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2013届云南省昆明市高三复习适应性检测文科数学试卷(带解析)


2013 届云南省昆明市高三复习适应性检测文科数学试卷(带解析)

2013 届云南省昆明市高三复习适应性检测文科数学试卷(带解析) 一、选择题 1.复数 (A) i

2i ( i 是虚数单位)的虚部是( 1? i
(B) ? i
2

) (C)1 (D) ? 1 )

2.

(2)已知集合 P ? {x | x ? 4}, Q ? {x | (A) {x | x ? 2} (B) {x | 0 ? x ? 2}

x ? 4} ,则 P ? Q ? (
(C) P

(D) Q

3.把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,连结 AC ,得到三棱锥 C-ABD,其正 视图与俯视图均为全等的等腰直角三角形,如图所示,则侧视图的面积为( ) (A)

1 4
2 2

(B)

1 2

(C)

(D) 1

正视图

俯视图

4. a 为常数, ?x ? R , f ( x) ? a x ? ax ? 1 ? 0 ,则 a 的取值范围是(
2 2



(A) a ? 0

(B) a ? 0

(C) a ? 0

(D) a ? R

5.已知等差数列 ? an ? 满足 a2 ? a4 ? 4 , a5 ? 4a3 ,则数列 ? an ? 的前 10 项的和等于 ( ) (B)95 (C)135 (D)138 (A)23

6.下列程序框图中,某班 50 名学生,在一次数学考试中, an 表示学号为 n 的学生的 成绩,则( ) (A)P 表示成绩不高于 60 分的人数 (B)Q 表示成绩低于 80 分的人数 (C)R 表示成绩高于 80 分的人数 (D)Q 表示成绩不低于 60 分,且低于 80 分人数

试卷第 1 页,总 6 页

开始 开始 n=1,P=0,Q=0,R=0

输入 an 是
an ? 60


an ? 80

是 P=P+1 Q=Q+1

否 R=R+1

n=n+1 否
n ? 50

是 输出P、Q、R 开始 结束

7.设抛物线 C : y ? 2 px ( p ? 0) ,直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直,
2

l 与 C 交于 Q、R 两点,若 S 为 C 的准线上一点, △QRS 的面积为 8 ,则 p ? (
(A) 2 (B) 2 (C) 2 2 (D) 4



8. 已知函数 f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x , 若 f ( x ? ? ) 为偶函数, 则 ? 的一个值为 ( (A)



? 6

(B)

? 4

(C)

? 3

(D)

? 2

9.若函数 y ? 最小值是( (A)

1 3 2 x ? x ? 1 (0 ? x ? 2) 的图象上任意点处切线的倾斜角为 ? ,则 ? 的 3
) (B)

? 6

3? 4

(C)

? 4
?

(D)

5? 6
?

10.三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中, AA 1 与 AC 、 AB 所成角均为 60 , ?BAC ? 90 ,且

AB ? AC ? AA 1 ? 1 ,则三棱锥 A 1 ? ABC 的体积为(
(A)



2 4

(B)

2 6

(C)

2 12

(D)

2 18

11.过双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0、b ? 0) 左焦点 F 且平行于双曲线一渐近线的直线 a 2 b2


与双曲线的右支交于点 P , O 为原点,若 OF ? OP ,则 C 的离心率为( (A) 5 (B) 2 (C)

3

(D) 3

试卷第 2 页,总 6 页

2013 届云南省昆明市高三复习适应性检测文科数学试卷(带解析) 12.数列 {an } 的首项为 1,数列 {bn } 为等比数列且 bn ? ( ) (B)512 (C)1013 (D)1024

an ?1 ,若 b10 ? b 1 1 ? 2 ,则 a21 ? an

(A)20

二、填空题

?x ? y ? 1 ? 0 ? 13.设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,若目标函数 z ? ax ? y (a ? 0) 的最大值为 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?

10 ,则 a ? ______.
14. 若函数 f ( x) ? e ? 2 x ? 2 的零点所在区间是 则 n 的值是______. (n, n ? 1), n ? Z ,
x

b c 满足 a ? b ? c ? 0 ,向量 a 与 b 的夹角为 120? ,且 |a|=|b| , 15.已知非零向量 a、、
则 | a ? b | 与 | c | 的比值为

? ? ?

? ? ?

?

?

?

?

?

? ?

?

.

