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江苏省扬州市2013届高三5月考前适应性考试数学文试题 Word版含答案


江苏省扬州市 2013 届高三下学期 5 月考前适应性考试

文科数学
2013.05 全卷分两部分:第一部分为所有考生必做部分(满分 160 分,考试时间 120 分钟) ,第 二部分为选修物理考生的加试部分(满分 40 分,考试时间 30 分钟) . 注意事项: 1. 答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方. 2.

第一部分试题答案均写在答题卷相应位置,答在其它地方无效. 3.选修物理的考生在第一部分考试结束后,将答卷交回,再参加加试部分的考试.

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置 上)

1. 已知集合 A ? {1, 2}, B ? {2,3} ,则 A ? B ?





2. 若复数 z ?

1 ? (a 2 ? 4)i, (a ? R) 是实数,则 a ? a?2





3. 已知某一组数据 8,9,11,12, x ,若这组数据的平均数为 10,则其方差为





4. 若以连续掷两次骰子得到的点数 m, n 分别作为点 P 的横、纵坐 标,则点 P 在直线 x ? y ? 4 上的概率为 ▲ .

5. 运行如图语句,则输出的结果 T=





T←1 I←3 While I<50 T←T +I I←I +2 End While Print T

6. 若抛物线 y ? 8x 的焦点与双曲线
2

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点重合, m

则双曲线的离心率为





7. 已知一个圆锥的底面圆的半径为 1, 体积为 8. 将函数 f ( x) ? 2sin(? x ? 图象,若 y ? g ( x) 在 [ ?

2 2 ?, 则该圆锥的侧面积为 3





?

3 ? ?

), (? ? 0) 的图象向左平移

? 个单位得到函数 y ? g ( x) 的 3?
▲ .

, ] 上为增函数,则 ? 最大值为 6 4

?x ? y ? 2 ? 9. 已知 O 是坐标原点,点 A(?1,1) ,若点 M ( x, y ) 为平面区域 ? x ? 1 上的一个动点, ?y ? 2 ?
则 OA? OM 的取值范围是

??? ???? ? ?





, 3, ,且 a1,a2,a3 成公 10. 数列 {an } 中, a1 ? 2 , an?1 ? an ? cn ( c 是常数, n ? 1 2,? )
比不为 1 的等比数列,则 {an } 的通项公式是 11. 若对任意 x ? R ,不等式 3x ? 2ax ? x ?
2



. ▲ .

3 恒成立,则实数 a 的范围 4
▲ .对.

12. 函数 f ( x) ? ?

?log 4 x, x ? 0 的图象上关于原点 O 对称的点有 ? cos x, x ? 0

13. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的一个动点,点 P 在线段 25 9
▲ .

??? ??? ? ? OA 的延长线上,且 OA ? OP ? 72 ,则点 P 横坐标的最大值为
14. 从 x 轴上一点 A 分别向函数 f ( x) ? ? x3 与函数 g ( x) ?

2 引不是水平方向的切 | x | ? x3
3

线 l1 和 l2 ,两切线 l1 、l2 分别与 y 轴相交于点 B 和点 C,O 为坐标原点,记△OAB 的面 积为 S1 ,△OAC 的面积为 S2 ,则 S1 + S2 的最小值为 ▲ .

二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 15. (本小题满分 14 分)

已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x ? sin( (1)求 f (x) 的最小正周期;

?
2

? x) ? 2 cos(? ? x) ? cos x ? 2 .

(2)在 ?ABC 中,a, b, c 分别是 ? A、? B、? C 的对边,若 f ( A) ? 4 ,b ? 1 ,?ABC 的面积为

3 ,求 a 的值. 2

16. (本小题满分 14 分) 已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AD⊥ 平面 A1BC,其垂足 D 落 在直线 A1B 上.

(1)求证:平面 A1BC⊥ 平面 ABB1A1; (2)若 AD ? 3 ,AB=BC=2,P 为 AC 中点,求三棱锥 P ? A1BC 的体积。

17. (本小题满分 15 分) 某地区注重生态环境建设, 每年用于改造生态环境总费用为 x 亿元, 其中用于风景区改 造为 y 亿元。该市决定建立生态环境改造投资方案,该方案要求同时具备下列三个条件:① 每年用于风景区改造费用随每年改造生态环境总费用增加而增加; 每年改造生态环境总费 ② 用至少 a 亿元,至多 b 亿元;③ 每年用于风景区改造费用不得低于每年改造生态环境总费用 的 15%,但不得每年改造生态环境总费用的 22%。 (1)若 a ? 2 ,b ? 2.5 ,请你分析能否采用函数模型 y= 改造投资方案; (2)若 a 、b 取正整数,并用函数模型 y= 请你求出 a 、 b 的取值.

