖南卷理科 7】在某种信息传输过程中,用 4 个数字的一个排列(数字也许重复)表示一个信息,不同排列表 示不同信息,若所用数字只有 0 和 1,则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( A.10 B.11 C.12 D.15 )

9.【湖北卷理科 8】现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、 礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙、丁、戊都能胜四 项工作,则不同安排方案的种数是( A. 152 B. 126 ) C. 90 D. 54

10.【天津卷理科 10】如图,用四种不同颜色给图中的 A、B、C、D、E、F 六个点涂色,要求每个 点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色。则不同的涂色方法共有( A. 288 种 B.264 种 C. 24 0 种 )

D.168 种

二、填空题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 11.【2014 年北京卷(理 13) 】把 5 件不同产品摆成一排,若产品 A 与产品 C 不相邻,则不同的摆法有 种.

12.【江西卷文科 14】将 5 位志愿者分成 3 组,其中两组各 2 人,另一组 1 人,分赴世博会的三个不同场馆服务, 不同的分配方案有 种(用数字作答) .

13.【全国Ⅰ卷文科 15】某学校开设 A 类选修课 3 门,B 类选修课 4 门,一位同学从中共选 3 门,若要求两类 课程中各至少选一门,则不同的选法共有 种.(用数字作答)

14.【宁夏海南卷理】7 名志愿者中安排 6 人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排 3 人,则不同的安排
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方案共有

种(用数字作答) 。

15.【天津卷理】用数字 0,1,2,3,4,5,6 组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为 偶数的四位数共有 个(用数字作答)

16.【湖北】安排 5 名歌手的演出顺序时,要求某名歌手不第一个出场,另一名歌手不最后一个出场,不同排法的总 数是 .(用数字作答)

17.【湖北】某工程队有 6 项工程需要单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙必须在工程乙完 成后才能进行,有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这 6 项工程的不同排法种数是 .

18.【福建】从 4 名男生和 3 名女生中选出 3 人,分别从事三项不同的工作,若这 3 人中至少有 1 名女生,则选派方 案共有 种.

19.【湖南】某外商计划在四个候选城市投资 3 个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过 2 个,则该外商不同 的投资方案有 种.

20.【湖南】在数字 1,2,3 与符号+,-五个元素的所有全排列中,任意两个数字都不相邻的全排列个数是

.

1.【重庆卷理】将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有多少种(过程) .

2.【江苏省启东中学高三综合测试一】由 0,1,2,3,4,5 这六个数字. (1)能组成多少个无重复数字的四位数? (2)能组成多少个无重复数字的四位偶数? (3)能组成多少个无重复数字且被 25 个整除的四位数? (4)组成无重复数字的四位数中比 4032 大的数有多少个?

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课堂过手训练
姓名:_____________ 得分:_____________

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教师点评:______________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________.

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