16.已知函数 f ( x) ? log 2 x ? 1 ,对于满足 0 ? x1 ? x2 的任意实数 x1、x2 ,给出下列结 论: ① [ f ( x2 ) ? f ( x1 )]( x2 ? x1 ) ? 0 ;② x2 f ( x1 ) ? x1 f ( x2 ) ;③ f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 ; ④

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x ? f ( 1 2 ) ,其中正确结论的序号是 2 2

.

三、解答题 17.在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,已知 (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 6 ,求 b ? c 的取值范围.

a 3 cos A

?

c , sin C

试卷第 3 页,总 6 页

18.下表是某单位在 2013 年 1—5 月份用水量(单位:百吨)的一组数据: 月份 x 1 2 3 4 5 用水量 y 4 5 4 3 2 5 1 8

(Ⅰ)若由线性回归方程得到的预测数据与实际检验数据的误差不超过 0 05,视为“预

? ? ?0.7 ,那么由该单位前 4 个月的数据中所得到的线性回归方 测可靠” ,通过公式得 b
程预测 5 月份的用水量是否可靠?说明理由; (Ⅱ)从这 5 个月中任取 2 个月的用水量,求所取 2 个月的用水量之和小于 7(单位: 百吨)的概率

? ?a ? ,y ? ? bx ? ? ? y ? bx 参考公式:回归直线方程是: a

19.如图,四边形 ABCD 是正方形, PD∥ MA , MA ? AD , PM ? 平面CDM ,

MA ? AD ?

1 PD ? 1 2

(Ⅰ)求证:平面 ABCD ? 平面 AMPD ; (Ⅱ)求三棱锥 A ? CMP 的高 C

B D

P

A

M

试卷第 4 页,总 6 页

2013 届云南省昆明市高三复习适应性检测文科数学试卷(带解析)

1 x2 y 2 20. 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点为 F (c ,0) , 上顶点为 B, 离心率为 , a b 2
圆 F : ( x ? c) 2 ? y 2 ? a 2 与 x 轴交于 E 、D 两点 (Ⅰ)求

BD BE

的值;

(Ⅱ)若 c ? 1 ,过点 B 与圆 F 相切的直线 l 与 C 的另一交点为 A ,求 △ABD 的面积

21.设函数 f ( x) ? ln x ?

a 2 x ? (a ? 1) x ( a 为常数) 2

(Ⅰ) a =2 时,求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)当 x ? 1时, f ( x) ?

a 2 x ? x ? a ,求 a 的取值范围 2

22.如图, BA 是圆 O 的直径, C 、 E 在圆 O 上, BC 、 BE 的延长线交直线 AD 于点

D 、 F , BA2 ? BC ? BD 求证:
(Ⅰ)直线 AD 是圆 O 的切线; (Ⅱ) ?D ? ?CEF ? 180
?

试卷第 5 页,总 6 页

D

C

E

F A

B

·

O

23.在极坐标系中,已知圆 C 的圆心 C ( 2, (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程;

?
4

) ,半径 r ? 3

(Ⅱ)若 ? ? ?0, ? ,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,直线 l 交圆 C ? 4? ? y ? 2 ? t sin ? 于 A、B 两点,求弦长 AB 的取值范围

?

??

? x ? 2 ? t cos?

24.设函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? 1 (Ⅰ)解不等式 f ( x) ? 5x ; (Ⅱ)若函数 f ( x) ? ax ? 1 的解集为 R ,求实数 a 的取值范围

试卷第 6 页,总 6 页

2013 届云南省昆明市高三复习适应性检测文科数学试卷(带解析) 参考答案 1.C 【解析】 试 题 分 析 : 将 复 数 化 成

a ? bi

, a, b ? R

形 式 , b

为 虚

部.

2i ?1 ? i ? 2i 2 ? 2i ? ? ? 1 ? i 所以复数的虚部为1 . 1 ? i ?1 ? i ??1 ? i ? 2

考点:复数的概念及运算. 2.B 【解析】
2 试题分析: x ? 4 ? ?2 ? x ? 2, x ? 4 ? 0 ? x ? 16 ? P ? Q ? ? x | 0 ? x ? 2?

考点:解不等式,集合交集的运算. 3.A 【解析】

C

C

D

O

B A

O

A
侧视图

试题分析:由正视图和俯视图知三棱锥 C ? ABD 底面 ABD 垂直于直立投射面 , 侧面

BCD 垂直于水平投射面,所以平面 BCD ?

