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北京市临川学校2015-2016学年高一下学期第一次月考数学试题带答案


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北京临川 2015~2016 学年度下学期第一次月考 高一数学试卷
班级 姓名

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只

有一项是符合题目要求的) 1. 下列命题正确的是 ( ) A.单位向量都相等 B.任一向量与它的相反向量不相等 C.平行向量不一定是共线向量 D.模为 0 的向量与任意向量共线 1.D ??? ? ??? ? ??? ? 2.已知 O,N,P 在△ ABC 所在平面内,且 | OA |?| OB |?| OC | , ??? ? ??? ? ???? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? NA ? NB ? NC ? 0 , PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ,则点 O,N,P 依次是△ ABC 的 ( ) A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心 C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心 2.C 3.下面三个结论: (1) 数列若用图像表示, 从图像上看都是一群孤立的点; (2) 数列的项数是无限的; (3) 数列通项的表示式是唯一的. 其中正确的是 A.(1) (2) 3.B 4.若向量 a ? (1,?1) , b ? (?1,1) , c ? (5,1) ,则 c ? a ? b ? ( A. a 4.C
?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? 5.已知 | a | ? 1 , | b | ? 2 , | a ? b | ? 2 ,则 | a ? b | =(

( B. (1) C.(2) (3) D.(1) (2) (3)

)

) D. a ? b

B. b

C. c

)
D

E

C F

A.1 5.D

B. 2

C. 5

D. 6
A

B

6. 如图, 正方形 ABCD 中, 点 E 是 DC 的中点, 点 F 是 BC 的一个三等分点.那么 EF =(

??? ?



? 1 ???? 1 ??? A. AB - AD 2 3

? 1 ???? 1 ??? B. AB + AD 4 2

? 1 ??? ? 1 ??? C. AB + DA 3 2

? 2 ???? 1 ??? D. AB - AD 2 3

6.D

北师大附 一轮 平面向量

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n ,则 an与an?1 的大小关系为( ) n?2 A. an ? an?1 B. an ? an?1 C. an =an ?1 1 2 3 n n? 1 ? ? ? ??? ? ? 7.B . 3 4 5 n? 2 n? 3
7. 若 an ?

D.不能确定

8.在△ ABC 中, AB ? a, BC ? b, 且a ?b ? 0, 则?ABC 是( A.锐角三角形 8.D B.直角三角形

??? ?

? ??? ?

?

? ?

) D.钝角三角形

C.等腰直角三角形

9.设向量 a ? (1, 0) , b ? ( , ) ,则下列结论中正确的是( 9.D A. a ? b

1 1 2 2



b? B. a?

2 2

C. a / / b

D. a ? b 与 b 垂直
B A D C

10.已知向量 AC , AD 和 AB 在正方形网格中的位置如图所示, 若 AC ? ? AB ? ? AD ,则 ? ? ? ? ( A. 2 B . ?2 10.A ) C.3 D. ?3

11.已知 a 、b 是非零向量,且满足( a -2 b ) ⊥ a ,( b -2 a ) ⊥ b ,则 a 与 b 的夹角是( ) A. 11.B 12.设 OM ? (2,1), ON ? (0,1), O 为坐标原点,动点 P ( x, y ) 满足

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? 6
????

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6

???? ?

??? ? ???? ? ??? ? ???? 0 ? OP ? OM ? 1,0 ? OP ? ON ? 1,则 x ? y 的最小值是(
A. 12.D

) D.-

1 2

B.—

1 2

C.

3 2

3 2

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上)
??? ? 13.若 AP ?

??? ? ??? ? AC AB ? ? ??? ? )( ? ? 0) ,则点 P 所在直线过 ?ABC 的_______ ? ( ??? | AB | | AC |

心. 13. (内心)

??? ? ??? ? ???? ???? 14. 化简: CE ? AC ? DE ? AD =__________. ? 14. 0
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??? ? ???? ???? 则 ? ? ___. A B? A D ? ? A,O
15.2

15. ( 2013 四 川 文 ) 如 图 , 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 , 对 角 线 AC 与 BD 交 于 点 O ,

16.在△ ABC 中, D 在线段 BC 上, BD ? 2DC, AD ? mAB ? nAC ,则 16.

??? ?

???? ??? ?

??? ?

??? ?

m ? n

.

1 2

三、 解答题 (本大题共 6 个小题, 共 70 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) 如图在长方形 ABCD 中, 已知 AB=4,BC=2 ,M,N,P 为长方形边上的 中点,Q 是边 CD 上的 点,且 CQ=3DQ,求 MQ ? NP 的值. 17.解:建立以 AB 为 x 轴,AD 为 y 轴的坐标系 则 N(2,0),P(4,1),M(0,1),Q(1,2),…………………5 分

MQ ? NP ? (1,1) ? (2,1) ? 3. …………………10 分
18.(本小题满分 10 分) ?? ?? 19.已知向量 a =(4,3), b =(-1,2) .
?? ?? (1) 求 a 、 b 的夹角的余弦值; ?? ?? ?? ?? (2) 若向量 a -λ b 与 2 a + b 垂直,求 λ 的值.

?? ? ? ?? ? ? a ?b 2 2 ? ? ? 5 .…………………5 分 18 解: (1) cos ? a , b ?? ?? ? 25 | a | ?| b | 5 ? 5
?? ? ? ?? ? ? (2) a ? ? b ? ( 4 ? ?, 3 ? 2? ) , 2 a ? b =(7,8) ,

由 ( 4 ? ? ) ? 7 ? (3 ? 2? ) ? 8 ? 0 ,得 ? ? 19. (本小题满分 12 分)

52 . …………………10 分 9

已知数列 ?an ? 中, a1 ? a ? 0, an ?1 ? f ? an ? n ? N (1)求 a2 , a3 , a4 ; (2)猜想数列 ?an ? 的一个通项公式.

