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2013-2014高数C-试卷A--答案


课程考试标准答案和评分标准
学年学期 课程名称 课程号 上课班级 题号 题目类型 题目分值 每小题分值 一、选择题(每题 3 分,共 21 分) 一 二 三 四 五 六 七 八 1101405 2013 ~ 2014 学年第 1 学期 高等数学 C 课序号 考核方式 A/B 卷
学分(学时)

闭卷 (A )卷 4(64)

1、C

2、C

3、D

4、A

5、D

6、D

7、D

由于计算题或者解答题,方法多样,过程不一样;具体给分,改卷教师可自行把握。 下面的给分标准,可做参考。 二、计算下列极限 (每题 6 分,共 24 分).
( x ?1)( x ) x ?1

1 ? ? 1、原式= lim ?1 ? ? x?? ? 1? x ?

(2 分)

2、原式= lim 2
x ?0

1

x sin x x?x

(4 分)

= lim e
x??

x x ?1

(2 分) (2 分) (2 分)

=

1 2

(2 分)

=e
3、原式= lim ?

? x ? ln(1 ? x) ? ? x?0 ? x ln(1 ? x) ?

e? tan x ln x (2 分) 4、原式= lim ?
x?0

? 1 x2 ? = lim ? 2 2 ? x?0 ? x ?

?

ln x
1 x

(2 分)

e = lim ?
x ?0

(1 分)

=

1 2

(2 分)

= lim? e
x ?0

1 x 1 x2

(2 分) (1 分)

=1
第 1 页,共 4 页

三、计算下列导数 (共 20 分,1 题 6 分,2 题 7 分,3 题 7 分).

1、

dy 1 1 ? 2x ? 2 d x 2 x ?a 2

1? ? ?? 2 ? ?a? ? x? 1? ? ? ?x? a
2

(4 分)

?

x x ?a
2 2

?

a x x2 ? a2

(2 分)

?

x2 ? a x x2 ? a2
(1) (4 分) (1 分) (1 分) (1 分)

2、 方程两边同时对 x 求导得: y ' ? e y ? xe y y ' 当 x ? 0 时,代入原方程得: y ? 1 把 x ? 0 和 y ? 1 代入(1)式得: y' ? e 所以切线方程为: y ? ex ? 1

3、

dy dy 3t 2 ? 2t ? dt ? ? 3t 2 ? 5t ? 2 1 dx dx dt 1 ? 1? t
d y ? dx 2
2

(3 分)

d (dy

dx ? dx

)

d (dy

2 dt ? 6t ? 5 ? 6t ? 11t ? 5 dx 1 t 1? dt 1? t

dx

)

(4 分)

四、计算下列不定积分 (每题 6 分,共 12 分).

3x3 3 1 dx ? ? d ( x 4 ? 1) 1、 ? 4 4 1? x 4 1? x
3 ? l n (? 1 x 4 ?)c 4

(3 分) (3 分)

第 2 页,共 4 页

2、

?x e

2 ?x

dx ? ? ? x 2 de ? x ? ?( x 2e ? x ? 2 ? e ? x xdx) ? ? x 2e ? x ? 2 ? xde ? x ? ? x 2e ? x ? 2( xe ? x ? ? e ? x dx)

(2 分)

(2 分)

? ? x 2e? x ? 2 xe? x ? 2e? x ? c
五、计算题(7 分)

(2 分)

解:由于 f ( x ) 在 x ? 1 处可导,可知 f ( x ) 在 x ? 1 处连续。 可得: lim f ( x) ? f (1)
x ?1

a ln x ?b x?1 x ? 1 化简得: a ? b
即: lim

(2 分) (1)
'

(1 分)

由 f ( x ) 在 x ? 1 处可导,且 f ( x) ? ?

1 可得: 2
(2 分)

a ln x ?b 1 x ? 1 lim ?? x?1 x ?1 2 化简得: a ? 1

(2)

(2 分)

由(1)和(2)得: a ? b ? 1 六:解答题: (共 8 分,1 题 2 分,2 题 2 分,3 题 3 分) 解:1、 f ( x) ?
'

1 ? ln x x2

令 f ( x) ? 0 ,可得: x ? e
' ' 当 0 ? x ? e 时, f ( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 (0, e] 上单调递增。 ' 当 e ? x ? ?? 时, f ( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 [e, ??) 上单调递减。

(1 分) (1 分) (1 分)

2、由上述计算可知: f ( x ) 在 x ? e 处取得极大值。 把 x ? e 代入原函数得: y ?

1 e 1 e
(1 分)

f ( x) 在 x ? e 处取得极大值,极大值为

第 3 页,共 4 页

? 1 ? ln x ? 2ln x ? 3 3、 f ( x) ? ? ? ? 2 x3 ? x ?
''

'

令 f '' ( x) ? 0 ,得 x ? e 2 。 当 0 ? x ? e 2 时, f '' ( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 (0, e 2 ] 上是凸的。 当 e 2 ? x ? ?? 时, f '' ( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 [e 2 , ??) 上是凹的。
3

3

3

3

(1 分) (1 分) (1 分)

3

? 3 拐点为 ? e 2 , ?
'

? 3 ?3 e 2? 2 ?

七:应用题(共 9 分,1 题 4 分,2 题 5 分) 解:1、 Q ? ?4 p ,
' 当 p ? 6 时, Q ? ?24

(2 分)

经济意义: 价格 p ? 6 时,价格再上涨一个单位,需要就要下降 24 个单位。 2、? ( p) ? (2 分)

p 4 p2 , Q' ( p) ? 2 Q( p ) 2 p ? 150
24 ? ?1.85 13

(2 分)

当 p ? 6 时,? ( p) ? ?

(1 分)

经济意义:价格 p ? 6 时,价格再上涨 1% ,需要就要下降 1.85% 。 (2 分)

第 4 页,共 4 页


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