平面 ABD , BD ? 侧立投射面, 取 BD 中

点 O ,则 BD ? 平面 AOC ,所以平面 AOC 平行于侧立投射面,所以侧视图为直角 ?AOC ,

其面积为

1 1 2 2 1 AO? OC ? ? ? ? 2 2 2 2 4

.

考点:三视图. 4.D 【解析】 试 题 分 析 : ① 当 a?0 时 符 合 条 件 , ② 当 a?0 时 ,

a2 ? 0 , 所 以

? ?a 2 4 ? a2 1 ?

?3a ?2 ,综上 0? a ? R .

考点:分类讨论,二次函数的性质. 5.B 【解析】

? 9d 试 题 分 析 : S1 0 ? 5 ? 2a 1 ??

① , 由 a2 ? a4 ? 4 , a5 ? 4a3 得 : a1 ? 2d ? 2?

答案第 1 页,总 14 页

②, 3a1 ? 4d ? 0? ③,解②③得 a1 ? ?4, d ? 3 , 代入①得: S10 ? 5 ? ?4 ? 2 ? 9 ? 3? ? 95 . 考点:等差数列通项公式及前 n 项和公式. 6.D 【解析】 试题分析:第一个判断框是判断第 n 个学生的成绩与 60 的关系,小于 60 关系为“是”计 数为 P ,大于等于 60 为“否”,进入第二个判断框,判断第 n 个学生的成绩与 80 的关系, 小于 80 大于等于 60 , 关系为“是”计数为 Q ,大于等于 80 ,关系为“否”计数为 R , 所以选项 D 正确. 考点:程序框图. 7.C 【解析】 试题分析: 因为直线 l 过焦点 F ?

p ?p ? ,与抛物线方 , 0 ? 且 l ? x 轴 ,所以 l 的方程为 x ? 2 ?2 ?

程联立求出 Q ?

p ?p ? ?p ? 上,所以三 , ? p ? , R ? , p ? ,所以 QR ? 2 p 又点 S 在准线 x ? ? 2 ?2 ? ?2 ? 1 ?2p? p ? 8 ? p ? 2 2 . 2
0 p

角形 SQR 边 QR 上的高的长为 p ,所以

y

l C: R

2

? y

2? ? p

?x

F
O S

x

Q

考点:抛物线定义与性质及直线与抛物线间关系的运算. 8.C 【解析】 试题分析:函数 f ? x ? ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin ? 2 x ? 又函数 g ? x ? ? f ? x ? ? ? ? 2 sin ? 2? x ? ? ? ?

? ?

??
? 6?

? ?

??

?? ? ? 2 sin 2 x ? 2 ? ? ? ? 为偶函数 , 所以函 ? 6? 6? ?

数关于 y 轴对称,由函数 y ? A sin ? wx ? ? ?? A ? 0, ? ? 0 ? 性质得函数 g ? x ? 在 x ? 0 时 取 得 最 大 值 或 最 小 值 , 即

g ? 0 ? ? ?2

,





答案第 2 页,总 14 页

?? ? ? k? ? ? ? 2sin ? ?2? ? ? ? ?2 ? ?2? ? ? k? ? ? ? ? ? ? ? k ? Z ? , k ? ?1, ? ? . 6? 6 2 2 6 3 ?
考点:三角函数图象与性质,三角函数两角和及倍角公式,偶函数概念及性质. 9.B 【解析】 试题分析:因为 y? ? x ? 2 x ? 0 ? x ? 2 ? ,所以函数图象切线的斜率 k 满足: ?1 ? k ? 0, ,
2

所以切线的倾斜角 ? 的最小值为

3? . 4

考点:函数导数的几何意义及导数运算,正切函数的单调性应用. 10.C 【解析】 试题分析:连接 AC ,由已知得 ?A1 AC , ?A1 AB 为正三角形, ?BAC 为等腰直角三角形, 1 所以有 A1 A ? A1 B ? A1C 所以 A1 在底面 ?ABC 上的射影是等腰直角 ?BAC 的外心, 即 为 BC 中 点 , 取 BC 中 点 O
2

, 连 接 A1 O , , 又 S?BAC ?

A O 在 直 角 ?A1 O A

? 2? 2 中 , A1O ? A1 A ? AO ? 1 ? ? ? 2 ? ? ? 2 ? ?
2 2 2

1 1 AB?AC ? 2 2

, 所 以

VA1 ?