1 ( x3 ? 4 x ? 16) 作为生态环境 100

1 ( x3 ? 4 x ? 16) 作为生态环境改造投资方案, 100

18. (本小题满分 15 分) 椭圆 C 的右焦点为 F ,右准线为 l ,离心率为 为半径的圆与 l 的两个公共点是 B, D . (1)若 ?FBD 是边长为 2 的等边三角形,求圆的方程; (2)若 A, F , B 三点在同一条直线 m 上,且原点到直线 m 的距离为 2 ,求椭圆方程.

3 ,点 A 在椭圆上,以 F 为圆心, FA 2

19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ln x , g ( x) ? ln x ? (1)求函数 g ( x) 的极值; (2)已知 x1 ? 0 ,函数 h( x) ?

a , a ? 0) ( . x

f ( x) ? f ( x1 ) , x ? ( x1 , ??) ,判断并证明 h( x) 的单调性; x ? x1
x1 ? x2 1 ) 与 [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ,并加以证明. 2 2

(3)设 0 ? x1 ? x2 ,试比较 f (

20. (本小题满分 16 分) 设满足以下两个条件的有穷数列 a1 , a2 , ???, an 为 n (n ? 2,3, 4,?) 阶“期待数列”: ①a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 0 ;② a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 1 . (1)若等比数列 {an } 为 2k ( k ? N * )阶“期待数列”,求公比 q ; (2)若一个等差数列 {an } 既是 2k ( k ? N * )阶“期待数列”又是递增数列,求该数列的通项 公式; (3)记 n 阶“期待数列” {ai } 的前 k 项和为 Sk (k ? 1, 2,3,?, n) : (ⅰ )求证: | S k |?

1 ; 2 1 ,试问数列 {Si } 能否为 n 阶“期待数列”?若 2

(ⅱ )若存在 m ?{1, 2,3,?, n} 使 S m ?

能,求出所有这样的数列;若不能,请说明理由.

参考答案
2013.05 1. ?1, 2,3? 2. ?2 3. 2 7. 3? 4.

1 12

5.625

6.

2 3 3

8. 2 11. ?1 ? a ? 1

9. [0, 2] 12.3 13. 15

10. an ? n2 ? n ? 2

提示:设 OP ? ?OA(? ? 1) ,由 OA ? OP ? ? ? OA ? 72 ,得 ? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? 2 ?

72 , OA2

xP ? ? ? xA ?

72 72 72 72 ? xA = ? xA = , ? xA = 2 9 2 16 2 9 16 x ? yA 2 9? ? xA ? xA 9? ? xA ? ? xA 25 25 x A 25
2 A

研究点 P 横坐标的最大值,仅考虑 0 ? xA ? 5 ,

xP ?

72 15 ? 15 (当且仅当 x A ? 时取“=”) . 12 4 2? 5
1 1 , ( x ? 0) ,设两切点分别为 (m, ?m3 ) , ( n, 3 ) , m ? 0 , n ? 0 ) ( , 3 n x

14.8 提示: g ( x ) ?

l1 : y ? m3 ? ?3m2 ( x ? m) ,即 y ? ?3m2 x ? 2m3 ,令 x ? 0 ,得 yB ? 2m3 ;
令 y ? 0 ,得 x ?

2 m. 3

4 4 1 3 3 4 ? ? 4 ( x ? n) , y ? ? 4 x ? 3 , x ? 0 , yC ? 3 ; y ? 0 , x ? n . 即 令 得 令 得 3 n 3 n n n n 2 4 m ? n ,得 m ? 2 n , 依题意, 3 3 1 1 4 4 8 1 f (n) ? S1 + S2 = (| yB | ? | yC |) ? x A = (2m3 ? 3 ) ? n = (4n 4 ? 2 ) , 2 2 n 3 3 n

l2 :y ?

8 2 2 f '(n) = (16n3 ? 3 ) ,可得当 n ? 时, f ( n) 有最小值 8. 3 n 2

15. 解: (1) f ( x) ? 3sin 2x ? 2cos2 x ? 2

? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 3 ? 2sin(2 x ? ) ? 3 ······················4 分 ··········· ·········· · ·········· ··········· 6 2? ?T ? ? ? . ··········· ··········· ·········· ······ 分 ··········· ·········· ··········· ····· 6 ·········· ··········· ··········· ····· 2 ? ? 1 (2)由 f ( A) ? 4 ,? f ( A) ? 2 sin( 2 A ? ) ? 3 ? 4 ,? sin( 2 A ? ) ? . 6 6 2
又? A为?ABC 的内角,?

?

?
6

? 2A ?

?
6

?

13 ?, 6

?2A ?

?

5 ? ? ? ,? A ? . ······························· 分 ··········· ·········· ········· 8 ·········· ··········· ········· 6 6 3

? S ?ABC ?