?

*

? ,其 f ? x ? ? x2?x1 .

19.解: (1) a1 ? a, a2 ? f ? a1 ? ? 2a , a3 ? f ? a2 ? ? 2a2 ? 4a ,
a ?1 a2 ? 1 3a ? 1
a4 ? f ? a3 ? ? 8a ;…………………6 分 7a ? 1

(2)根据⑴猜想 an 的一个通项公式为 a ? n

2n ?1 a ? n ? N* ? .…………………12 分 ? 2n?1 ? 1? a ? 1

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1 8
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20. (本小题满分 12 分) ? → 设函数 f(x)=→ a· b .其中向量→ a =(m,cosx),→ b =(1+sinx,1),x∈R,且 f( )=2. 2 (1)求实数 m 的值; (2)求函数 f(x)的最小值. → 20.解: (1)f(x)=→ a· b =m(1+sinx)+cosx, ? ? ? 由 f( )=2,得 m(1+sin )+cos =2,解得 m=1.…………………7 分 2 2 2 ? (2)由(1)得 f(x)=sinx+cosx+1= 2sin(x+ )+1, 4 ? 当 sin(x+ )=-1 时,f(x)的最小值为 1- 2.…………………12 分 4 21. (本小题满分 13 分) 已知向量 a ? (1, 2), b ? (?3, 2) ,向量 x ? ka ? b, y ? a ? 3b . (1)当 k 为何值时,向量 x ? y ; (2)若向量 x 与 y 的夹角为钝角,求实数 k 的取值范围. 21. x ? ka ? b ? (k ? 3,2k ? 2), y ? a ? 3b ? (10, ?4) , (1) Q x ? y,? x ? y ? 0 ,即 10(k ? 3) ? 4(2k ? 2) ? 0 ,

r

r

r

r r u r

r

r

r

u r

r

u r

r

r r
u r

u r

r

r

r

r u r

2k ? 38 ,? k ? 19 ,…………………5 分

r u r r u r x? y (2) x ? y ? 2k ? 38, 又 cos ? ? r u r ? 0, x y
? 2k ? 18 ? 0 ,即 k ? 19 ,但此时

?

2 r r u 1 若 x 若 y 共线,则有 ?4(k ? 3) ? 10(2k ? 2) ? 0 ,? k ? ? , 3 1 故所求实数 k 的取值范围是 k ? 19 ,且 k ? ? …………………13 分 3
22.(本小题满分 13 分) 设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) 是函数 f ( x) ? 点,且 OM ?

r r u ? ? ? ? ,? x 与 y 不共线,…………………10 分

1 x 图象上任意两 ? log 2 2 1? x

1 1 (OA ? OB) ,已知点 M 的横坐标为 2 2 1 n 2 n n ?1 ) ,其中 n ? N * 且 n≥2, n

(1)求点 M 的纵坐标; (2)若 S n ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ① 求 Sn ;
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?2 n ?1 ?3 * ② 已知 a ? ? ,其中 n ? N , Tn 为数列 {a n } 的前 n 项和,若 ? n 1 ? n?2 ? ( S n ? 1)( S n ?1 ? 1) ?

Tn ? ? ( S n ?1 ? 1) 对一切 n ? N * 都成立,试求λ 的最小正整数值。
22.解: (1)依题意由 OM ?

1 (OA ? OB ) 知 M 为线段 AB 的中点. 2

又? M 的横坐标为 1,A ( x1 ,

y1 ) ,B ( x2 , y 2 ) 即

x1 ? x 2 1 ? ? x1 ? x 2 ? 1 2 2

x x y ? y2 1 ? y1 ? y 2 ? 1 ? log2 ( 1 ? 2 ) ? 1 ? log2 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? x1 1 ? x2 2 2
1 …………………5 分 2 1 n ?1 1 n ?1 ? 1, ? f ( ) ? f ( ) ?1 (2)由①知? ? n n n n 1 2 n ?1 n ?1 n?2 1 又? Sn ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( )? f( )? f( ) ??? f ( ) n n n n n n n ?1 ? 2S n ? (n ? 1) ? 1 ? S n ? (n ? N *且n ? 2) …………………9 分 2
即 M 点的纵坐标为定值 (3)当 n ? 2 时, a n ? 又 n ? 1 , a1 ?

1 4 ? ( S n ? 1)(S n?1 ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

4 2 ? 也适合. 2?3 3

? an ?

4 (n ? N * ) …………………10 分 (n ? 1)(n ? 2) 4 4 4 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? 4( ? ? ? ? ? ? ? ) 2 ? 3 3? 4 (n ? 1)(n ? 2) 2 3 3 4 n ?1 n ? 2

? Tn ?

1 1 2n ? 4( ? )? (n ? N * ) 2 n?2 n?2 , 2n n 4n ? ? ( ? 1) 恒成立 (n ? N * ) ? ? ? 2 ,…………………12 分 n?2 2 n ? 4n ? 4 4n 4 4 1 而 , ? ? ? (当且仅当 n ? 2 取等号) 2 4 4?4 2 n ? 4n ? 4 n? ?4 n 1 ? ? ? ,? ? 的最小正整数为 1.…………………13 分 2

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