A B C

?

1 S ? 3

? O B A 1A C ?
C1

2 . 12

A1
B1

C O

A

B

考点:棱柱概念,棱锥的体积,线面垂直及点到平面的距离. 11.A 【解析】 试题分析:由双曲线的对称性,不妨设 FP 与渐进线 y ?

b x 平行,设右焦点为 F ? ,所以 a

tan ?PFF ? ?
2 2

b , 因为 OF ? OP ? OF ? ? c , 所以三角形 FPF ? 为直角三角形 , 所以 a
2

PF ? PF? ? FF? ? 4 c2

? ①

, 又 在 直 角 三 角 形 FPF ?



答案第 3 页,总 14 页

PF ? FF ? cos ?PFF ? ? 2c?

1 ? 2c? 1 ? tan ?PFF ?
2

1 ? 2a ? b2 1? 2 a
② ③ 代

② ,

所 以

PF ? ? PF ? 2a ? 4a
2 2 2 2

?
2



,









得: 4a ? 16a ? 4c ? 5a ? c ? e ? 5 .

y P F
O

Q

F?

x

考点:双曲线的定义,渐进线方程,离心率,解三角形. 12.D 【解析】 试 题 分 析 :

b1 ?

b2 ?
10

a2 ?b3 ? a1

a3

? ? b2 a2

a4 ? 0?

a3

a ?2

1

a2

a ? ?
0

2

a

? a

? ? b1 ? b20 ? ? ? b2 ? b19 ? ?? ? ? b10 ? b11 ? ? ? b10 ? b11 ? ? 210 ? 1024
考点:等比数列及等比中项的性质. 13. 2 【解析】 试题分析:在坐标系中画出符合条件的平面区域,因为目标函数的最大值是 10 ,①若

a ? 0 , z 的最大值为 4 ,即当 a ? 0 时目标函数只有过点 A ? 3, 4 ? 时, z 为最大 4 ,不
符合已知条件; ②若 a ? 0 ,目标函数只有过点 A ? 3, 4 ? 时, z 为最大,如果最大值是 10 只有目标函数过

A, D 时满足条件此时 a ? 2 .

答案第 4 页,总 14 页

y D ? 0 , 1?0
x ? y ?1 ? 0 x ? y ?1 ? 0
B ?0 , ? 1
O

A ?3 , ? 4
z? ax ? y

C ?1 , ? 0 x

2 x ? y ? 2? 0
考点:平面区域. 14. ?2 【解析】 试 题 分 析 : f ?? x? ? e ? 2 ? 0
x

, 所 以 f ? x?

在 R

上是单调递增函数,又

f ? ?2 ? ?

1 1 1 1 ? 4 ? 2 ? 2 ? 2 ? 0, f ? ?1? ? ? 2 ? 2 ? ? 0, 所以函数 f ? x ? 的零点在区间 2 e e e e
上,所以 n ? ?2 .

? ?2, ?1?
15. 3 【解析】 试

考点:导数运算,利用导函数研究原函数的单调性,函数零点的性质.









? ? ? ? ? ? ? ? a ?b ?c ? 0? a ?b ? c ? a ?b

?

?

2

? ? ? ? ? ?2 ?2 ?2 ? ? ?2 ? c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2a ? b ? c ? a ? b ? 2a ? b?c
? ?
,因此 c ? a ? b ? a ?b ? a ; , 所 以

b ? 2 a ?b ?cos120 ? 2a ? b ? ? a ?b 又 2a ?
0

? ?

? ?

? ?

?2

?2

?2

? ?

?2

? ?2 ? ? a ?b ? a ?b

?

?

2

?

? ? ? ? ?2 ?2 ?2 ? ? ?2 a 2 ? b 2 ? 2a ? b ? c ? a ? b ? a ?b ? 3 a

? ? a ?b ? ? 3 . c
考点:向量的数量积运算及向量的模的运算. 16.④ 【解析】 试题分析:①.因为函数 f

? x? ? l o 2g

x ? 1 是 ? 0, ?? ?

上的增函数,所以

答案第 5 页,总 14 页

?x ? x2 ? x1 ? 0 ? ?y ? y2 ? y1 ? 0 所以①不正确.
②.

x2 f ( x1 ) ? x1 f ( x2 ) ?

f ? x1 ? x1

?

f ? x2 ? x2

?

f ? x? x


为 ? 0, ?? ? 上 的 减 函 数 , 即

g ? x? ?

log 2 x ? 1 x



? 0, ?? ?