3 1 3 , b ? 1 ,? bc sin A ? ,? c ? 2 ················ 分 ··············· 11 ·········· ····· 2 2 2
1 ? 3 ,?a ? 3. ············· 分 ············ 14 ·········· ·· 2

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2b cos A ? 1 ? 4 ? 2 ? 1? 2 ?

16.证:直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A A1⊥ 平面 ABC, ∴ A1⊥ A BC, ∵ AD⊥ 平面 A1BC, ∴ AD⊥ BC, ∵ A1 ,AD 为平面 ABB1A1 内两相交直线, A ∴ BC⊥ 平面 ABB1A1, 又∵BC ? 平面 A1BC, ∴ 平面 A1BC⊥ 平面 ABB1A1 ··········· ··········· ·········· ··········· ···· 7 分 ··········· ·········· ··········· ··········· ···· ·········· ··········· ··········· ·········· ····· (2) 由等积变换得 VP? A1BC ? VA1 ?PBC , 在直角三角形 A1 AB 中,由射影定理( AB 2 ? BD ? BA1 )知 AA1 ? 2 3 , ∵ AA ? 平面PBC , 1 ∴ 三棱锥的高为 AA1 ? 2 3 ································ 分 ······························· 10 ·········· ··········· ·········· 又∵ 底面积 S?PBC ? 1 ··································· 12 分 ··········· ·········· ··········· ··· ·········· ··········· ··········· ···

1 2 3 ∴VP? A1BC ? VA1 ?PBC = S?PBC ? AA1 ? ························14 分 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ·· 3 3 1 法二:连接 CD ,取 CD 中点 Q ,连接 PQ ,∵ 为 AC 中点,? PQ // AD, PQ ? AD P 2

? AD ? 3 ,? PQ ?

3 , ·································9 分 ··········· ·········· ··········· · ·········· ··········· ··········· 2 由(1)AD⊥ 平面 A1BC,∴PQ ⊥ 平面 A1BC,

∴PQ 为三棱锥 P- A1BC 的高, ······························ 分 ····························· 11 ·········· ··········· ········ 由(1)BC⊥ 平面 ABB1A1 ? BC ? BA1 ,? S?PBC ? 4 ················· 分 ················ 12 ·········· ······

?VP-A1BC ?

2 3 ,····································· 14 分 ··········· ·········· ··········· ····· ·········· ··········· ··········· ····· 3

17.解: (1)∵ y ' ? ∴ 函数 y=

1 (3x 2 ? 4) ? 0 , 100

1 ( x3 ? 4 x ? 16) 是增函数,满足条件① ················· 3 分 。 ··········· ······ ·········· ······· 100 y 1 16 ( x2 ? 4 ? ) , 设 g ( x) ? ? x 100 x
则 g '( x) ?

1 16 ( x ? 2)( x 2 ? 2 x ? 4) (2 x ? 2 ) ? , 100 x 50 x 2

令 g '( x) ? 0 ,得 x ? 2 。 当 x ? 2 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 在 (??, 2) 上是减函数; 当 x ? 2 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 在 (2, ??) 上是增函数, 又 a ? 2 , b ? 2.5 ,即 x ? [2, 2.5] , g ( x) 在 [2, 2.5] 上是增函数, ∴ x ? 2 时, g ( x) 有最小值 0.16=16%>15%, 当 当 x ? 2.5 时, g ( x) 有最大值 0.1665=16.65%<22%,

1 ( x3 ? 4 x ? 16) 作为生态环境改造投资方案。········ 9 分 ········ ········ 100 y 1 16 ( x2 ? 4 ? ) , (2)由(1)知 g ( x) ? ? x 100 x
∴ 能采用函数模型 y= 依题意,当 x ? [a, b] , a 、 b ? N * 时, 15% ? g ( x) ? 22% 恒成立;

16 ? 22 的正整数解。 x 16 2 令 h( x ) ? x ? 4 ? , ································· 12 分 ··········· ·········· ··········· · ·········· ··········· ··········· · x
下面求 15 ? x ? 4 ?
2

由(1)知 x ? N , h( x) 在 (??, 2) 上是减函数,在 (2, ??) 上是增函数,
*

又由(1)知,在 x ? 0 时, g ( x)min ? g (2) ,且 g (2) =16%∈ [15%,22%],

? x ? 2 合条件,经枚举 g (1) , g (3) ∈ [15%,22%],
而 g (4) ?[15%,22%],可得 x ? 1 或 x ? 2 或 x ? 3 ,

由 g ( x) 单调性知 a ? 1, b ? 2 或 a ? 1, b ? 3 或 a ? 2, b ? 3 均合题意。 ········· 分 ········ 15 ········

18.解:设椭圆的半长轴是 a ,半短轴是 b ,半焦距离是 c , 由椭圆 C 的离心率为

x2 y2 3 ,可得椭圆 C 方程是 2 ? 2 ? 1 , ·············2 分 ··········· ·· ·········· ·· 4b b 2

(只要是一个字母,其它形式同样得分, ) 焦点 F ( 3b,0) ,准线 x ?