1 ? log 2 x ? 1 log 2 2e ? log 2 x ? log 2 x ? 1 ?? ln 2 g? ? x? ? ? ? ? ? 0 ? x ? 2e 时 g ? ? x ? ? 0 , ? 2 x x x2 ? ?
g ? x?
为 增 函 数 , 或 者 取

x2 ? 8, x1 ?

1 2







1 1 1 1 ?1? ? ? ?1? 1 8 f ? ? ? ? 8log 2 ? 8 ? ? ?16, f ?8 ? ? log 2 8 ? ? 1 ,显然 8 f ? ? ? f ? 8 ? 所以② 2 ? 2 2 2 ?2? ? ?2? 2
不正确. ③ .

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1

? f ? x2 ? ? x2 ? f ? x1 ? ? x1


, 即 说 明 函 数 增 函 数 , 而

g ? x ? ? f ? x ? ? x ? log 2 x ? x ? 1

? 0, ?? ?





g ? ? x ? ? ? f ? x ? ? x ?? ?
④.

1 ? 1 在区间 ? log 2 e, ?? ? 上 g ? ? x ? ? 0 ,所以③不正确. x ln 2
log 2 ? x1 x2 ? 2 x ?x ?x ?x ? ? 1 ? log 2 x1 x2 ? 1, f ? 1 2 ? ? log 2 1 2 ? 1 , 又 2 ? 2 ?
, 所 以

f ? x1 ? ? f ? x2 ? 2

?

x1 ? x2 ? x1 x2 ?? 0 ? x1 ? x2 ? 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x ? f ( 1 2 ). 2 2
17.①.

log 2

x1 ? x2 ? log 2 x1 x2 2

,



考点:对数运算,对数函数的单调性判断,导数运算及应用,均值不等式.

? . ②. ? 6,12 ? . 3

【解析】 试题分析:①运用正弦定理把边转化成角再求角 ,②方法一:利用第一问的结论 A ?

?
3



a ? 6 的条件 , 只要找到 b ? c 的取值范围即可 , 利用余弦定理建立 b, c 的关系式 , 再求 b ? c 的取值范围,方法二,利用正弦定理建立 b ? c 与角 B, C 的三角函数关系式,再利用 A ? B ? C ? ? 减少变元,求范围.
试题解析: (Ⅰ)由条件结合正弦定理得, 从而 sin A ? 3 cos A , tan A ? 3
答案第 6 页,总 14 页

a 3 cos A

?

c a ? sin C sin A

∵ 0 ? A ? ? ,∴ A ?

?
3

5分

(Ⅱ)法一:由已知: b ? 0, c ? 0 , b ? c ? a ? 6 由余弦定理得: 36 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos (当且仅当 b ? c 时等号成立) ∴( (b ? c)2 ? 4 ? 36 ,又 b ? c ? 6 , ∴ 6 ? b ? c ? 12 , 从而 b ? c 的取值范围是 (6,12] 法二:由正弦定理得:
b c ? ? sin B sin C 6 sin

?

3 1 ? (b ? c)2 ? 3bc ? (b ? c)2 ? (b ? c)2 ? (b ? c)2 4 4 3

12 分
?4 3

?
3

∴ b ? 4 3 sin B , c ? 4 3 sin C ,
2? ? ? b ? c ? 4 3(sin B ? sin C ) ? 4 3 ?sin B ? sin( ? B) ? 3 ? ?
?3 ? ? 3 ? 3 1 ? 4 3? sin B ? cos B ? 12 sin B ? cos B ? ? ? ?2 ? ? 2 ? 2 2 ? ? ? ?

?? ? ? 12sin ? B ? ? 6? ?

?
6 ? B?

?
6

?

5? 6

?? ? ? ∴ 6 ? 12sin ? B ? ? ? 12 ,即 6 ? b ? c ? 12 (当且仅当 B ? 时,等号成立) 6? 3 ?
从而 b ? c 的取值范围是 (6,12] 12 分

考点:1 正弦定理;2 余弦定理;3 两角和公式;4 均值不等式 18.①“预测可靠” ② 【解析】

3 5

? 计算出 a ? ? ?0.7 则 通过 a ? ? y ? bx ? ,从而求出 试题分析: (Ⅰ)首先计算 x , y 由于已知 b
回归方程,再比较回归方程的值与实际值的差的绝对值即可 (Ⅱ) 列举法:把所有可能与符 合条件的一一列举即可求概率

? ? ?0.7 试题解析: (Ⅰ)由数据,得 x ? 2.5, y ? 3.5 ,且 b

? ? 5.25 , 所以 y 关于 x 的线性回归方程为 y ? ? y ? bx ? ? ?0.7 x ? 5.25 a
? ? ?0.7 ? 5 ? 5.25 ? 1.75 , 而 1.75 ? 1.8 ? 0.05 ? 0.05 ; 当 x ? 5 时,得估计值 y
所以,所得到的回归方程是“预测可靠”的 6分 (Ⅱ)从这 5 个月中任取 2 个月,包含的基本事件有以下 10 个:
答案第 7 页,总 14 页

(4.5, 4), (4.5, 3), (4.5, 2,5), (4.5,1.8), (2.5, 1.8), (4.5,1.8),

(4,3), (4, 2.5), (4,1.8),

(3, 2.5), (3,1.8),

其中所取 2 个月的用水量之和小于 7(百吨)的基本事件有以下 6 个:

(4, 2.5), (4,1.8), (3, 2.5), (3,1.8), (2.5, 1.8), 6 3 故所求概率 P ? 12 分 ? 10 5
考点:1 统计;2 回归直线方程;3 回归分析;4 列举法求概率 19.①见解析 ② 【解析】 试题分析: (I)要证面面垂直,只要证明线面垂直,只要证明线线垂直:即找到直线

6 6

CD ? AD, CD ? PM(Ⅱ) 因为 VA?CMP ? VC ? AMP ,所以求点面距离转化为等体积方法计算,
容易求出三角形 AMP 的面积与高 CD 的值, 再计算出三角形 CMP 的面积即可 试题解析: (Ⅰ)? PM ? 平面 CDM ,且 CD ? 平面 CDM ,

? PM ? CD ,
又 ABCD 是正方形,? CD ? AD ,而梯形 AMPD 中 PM 与 AD 相交,

? CD ? 平面 AMPD ,
又 CD ? 平面 ABCD ,

?平面 ABCD ? 平面 AMPD
(Ⅱ)设三棱锥 A ? CMP 的高为 h ,

4分

已证 CD ? 平面 AMPD ,又 PM ? 平面CDM ,则 PM ? CM , PM ? DM , 由已知 MA ? AD ? 故 S?AMP

1 PD ? 1 ,得 DM ? 2 , CM ? 3 , PM ? 2 , 2 1 1 ? AM ? AD ? , 2 2
8分

6分

1 1 6 S?CMP ? CM ? PM ? ? 3 ? 2 ? 2 2 2

? VA?CMP ? VC ? AMP


1 1 S?CMP ? h ? S?AMP ? CD 3 3

10 分

答案第 8 页,总 14 页

1 ?1 S?AMP ? CD 2 6 ? ? ?h ? S?CMP 6 6 2
故三棱锥 A ? CMP 的高为 (其他做法参照给分)

12 分

6 6

考点:1 线面位置关系;2 垂直的判定与性质;3 等体积法求椎体的高 20.① 3 ② 【解析】 试题分析: (Ⅰ)利用圆及椭圆方程求出点 E , D, B 的坐标, 再用离心率值化简,利用两点 间距离即可 (Ⅱ)由椭圆方程,利用圆的切线性质确定直线 l 的斜率,写出直线方程,再与 椭圆方程联立,求出交点坐标后求弦 AB 的长 ,及点到直线距离即可 试题解析:
y B A E O F D x

24 3 13

(Ⅰ)由题意, B(0 , b) , E (c ? a , 0) , D(c ? a , 0) ,∵ e ? 得 a ? 2c , b ? 则 B (0 ,

1 2

3c

3c) , E (?c , 0) , D(3c , 0)

得 BD ? 2 3c , BE ? 2c



BD BE

? 3 ???(4 分)

x2 y 2 ? ? 1 , F : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 (Ⅱ)当 c ? 1 时, C : 4 3
得 B(0, 3) 在圆 F 上

答案第 9 页,总 14 页

直线 l ? BF ,则设 l : y ?

3 x? 3 3

? x2 y 2 ? ?1 ? ?4 3 由? ?y ? 3 x ? 3 ? 3 ?

得 A(?