4b ,设点 A( x0 , y0 ) , 3

(1) ?FBD 是边长为 2 的等边三角形, 则圆半径为 2 ,且 F 到直线 l 的距离是 3 , 又 F 到直线 l 的距离是 FM ?

a2 b2 b , ?c ? ? c c 3

所以,

b ? 3 ,b ? 3, 3

所以 c ? 3 3 所以,圆的方程是 ( x ? 3 3)2 ? y 2 ? 4 。 ························· 分 ··········· ·········· ··· 6 ·········· ··········· ··· (2)因为 A, F , B 三点共线,且 F 是圆心,所以 F 是线段 AB 中点,

由 B 点横坐标是

a2 4 2 4b ? 2 3b ? 3b ? 3b , ·········· 8 分 得, x0 ? 2c ? ·········· ·········· c 3 3 3

2 2 2 x0 y0 x0 2 2 6 2 2 ? b , y0 ? 再由 2 ? 2 ? 1 得: y0 ? b ? b, 4b b 4 3 3

6 b y0 3 ? ? ? 2 ······················10 分 所以直线 m 斜率 k ? ··········· ·········· · ·········· ··········· x0 ? c 3b ? 3
直线 m : y ? ? 2( x ? c) , 2x ? y ? 2c ? 0 ···················· 12 分 ··········· ········· ·········· ·········· 原点 O 到直线 m 的距离 d ?

2c , 3

依题意

2c ? 2 , c ? 6 ,所以 b ? 2 , 3
x2 y 2 ? ? 1 . ···························· 15 分 ··········· ·········· ······· ·········· ··········· ······· 8 2

所以椭圆的方程是 19.解: (1) g '( x) ?

1 a x?a ? 2 ? 2 ,令 g '( x) ? 0 ,得 x ? a . x x x

当 x ? (0, a) 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 是减函数; 当 x ? (a, ??) 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 是增函数. ∴ x ? a 时, g ( x) 有极小值 ln a ? 1 , g ( x) 无极大值. ················ 分 当 ··········· ···· 4 ·········· ····· (2) h '( x) ?

f '( x)( x ? x1 ) ? f ( x) ? f ( x1 ) ( x ? x1 )2

x1 1 (1 ? )( x ? x1 ) ? x ? ln x ? x1 ? ln x1 ? ln x ? 1 ? ln x1 x x = = , ( x ? x1 ) 2 ( x ? x1 ) 2
由(1)知 ? ( x) ?

x1 ? ln x 在 [ x1 , ??) 上是增函数, x

当 x ? ( x1 , ??) 时, ? ( x) ? ? ( x1 ) , 即

x1 ? ln x ? 1 ? ln x1 , x

∴h '( x) ? 0 ,即 h( x) 在 ( x1 , ??) 上是增函数.·····················10 分 ··········· ·········· ·········· ·········· (3) 0 ? x1 ? x ? x2 ,由(2)知, h( x) ?

f ( x) ? f ( x1 ) 在 ( x1 , ??) 上是增函数, x ? x1



f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x) ? f ( x1 ) ? , x2 ? x1 x ? x1
x1 ? x2 x ? x2 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] . ·················· 分 得, f ( 1 ················· 16 ·········· ······· 2 2 2

令x?

20.解: (1)若 q ? 1 ,则由①a1 ? a2 ? ? ? a2k ? 由② a1 ? 得

a1 (1 ? q 2 k ) =0,得 q ? ?1 , 1? q

1 1 或 a1 ? ? . 2k 2k

若 q ? 1 ,由① 得, a1 ? 2k ? 0 ,得 a1 ? 0 ,不可能. 综上所述, q ? ?1 . (2)设等差数列 a1 , a2 , a3 ,?, a2k (k ∵a1 ? a2 ? ? ? a2k ? 0 ,∴ ∴a1 ? a2k ? ak ? ak ?1 ? 0 , ∵d >0,由 ak ? ak ?1 ? 0 得 ak ? 0 , , 由题中的① 、② 得, , 两式相减得, ∴ , , 又,得, ∴ . (3)记, ,…,中非负项和为,负项和为, 则, ,得, , (ⅰ ,即. ) (ⅱ )若存在使,由前面的证明过程知: , ,…,, ,,…, , 且…. 记数列的前项和为, 则由(ⅰ )知, , ∴ =,而, ∴ ,从而, , 又…, 则, ∴ , 与不能同时成立, 所以,对于有穷数列,若存在使,则数列和数列不能为阶“期待数列”.

? 1) 的公差为 d , d >0.

2k ? (a1 ? a2 k ) ? 0, 2


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