24 5 3 16 3 , ) , AB ? 13 13 13

又点 D(3,0) 到直线 l 的距离 d ?

3?0?3 2

? 3,

得 ?ABD 的面积 S ?

1 16 3 24 3 1 ?3 ? AB ? d ? ? 2 13 13 2

(12 分)

考点:1 椭圆的定义;2 离心率;3 圆的几何性质;4 直线与椭圆位置关系的运算;5 点到 直线的距离公式 21.①在 ? 0, ? , ?1,?? ? 上单调递增,在 ? ,1? 上单调递减,② a ? ?1,??? 【解析】 试题分析: (Ⅰ) 求函数的导数,研究二次函数的零点情况,确定导函数的正负取值区间,进一 步确定原函数的单调性 (Ⅱ)先把原不等式等价转化为 ln x ? a( x ? 1) ? 0 在 ?1,?? ? 上恒

? ?

1? 2?

?1 ? ?2 ?

成立 求其导函数,分类研究原函数的单调性及值域变化确定 a 的取值范围 试题解析: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 ? 0, ?? ? , a =2 时, f ( x) ? ln x ? x ? 3x ,
2

f ?( x) ?

1 2 x 2 ? 3x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) , ? 2x ? 3 ? ? x x x
1 1 或 x ? 1;当 f ?( x) ? 0 ,解得 ? x ? 1 , 2 2

当 f ?( x) ? 0 ,解得 0 ? x ?

∴函数 f ( x) 在 ? 0, ? , ?1,?? ? 上单调递增,在 ? ,1? 上单调递减 (Ⅱ) f ( x) ?

? ?

1? 2?

?1 ? ?2 ?

5分

a 2 x ? x ? a 等价于 ln x ? a( x ? 1) 在 ?1,??? 上恒成立, 2

即 ln x ? a( x ? 1) ? 0 在 ?1,?? ? 上恒成立 设 h( x) ? ln x ? a( x ? 1) ,则 h(1) ? 0 , h '( x) ?

1 ?a x

①若 a ? 0 , h?( x) ? 0 ,函数 h( x ) 为增函数,且向正无穷趋近,显然不满足条件; ②若 a ? 1,则 x ∈ ?1, ?? ? 时, h '( x) ?

1 ? a ? 0 恒成立, x

答案第 10 页,总 14 页

∴ h( x) ? ln x ? a( x ? 1) 在 ?1, ?? ? 上为减函数, ∴ h( x) ? ln x ? a( x ? 1) ? h(1) ? 0 在 ?1,?? ? 上恒成立, 即 ln x ? a( x ? 1) 在 ?1,?? ? 上恒成立; ③若 0 ? a ? 1 ,则 h '( x) ?

1 1 ? 1? ? a =0 时, x ? ,∴ x ? ?1, ? 时, h?( x) ? 0 , x a ? a?

∴ h( x) ? ln x ? a?x ? 1? 在 ? 1,

? 1? ? 上为增函数, ? a?

当 x ? (1, ) 时, h( x) ? ln x ? a?x ? 1? ? 0 ,不能使 ln x ? a?x ? 1? 在 ?1,?? ? 上恒成立 综上, a ? ?1,??? 12 分

1 a

考点:1 函数导数的求法;2 导数的应用;3 二次函数零点性质 22.①见解析 ② 180 【解析】 试题分析: (Ⅰ) 利用直径上圆周角为直角,及三角形相似求出 ?BAD ? ?ACB ? 90 ? (Ⅱ) 利用三角形相似,证明 ?D ? ?BEC ,方法一:再由 ?BEC ? ?CEF ? 180 ? 即可证明 方法 二;利用四点共圆 试题解析: (Ⅰ)连 AC ,∵ BA 是圆 O 的直径, ∴ ?ACB ? 90 ? , ∵ BA2 ? BC ? BD ,∴
0

BA BD , ? BC BA

又∵ ?ABC ? ?DBA , ∴ ?ABC ∽ ?DBA ,∴ ?BAD ? ?ACB ? 90 ? , ∵ OA 是圆 O 的半径, ∴直线 AD 是圆 O 的切线 5分

答案第 11 页,总 14 页

D

C

E

F A

B

·

O

(Ⅱ)方法一:∵ ?ABC ∽ ?DBA ,∴ ?BAC ? ?D , 又 ?BAC ? ?BEC ,∴ ?D ? ?BEC , ∵ ?BEC ? ?CEF ? 180 ? , ∴ ?D ? ?CEF ? 180 ? 10 分

方法二:∵ ?ABC ∽ ?DBA ,∴ ?BAC ? ?D , 又 ?BAC ? ?BEC ,∴ ?D ? ?BEC , ∴四点 C 、 D 、 E 、 F 四点共圆, ∴ ?D ? ?CEF ? 180 ? 考点:1 三角形相似;2 圆的性质
2 23.① ? ? 2 ? ?cos? ? sin ? ? ? 1 ? 0 ;② 2 2 , 2 3

10 分

?

?

【解析】 试题分析: (Ⅰ) 先建立圆的直角坐标方程 , 再化成极坐标方程 , 或直接建立极坐标方程 (Ⅱ)直线参数方程中参数的几何意义及应用于求弦长,再运用三角函数求范围 试题解析: (Ⅰ) 【法一】∵ C ? 2 ,
2

? ?

??

? 的直角坐标为 ?1, 1? , 4?
2

∴圆 C 的直角坐标方程为 ?x ? 1? ? ? y ? 1? ? 3 化为极坐标方程是 ? ? 2 ? ?cos? ? sin ? ? ? 1 ? 0
2

C

M

O

x
答案第 12 页,总 14 页

【法二】设圆 C 上任意一点 M ?? , ? ? ,则 如图可得, ? ?
2

? 2?

2

?? ? ? 2 ? ? 2 cos? ? ? ? ? ?4 ?

? 3?

2

化简得 ? 2 ? 2 ? ?cos? ? sin ? ? ? 1 ? 0 (Ⅱ)将 ?

4分

? x ? 2 ? t cos? 2 2 代入圆 C 的直角坐标方程 ?x ? 1? ? ? y ? 1? ? 3 , ? y ? 2 ? t sin ?
2 2

得 ?1 ? t cos? ? ? ?1 ? t sin ? ? ? 3 即 t ? 2t ?sin ? ? cos? ? ? 1 ? 0
2

有 t1 ? t 2 ? ?2?sin ? ? cos? ?, t1 ? t 2 ? ?1 故 AB ? t1 ? t 2 ? ∵ ? ? ?0,

?t1 ? t 2 ?2 ? 4t1t 2

? 4?sin ? ? cos? ? ? 4 ? 2 2 ? sin 2? ,
2

? ?

??

? ?? ? ? 2? ? ?0, ? , 4? ? 2?

∴ 2 2 ? AB ? 2 3 , 即弦长 AB 的取值范围是 2 2 , 2 3

?

?

10 分[来

考点:1 极坐标与直角坐标之间的互化 ;2 极坐标系下建立曲线方程;3 直线参数方程的应 用;4 三角函数求值域 24.① ? ? ?, ?. ② ?? 2, 1? 3

? ?

1? ?

【解析】 试题分析: (Ⅰ)把绝对值函数写出分段函数,然后分别解不等式 (Ⅱ)画出函数 f ? x ? 的 图象,由图象知过定点 ? 0,1? 的直线 y ? ax ? 1 的斜率满足 ? 2 ? a ? 1. 函数 f ( x) ? ax ? 1 的解集为 R

1 1 ? ? ? x ? ?1 ?? 1 ? x ? ?x ? 试题解析: (Ⅰ) f ? x ? ? 5 x ? ? 或? 2或? 2 ?? 3 x ? 5 x ?2 ? x ? 5 x ? 3 x ? 5x ? ?

答案第 13 页,总 14 页

1 ? 1 ?1 ? x ? ? ? ? x ? ?1 ? 2 ?x ? 或? 或? ?? 2 ?x ? 0 ?x ? 1 ? ?x ? 0 ? 3 ?
? x ? ?1 或 ? 1 ? x ? 1 3
5分

1 1? ? ? x ? ,即解集为 ? ? ?, ?. 3? 3 ?

? ?? 3 x, x ? ?1 ? 1 ? (Ⅱ) f ? x ? ? 2 x ? 1 ? x ? 1 ? ?2 ? x, ? 1 ? x ? 2 ? 1 ? 3 x, x? ? 2 ?
如图, k PA ? ?2, k PB ? 1 , 故依题知, ? 2 ? a ? 1. 即实数 a 的取值范围为 ?? 2, 1? 5分

y B

1 P O ?1

A

x

考点:1 绝对值不等式;2 数形结合数学思想

答案第 14 页,总 14 页


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